Gráficas Recíprocas

Asíntotas

Para dibujar este tipo de gráfico, debes tener en cuenta sus asíntotas. Una asíntota es una línea a la que la curva se acerca mucho, pero nunca toca. La gráfica de las funciones recíprocas $y=\frac{a}{x}$ y $y=\frac{a}{x^2}$ tienen asíntotas en $x=0$ y en $y=0$.

En general, el dominio de las funciones recíprocas serán todos los Números Reales excepto la asíntota vertical, y el rango serán todos los Números Reales excepto la asíntota horizontal.

Tipos de gráficas recíprocas

En el artículo Gráficas se explica que el plano de coordenadas se divide en cuatro cuadrantes denominados con números romanos (I, II, III y IV):

Plano de coordenadas, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Los posibles tipos de gráficas recíprocas son:

• Funciones recíprocas del tipo $y=\frac{a}{x}$

a) Si a> 0:

Por ejemplo, si $a=1$, $y=\frac{1}{x}$la forma de la gráfica se muestra a continuación. Observa que la gráfica está dibujada en los cuadrantes I y III del plano de coordenadas.

Función recíproca, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

b) Si a <0:

Por ejemplo, si $a=-1$, $y=\frac{-1}{x}$, la forma de la función recíproca se muestra a continuación. En este caso, la gráfica se dibuja en los cuadrantes II y IV. Esta gráfica es el reflejo de la anterior, porque el signo negativo de la función significa que todos los valores positivos de $x\ne 0$ tendrán ahora valores negativos de y, y todos los valores negativos de x tendrán ahora valores positivos de y.

Función recíproca con numerador negativo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

• Funciones recíprocas del tipo $y=\frac{a}{x^2}$

a) Si a> 0:

Por ejemplo, si $a=1$, $y=\frac{1}{x^2}$la forma de la gráfica se muestra a continuación. Observa que la gráfica está dibujada en los cuadrantes I y II del plano de coordenadas. La forma de la gráfica de $y=\frac{1}{x^2}$ cambia respecto a la gráfica anterior de $y=\frac{1}{x}$porque tener $x^2$ en el denominador significa que todos los valores de y serán positivos para todos los valores de $x\ne 0$.

Función recíproca al cuadrado, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

b) Si a <0:

Por ejemplo, si $a=-1$, $y=\frac{-1}{x^2}$, la forma de la función recíproca se muestra a continuación. En este caso, la gráfica se dibuja en los cuadrantes III y IV. Esta gráfica también es el reflejo de la anterior debido al signo negativo en el numerador de la función.

Función recíproca al cuadrado con numerador negativo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Dibujar gráficas recíprocas

Para mostrarte cómo dibujar la gráfica de una función recíproca, utilizaremos el ejemplo de $y=\frac{1}{x}$. Para dibujar la gráfica de esta función debes seguir estos pasos:

¿Cómo hallar la ecuación de una gráfica recíproca?

Si te dan una gráfica recíproca, puedes hallar su ecuación $y=\frac{a}{x+h}+k$ siguiendo estos pasos:

1. Encuentra la asíntota vertical. Este es el valor que tienes que sumar o restar a la variable del denominador $\left(h\right)$. Tendrá el signo contrario al de la asíntota vertical.

2. Encuentra la asíntota horizontal. Será el valor de $k$que se suma o resta a la fracción en función de su signo.

3. Halla el valor de $a$ sustituyendo en la ecuación la x y la y correspondientes a un punto dado de la curva.

Hallar el recíproco de una función

Sabemos por el Álgebra que puedes calcular el recíproco de un Número intercambiando el numerador y el denominador. Lo mismo ocurre con las funciones. Para hallar el recíproco de una función $f\left(x\right)$ puedes hallar la expresión $\frac{1}{f\left(x\right)}$.