Teoremas del Círculo

Demostración del teorema 1: El ángulo en un semicírculo es de 90°.

Trazamos una línea descendente desde el ángulo opuesto a la hipotenusa hasta el centro. Esto significará que hemos dividido el triángulo en otros dos triángulos, cada uno isósceles, con dos lados de longitud r (utilizamos r para denotar la longitud del radio). Esto significa que cada triángulo tiene dos ángulos iguales. Podemos dibujarlo a continuación:

Teorema del círculo 1 Prueba, Ben Cairns, StudySmarter

Observando el triángulo mayor, sabemos que 2x + 2y = 180°, ya que los ángulos deben sumar 180 °. Como 2x + 2y = 180°, se deduce -dividiendo por dos- que x + y = 90°. El ángulo en la circunferencia viene dado por x + y, y por tanto, el ángulo es rectángulo. QED

Teorema 2: El ángulo en el centro es el doble del ángulo en la circunferencia

En este caso, el ángulo subtendido por un arco en el centro es el doble del ángulo subtendido en la circunferencia. Esto se muestra a continuación. Lo que es importante observar es que no importa dónde esté el punto en el arco, siempre que se encuentre entre los dos ángulos no marcados. Si esto ocurre, el teorema seguirá cumpliéndose.

El ángulo en el centro es el doble del ángulo en la circunferencia, Ben Cairns-StudySmarter

Demostración del teorema 2: El ángulo en el centro es el doble del ángulo en la circunferencia

Construyamos la misma figura, pero ahora construyamos también una recta desde el punto "x" hasta el centro. Esto nos da dos triángulos isósceles con dos lados de longitud r, y dos lados de la misma longitud. También tendremos dos ángulos iguales en cada isósceles. Etiquetaremos cada ángulo, como se muestra a continuación.

Prueba del Teorema del Círculo 2, Ben Cairns-StudySmarter

Para demostrar el teorema, tenemos que demostrar que 2 (a + b) = c.

Utilizando los hechos de que hay 180 ° en un triángulo y 360 ° alrededor de un punto, podemos formar tres ecuaciones: 2a + z = 180, 2b + t = 180 y z + t + c = 360 °.

Podemos reordenar la primera ecuación a z = 180-2a, y reordenar la segunda ecuación a t = 180 ° -2b.

Ahora podemos sustituir estas ecuaciones en la tercera ecuación, para obtener 180 ° -2a + 180 ° -2b + c = 360 °.

Esto se simplifica a c-2a-2b = 0, que puede simplificarse aún más a 2 (a + b) = c. QED

Teorema 3: Los ángulos de la misma cuerda en el mismo segmento son iguales

Si tenemos dos triángulos dentro de una circunferencia con los tres ángulos tocando la circunferencia, y los triángulos comparten un lado (también conocido como cuerda común) entonces el tercer ángulo es el mismo en ambos triángulos, siempre que estos terceros ángulos estén en el mismo segmento. Esto se muestra a continuación.

Teorema 3 del círculo, Ben Cairns, StudySmarter

Demostración del teorema 3: Los ángulos de la misma cuerda en el mismo segmento son iguales

Empecemos dibujando otro triángulo que comparta la cuerda común, pero esta vez conectaremos la línea con el centro. Se trata de la misma forma vista en el teorema 2, por lo que podemos invocar este teorema y llamar al ángulo 2x. Esto se muestra a continuación.

Teorema del círculo 3 Prueba, Ben Cairns, StudySmarter

Como hemos utilizado el teorema 2, no importa dónde pongamos el ángulo x en el arco, por lo que el teorema queda demostrado. QED

Teorema 4: Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman 180°.

Por cuadrilátero cíclico entendemos una forma de cuatro lados, todos cuyos ángulos tocan una circunferencia. Cuando esto ocurre, los ángulos opuestos del cuadrilátero suman 180°.

Teorema del círculo 4, Ben Cairns, StudySmarter

En este caso, tendríamos a + c = 180°, así como b + d = 180°.

Prueba del teorema 4: Los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico suman 180°.

Trazamos una línea desde cada ángulo hasta el centro. Como ésta va del círculo al centro, es un radio, lo que significa que hemos creado cuatro triángulos isósceles que tienen pares de ángulos iguales. Esto se muestra a continuación.

Teorema del círculo 4, Ben Cairns, StudySmarter

Para demostrar que los ángulos opuestos suman 180 °, debemos demostrar que x + y + z + t = 180 °.

Los ángulos de un cuadrilátero suman 360 °.

Esto significa que z + y + z + t + t + x + x + y = 360 °.

Esto puede simplificarse a 2 (x + y + z + t) = 360 °, por lo que x + y + z + t = 180 °. QED

Teorema 5: Teorema del segmento alterno

Supongamos que trazamos una tangente a una circunferencia. En el punto en que la tangente toca al círculo, hay una esquina de un triángulo. Los otros dos vértices del triángulo también están sobre la circunferencia. En este caso, el ángulo entre la tangente y el triángulo es igual al ángulo adyacente en el triángulo. Esto se muestra a continuación.

Teorema del círculo 5, Ben Cairns, StudySmarter

Demostración del teorema del segmento alterno

Para demostrarlo sólo necesitas demostrarlo por un lado, ya que no importa qué triángulo elijamos. Construye un triángulo como el anterior y, a continuación, une cada vértice con el centro. De nuevo, hemos creado tres triángulos isósceles, todos ellos con un par de ángulos correspondientes. Llamaremos a al ángulo entre la tangente y el triángulo a. Todo esto se muestra a continuación.

Teorema del círculo 5 Prueba, Ben Cairns, StudySmarter

Nuestro objetivo es demostrar que a = z + y.

Como el radio es perpendicular a la tangente en el punto en que ésta toca al círculo (por definición), sabemos que a + x = 90 °.

Como los ángulos de un triángulo suman 180 °, sabemos que 2x + 2y + 2z = 180 °, por lo que x + y + z = 90 °.

Podemos reescribir nuestra primera ecuación como x = 90° - a, y luego sustituirla en la segunda ecuación, para obtener 90 ° -a + y + z = 90 °, que podemos reordenar como a = z + y

Éste era nuestro objetivo. QED

Teorema 6: Las tangentes de un punto a una circunferencia tienen la misma longitud

Supongamos que dibujamos una circunferencia y elegimos cualquier punto en el mismo plano que la circunferencia, siempre que el punto esté fuera de la circunferencia. Entonces, podemos trazar dos rectas tangentes desde el punto a la circunferencia. Además, la distancia del punto a la circunferencia será la misma en ambos casos.

Teorema del Círculo 6, Ben Cairns-EstudianteMásInteligente

Por tanto, en este caso, la distancia AP es la misma que la distancia AQ.

Prueba del teorema 6: Las tangentes de un punto a una circunferencia tienen la misma longitud

Tracemos rectas desde el punto tangente al centro, recordando que el radio en un punto tangente es perpendicular a la tangente, lo que nos da entonces

Teorema del círculo 6 Prueba, Ben Cairns, StudySmarter

Ahora podemos utilizar el teorema de Pitágoras, ya que tenemos triángulos rectángulos.

Esto nos da \((AO)^2 = r^2 + (AP)^2\) y \((AO)^2 = r^2 + (AQ)^2\)

Igualando las dos expresiones para \((AO)^2\), llegamos a

\((AP)^2 = (AQ)^2\)

\(AP = AQ\)

La longitud es siempre positiva, por lo que se ignoran las soluciones negativas.

Teorema 7: Un radio perpendicular a una cuerda la biseca

Supongamos que tenemos una cuerda cualquiera en un círculo, y trazamos una recta desde el radio hasta el límite del círculo, y esta recta es perpendicular a la cuerda. En este caso, el radio bisecará a la cuerda.

Teorema del círculo 7, Ben Cairns, StudySmarter

Demostración del teorema7: Un radio perpendicular a una cuerda la biseca

Trazamos una recta de O a M y también de O a N.

Teorema del círculo 7 Prueba, Ben Cairns, StudySmarter

Como tenemos triángulos rectángulos, podemos utilizar el teorema de Pitágoras.

Obtenemos \((OM)^2 = (OA)^2 + (AM)^2\) y \((ON)^2 = (OA)^2 + (AN)^2\). Como ON = r = OM, podemos hacer que ambos sean iguales entre sí, para obtener \((OA)^2 + (AN)^2 = (OA)^2 + (AM)^2\), de lo que obtenemos \((AN)^2 = (AM)^2\) y se deduce que AN = AM.

Como la longitud es positiva, entonces AM = AN. QED

Ejemplos de uso de los teoremas del círculo

Ejemplo de uso de los teoremas del círculo - 1

Ejemplo de uso de los teoremas del círculo - 2