Transformaciones Lineales con Matrices

Fórmula de las transformaciones lineales de las matrices

Cuando se trata de transformaciones lineales, hay una fórmula general que debe cumplirse para que la matriz represente una transformación lineal. Cualquier transformación debe tener la forma \(ax+by\). Considera la transformación lineal \((T)\) de un punto definido por el vector de posición \(\inicio{matriz}x\y\fin{matriz}). La transformación resultante podría escribirse así:\[T:\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}ax+by\cx+dy\end{bmatrix}.\]. Aquí vemos que \(ax+by\) y \(cx+dy\) describen las transformaciones en los planos \(x\) y \(y\) desde el punto inicial para crear nuestro nuevo punto: la imagen (denotada por \(X'\) donde \(X\) es la etiqueta del vértice original). Lo único que hacemos es sustituir nuestros valores. Veamos cómo funciona.

Ya hemos visto cómo aplicar una transformación lineal, pero ¿cómo denotarla en forma de matriz? Si dejamos que la matriz sea \(A\), podemos escribir la matriz que necesitamos así:\[A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}ax+by\cx+dy\nd{bmatrix}\]Por tanto, nuestra matriz de transformación lineal no es más que una matriz de los coeficientes de la transformación lineal en la forma que ya hemos visto. Esto da:\[\begin{bmatrix}a&b\c&d{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y{bmatrix}= \begin{bmatrix}ax+by\cx+dy{bmatrix}\final].

Encontrar las transformaciones lineales de las matrices

Ya hemos visto cómo aplicar una transformación lineal a un punto utilizando una matriz, pero ¿cómo sabemos qué describe realmente una matriz en términos de transformación(es)? Por suerte, en la forma matricial \(2\times 2\), cada tipo de transformación tiene una matriz establecida para que describa esa transformación. A continuación puedes ver las condiciones de cada tipo de transformación y la matriz asociada.

Reflexión

Para las reflexiones contempladas, cada reflexión tiene una recta invariante situada en el eje de reflexión.

Reflexión en el eje \(y\)-

Descrita por la matriz:\[A=comienzo{matriz}-1&0\0&1\fin{matriz}]

Reflexión en el eje \(x\)

Descrita por la matriz:\[A=comienzo{matriz}1&0\\0&-1\final{matriz}]

Reflexión sobre \(y=x\)

Descrita por la matriz:\[A=comienzo{matriz}0&1\\1&0\final{matriz}\]

Reflexión sobre \(y=-x\)

Descrita por la matriz:\[A=comienzo{matriz}0&-1\\-1&0\final{matriz}\]

Rotación

Las rotaciones tienen un punto invariante en el origen y se giran por \(\theta\), donde un valor positivo indica rotación en sentido contrario a las agujas del reloj. Las rotaciones se describen mediante la matriz

\[A=inicio{matriz}\cos\theta &-\sin\theta \\cos\theta &\cos\theta\fin{matriz}\].

Ampliación y estiramientos

Un estiramiento o una ampliación se rigen por la siguiente matriz:\[A=\begin{matriz}a&0\0&b\end{matriz}\]

La variable \(a\) es el factor de escala de \(x\) y como tal rige el estiramiento en la dirección \(x\) en efecto, es el número por el que multiplicamos la coordenada \(x\) para obtener la nueva coordenada. Para el estiramiento en la dirección \(y\), \(b\) tiene el mismo efecto sobre la coordenada \(y\).

Ampliación

Si tenemos \(a=b\), entonces los estiramientos en las direcciones \(x\) y \(y\) son iguales y por tanto tenemos una ampliación, pero si son diferentes entonces \(a\) rige el cambio en \(x\) mientras que \(b\) rige el cambio en \(y\). No hay líneas invariantes en la ampliación y el origen es el único punto invariante.

Estiramiento paralelo al eje \(x\)

Si hacemos un estiramiento paralelo al eje \(x\)-, la posición \(y\) de cualquier punto seguirá siendo la misma y es invariante. Este tipo de transformación sólo estira las coordenadas \(x\). Se rige por la matriz:\[A=\inicio{matriz}a&0\0&1\fin{matriz}]

Estiramiento paralelo al eje \(y\)

Si hacemos un estiramiento paralelo al eje \(y\), la posición \(x\) de cualquier punto seguirá siendo la misma y es invariante. Este tipo de transformación sólo estira las coordenadas \(y\). Se rige por la matriz:\[A={bmatriz}1&0\\0&b\final{matriz}\}]

Cambio de área

Con los estiramientos y ampliaciones, estamos cambiando el tamaño de cualquier forma formada por los vértices que movemos. Por tanto, a diferencia de lo que ocurre con las reflexiones y rotaciones, el área de la forma cambiará. Por suerte, tenemos una forma de medir este cambio en el área. Si la matriz \(A\) representa la transformación, entonces \(\det{A}\) te dará el factor de escala del cambio en el área. Para saber cómo calcular el determinante, consulta nuestro artículo sobre Determinantes de matrices.

Transformaciones sucesivas

Ahora deberías tener toda la información que necesitas para encontrar la transformación lineal descrita por una matriz, pero ¿qué ocurre si se han aplicado varias transformaciones? Las transformaciones sucesivas pueden describirse en una matriz multiplicándolas entre sí. Hagamos una recapitulación de la multiplicación de matrices para que puedas realizar transformaciones sucesivas. Supongamos a continuación que \(A\) y \(B\) son dos transformaciones distintas, siendo \(A\) la primera que se produce operativamente y \(AB\) la matriz que describe las transformaciones sucesivas.\[A=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}\quad B=\begin{bmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{bmatrix}\]\[\begin{align}AB&=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}(a_1b_1+a_2b_3)&(a_1b_2+a_2b_4)\\(a_3b_1+a_4b_3)&(a_3b_2+a_4b_4)\end{bmatrix}\end{align}\]

Ejemplos de transformaciones lineales de matrices 2×2

Veamos ahora algunos ejemplos de formas y transformaciones lineales. Para empezar, veamos una transformación de ampliación/estiramiento.

Veamos ahora un ejemplo de transformaciones sucesivas aplicadas a una forma.

Ejemplos de transformaciones lineales de matrices 3×3

Al aplicar transformaciones lineales a una matriz \(3\ veces 3\) estamos operando en el mundo de las transformaciones 3D. Éstas son más complicadas que las que hemos visto hasta ahora. Busca nuestro artículo sobre Transformaciones de matrices en 3D para obtener una explicación completa y ejemplos.