Reglas de la diferenciación

Utilizando la regla de la cadena, diferencia \(y = (2x^3 + x)^6\)

Primero, puedes empezar reescribiéndola en términos de y y u:

\y = (u)^6 u = 2x^3 + x fin].

Ahora puedes hallar la primera parte de tu fórmula de la regla de la cadena \(\frac{dy}{du}\), diferenciando tu y:

\(\frac{dy}{du} = 6 u^5\)

A continuación, puedes hallar la segunda parte de tu fórmula de la regla de la cadena \(\frac{du}{dx}\), diferenciando tu u:

\[\frac{du}{dx} = 6x^2 + 1\].

Ahora que has hallado las dos partes de tu suma, puedes multiplicarlas para hallar \[\frac{dy}{dx}\}]:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}]

\frac{dy}{dx} = 6u^5 \cdot 6x^2 + 1\]

\[\frac{dy}{dx} = 6u^5 (6x^2 + 1)\]

Por último, es importante expresar tu respuesta en términos de x, y para ello puedes utilizar \(u = 2x^3 + x\):

\[\frac{dy}{dx} = 6(2x^3 + x)^5(6x^2 +1)\].

Si \(y = (\sin x)^3\) halla \(\frac{dy}{dx}\)

Empecemos por identificar u e y:

\(y = (u)^3\) \(u = \sin x\)

Ahora puedes mirar la fórmula de la regla de la cadena, descomponerla y hallar cada parte:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)

\(\frac{dy}{du} = 3u^2) \(\frac{du}{dx} = \cos x\)

A continuación, puedes poner tu \(\frac{dy}{du}\}) y \(\frac{du}{dx}\}) en la fórmula para hallar \(\frac{dy}{dx}\}):

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}].

\[\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \cos x\]

Por último, tienes que asegurarte de que tu respuesta está escrita en términos de x, y puedes hacerlo sustituyendo en \(u = \sin x\):

\[\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \cos x\]

\[\frac{dy}{dx} = 3(\sin x)^2 \cos x\]

Dado que \(y = 2xe^2) halla \(\frac{dy}{dx}\)

Si miras la fórmula, primero tienes que identificar cada parte de la fórmula:

\[\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}].

\(u = 2x\) \(v = e^2\)

Para hallar \(\frac{dv}{dx}\) y \(\frac{du}{dx}\) necesitas diferenciar tu u y tu v:

\(\frac{du}{dx} = 2\) \(\frac{dv}{dx} = 0\)

Ahora que has encontrado cada parte de la fórmula, puedes resolver \(\frac{dy}{dx}\):

\Comienzo \frac{dy}{dx} = (2x)(0) + (e^2)(2) \frac{dy}{dx} = 2e^2 \end{align}

Dado que \(y = x^2 \sin x\) halla \(\frac{dy}{dx}\)

Para ello puedes empezar por mirar la fórmula e identificar lo que necesitas:

\[\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}].

\(u = x^2\) \(v = \sin x\)

Ahora puedes diferenciar tu u y tu v para hallar la siguiente parte de la fórmula:

\(\frac{du}{dx} = 2x\\) \(\frac{dv}{dx} = \cos{x}\)

Introduce toda la información en la fórmula para hallar \(\frac{dy}{dx}\):

\[\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}].$\frac{dy}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$

\[\frac{dy}{dx} = (x^2)(\cos x) + (\sin x)(2x)\}

\frac{dy}{dx} = \cos x(x^2) + 2x\sin x\].

\[\frac{dy}{dx} = x^2\cos x + 2x \sin x\]

Si \(y = \frac{2x}{3x +4}\) halla \(\frac{dy}{dx}\) :

En primer lugar, puedes empezar por mirar tu fórmula y hallar cada una de sus partes:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)

\(u = 2x\) \(v = 3x + 4\) \(\frac{du}{dx} = 2\) \(\frac{dv}{dx} = 3\)

Ahora puedes resolver la fórmula con toda la información anterior:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{(3x +4) \cdot 2 - (2x) \cdot 3}{(3x + 4)^2})

\(\frac{dy}{dx} = \frac{8}{(3x + 4)^2})

Si \(y = \frac{\cos x}{2x^2}) halla \(\frac{\dy}{dx}\).

Igual que en el ejemplo anterior, puedes empezar por mirar tu fórmula y hallar cada una de sus partes para encontrar tu \(\frac{dy}{dx}\):

\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)

\(u = \cos x\) \(v = 2x^2) \(\frac{du}{dx} = -\sin x\) \(\frac{dy}{dx} = 4x\)

Ahora que tienes cada parte de la fórmula, puedes sustituirlas en la fórmula y hallar \(\frac{dy}{dx}\):

\[\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\].

\frac{dy}{dx} = \frac{(2x^2)(-\sin x) - (\cos x)(4x)}{(2x^2)^2}].

\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 \sin x - 4x \cos x}{(2x^2)^2}].