Resolución y representación gráfica de ecuaciones cuadráticas

Considera la función f(x) = ^2x2 - 4x - 3.

1. Decide si la función tiene un valor máximo o mínimo.
2. Evalúa el valor máximo o mínimo de la función.
3. Indica el dominio y el rango de la función.

Solución

Aquí, a = 2, b = -4 y c = -3.

1. Como a > 0, la gráfica se abre y la función tiene un valor mínimo.

2. El valor mínimo de la función es la coordenada y del vértice.

La coordenada x del vértice es $-\frac{(-4)}{2\left(2\right)}=1$.

Para hallar la coordenada y del vértice, evaluaremos la función en x = 1.

$$\begin{gathered} f\left(1\right)=2{\left(1\right)}^2-4\left(1\right)-3 \\ \Rightarrow f\left(1\right)=-5 \end{gathered}$$

Por tanto, el valor mínimo de la función es -5.

3. El dominio es el conjunto de todos los números reales. El rango es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que el valor mínimo, f(x) ≥ -5. En notación de conjuntos, [-5, +∞ [.

La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals

1. Determina la intersección y, la ecuación del eje de simetría y la coordenada x del vértice.
2. Crea una tabla de valores que incluya el vértice.
3. Grafica la función a partir de los resultados de las preguntas 1 y 2.

Solución

Aquí, a = 1, b = -6 y c = 3.

1. Para hallar la intersección y evaluaremos f en x = 0. Al hacerlo obtenemos, f(0) = c = 3. Por tanto, la intersección y es (0, 3). La ecuación del eje de simetría se halla mediante la fórmula

$$\begin{gathered} x=-\frac{b}{2a}=-\frac{(-6)}{2\left(1\right)} \\ \Rightarrow x=3 \end{gathered}$$

Por tanto, la ecuación del eje de simetría es x = 3. De ello se deduce que la coordenada x del vértice es 3.

2. Ahora haremos nuestra tabla de valores. Para ello, elige unos valores para x que sean menores que 3 y otros que sean mayores que 3. De este modo, se grafican los puntos de cada lado del eje de simetría.

Apliquemos el Principio de Localización a este ejemplo. Observando la tabla anterior, resulta que hay un cambio de signo entre x = 0 y x = 1. Esto indica que hay un cero real entre estos dos valores de x. Esto indica que hay un cero real entre estos dos valores de x. Del mismo modo, observamos un cambio de signo entre x = 5 y x = 6, lo que de nuevo nos indica que debe existir un cero real entre este par de valores de x.

3. La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 2, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Resuelve la ecuación cuadrática ^x2 + 5x - 2 = 0 mediante una gráfica. Si no se pueden encontrar soluciones exactas, indica los números enteros consecutivos entre los que se encuentran las soluciones.

Solución

Sea f(x) = ^x2 + 5x - 2.

Ahora debemos hacer una tabla de valores para un dominio x. Tenemos que hacer una estimación del intervalo de valores de x sobre el que queremos aplicar el Principio de Localización. Elegiremos los valores enteros comprendidos entre x = -6 y x = 2.

Por el Principio de Localización, fíjate en que las intersecciones x de la gráfica sugieren que una solución está entre -6 y -5, y la otra entre 0 y 1.

Expresa una ecuación cuadrática con $-\frac{1}{3}$ y 4 como raíces. Escribe la ecuación en forma estándar.

Solución

La forma de intersección de una ecuación cuadrática viene dada por (x - p)(x - q) = 0, donde p y q representan las raíces de la expresión. Como en esta pregunta no hay información sobre el coeficiente de ^x2, se deduce que a = 1. Aquí se nos da

$p=-\frac{1}{3}andq=4$

Sustituyendo esto en la forma anterior obtenemos

$$\begin{gathered} \left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)(x-4)=0 \\ \Rightarrow \left(x+\frac{1}{3}\right)(x-4)=0 \end{gathered}$$

Ahora queremos escribir esta ecuación en la forma estándar de una ecuación cuadrática. Para ello, debemos expandir el lado derecho de la expresión utilizando el método FOIL.

$$\begin{gathered} \Rightarrow x^2-4x+\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}=0 \\ \Rightarrow x^2-\frac{11}{3}x-\frac{4}{3}=0 \end{gathered}$$

Multiplicando toda la ecuación por 3, obtenemos finalmente

$\Rightarrow 3x^2-11x-4=0$

Factoriza la ecuación cuadrática ^3x2 = 9x y representa gráficamente la función correspondiente.

Solución

Empezaremos reordenando la ecuación en la forma estándar de una ecuación cuadrática

$3x^2-9x=0$

Observa que podemos factorizar 3x de la expresión anterior como

$3x(x-3)=0$

Por la propiedad del producto cero, la raíz de esta función es

$$\begin{gathered} 3x=0\Rightarrow x=0 \\ x-3=0\Rightarrow x=3 \end{gathered}$$

Como el coeficiente de ^x2 es a = 3 > 0, la parábola se abre hacia arriba. La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 3, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Factoriza la ecuación cuadrática ^6x2 = 1 - x y representa gráficamente la función correspondiente.

Solución

Empezamos reordenando la ecuación a la forma estándar de una ecuación cuadrática

$6x^2+x-1=0$

Se trata de un trinomio general que podemos factorizar por (ax + b)(cx + d). Observa que el coeficiente 6 puede factorizarse como $6\times 1or2\times 3$ mientras que la constante -1 se puede factorizar como $-1\times 1$.

Recuerda que tienes que probar todos los pares y posiciones posibles para estos dos productos. Por ensayo y error, podemos factorizarlo como

$(3x-1)(2x+1)=0$

Por la propiedad del producto cero, las raíces de esta función son

$$\begin{gathered} 3x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{3} \\ 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Como el coeficiente de ^x2 es a = 6 > 0, la parábola se abre hacia arriba. La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 4, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Factoriza la ecuación cuadrática ^x2 - 25 = 0 y representa gráficamente la función correspondiente.

Solución

Observa que $25=5^2$.

Así pues, la ecuación toma la forma de la diferencia de dos cuadrados. Por tanto, podemos factorizarla como

$$\begin{gathered} x^2-25=0 \\ \Rightarrow (x-5)(x+5)=0 \end{gathered}$$

Por la propiedad del producto cero, las raíces de esta función son

$$\begin{gathered} x-5=0\Rightarrow x=5 \\ x+5=0\Rightarrow x=-5 \end{gathered}$$

Como el coeficiente de ^x2 es a = 1 > 0, la parábola se abre hacia arriba. La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 5, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Resuelve la ecuación cuadrática ^x2 - 12x + 36 = 25 utilizando la propiedad de la raíz cuadrada.

Solución

Observa que el lado izquierdo de esta expresión adopta la forma de un trinomio cuadrado perfecto. Factorizándolo, obtenemos

$$\begin{gathered} x^2-12x+36=25 \\ \Rightarrow {(x-6)}^2=25 \end{gathered}$$

Utilizando ahora la propiedad de la raíz cuadrada para resolverlo, obtenemos

$$\begin{gathered} \Rightarrow x-6=\pm \sqrt{25} \\ \Rightarrow x=\pm \sqrt{25}+6 \\ \Rightarrow x=\pm 5+6 \end{gathered}$$

Por tanto, las dos raíces son x = 1 y x = 11. La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 6 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Si ampliamos el gráfico, vemos que las raíces son x = 1 y x = 11.

Ejemplo 6 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Resuelve la ecuación cuadrática ^x2 + 8x + 16 = 20 utilizando la propiedad de la raíz cuadrada.

Solución

Observa que el lado izquierdo de esta expresión adopta la forma de un trinomio cuadrado perfecto. Factorizándolo, obtenemos

$$\begin{gathered} x^2+8x+16=20 \\ \Rightarrow {(x+4)}^2=20 \end{gathered}$$

Utilizando ahora la propiedad de la raíz cuadrada para resolverlo, obtenemos

$$\begin{gathered} \Rightarrow x+4=\pm \sqrt{20} \\ \Rightarrow x=\pm \sqrt{20}-4 \\ \Rightarrow x=\pm 2\sqrt{5}-4 \end{gathered}$$

Por tanto, las dos raíces son

$$\begin{gathered} x=-2\sqrt{5}-4\approx -8.47(correcttotwodecimalplaces) \\ x=2\sqrt{5}-4\approx 0.47(correcttotwodecimalplaces) \end{gathered}$$

A continuación se muestra un esbozo de esta gráfica.

Ejemplo 7 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Haciendo zoom en este gráfico, vemos que las raíces son aproximadamente x ≈ -8,47 y x ≈ 0,47.

Ejemplo 7 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Resuelve la ecuación cuadrática ^x2 - 10x + 24 = 0 completando el cuadrado.

Solución

Resta 24 a ambos lados de la ecuación como

$$\begin{gathered} x^2-10x+24=0 \\ \Rightarrow x^2-10x=-24 \end{gathered}$$

Para completar el cuadrado de esta expresión, debemos encontrar los valores que faltan de

$x^2-10x+\square =-24+\square$

Como

${\left(-\frac{10}{2}\right)}^2={(-5)}^2=25$

sumaremos 25 a cada lado para equilibrar la ecuación

$$\begin{gathered} \Rightarrow x^2-10x+25=-24+25 \\ \Rightarrow x^2-10x+25=1 \end{gathered}$$

Reescribe el lado izquierdo como cuadrado perfecto factorizando

$\Rightarrow {(x-5)}^2=1$

Ahora podemos utilizar la propiedad de la raíz cuadrada

$$\begin{gathered} \Rightarrow x-5=\pm \sqrt{1}=\pm 1 \\ \Rightarrow x=\pm 1+5 \end{gathered}$$

Así, las dos soluciones son x = 4 y x = 6. La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 8, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Resuelve la ecuación cuadrática ^3x2 + 10x - 8 = 0 completando el cuadrado.

Solución

Divide la ecuación por el coeficiente 3

$$\begin{gathered} 3x^2+10x-8=0 \\ \Rightarrow x^2+\frac{10}{3}x-\frac{8}{3}=0 \end{gathered}$$

Añade $\frac{8}{3}$ en ambos lados

$\Rightarrow x^2+\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$

Para completar el cuadrado de esta expresión, debemos encontrar los valores que faltan de

$x^2+\frac{10}{3}x+\square =\frac{8}{3}+\square$

Como

${\left(\frac{10}{2\times 3}\right)}^2={\left(\frac{5}{3}\right)}^2=\frac{25}{9}$

sumaremos $\frac{25}{9}$ a cada lado para equilibrar la ecuación

$$\begin{gathered} \Rightarrow x^2+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9} \\ \Rightarrow x^2+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}=\frac{49}{9} \end{gathered}$$

Reescribe el lado izquierdo como cuadrado perfecto factorizando

$\Rightarrow {\left(x+\frac{5}{3}\right)}^2=\frac{49}{9}$

Ahora podemos utilizar la propiedad de la raíz cuadrada

$$\begin{gathered} \Rightarrow x+\frac{5}{3}=\pm \sqrt{\frac{49}{9}} \\ \Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}}-\frac{5}{3} \\ \Rightarrow x=\pm \frac{7}{3}-\frac{5}{3} \end{gathered}$$

Así, las dos soluciones son $x=-4andx=\frac{2}{3}$. La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 9 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Haciendo zoom en esta gráfica, vemos que las raíces son verdaderas como se requiere.

Ejemplo 9 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Identifica el número y tipo de raíces de la ecuación cuadrática ^3x2 + 5x + 1 = 0 . Determina las raíces de esta expresión utilizando la Fórmula Cuadrática.

Solución

Aquí, $a=3,b=5andc=1.$

Empezamos por hallar el valor del discriminante como

$$\begin{gathered} D=b^2-4ac={\left(5\right)}^2-4\left(3\right)\left(1\right) \\ \Rightarrow D=25-12 \\ \Rightarrow D=13 \end{gathered}$$

Como D > 0, debemos tener dos raíces reales. Además, observa que D no es un cuadrado perfecto, por lo que las raíces de esta ecuación cuadrática deben ser irracionales. Utilizaremos ahora la Fórmula Cuadrática para determinar dichas raíces.

$$\begin{gathered} x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-\left(5\right)\pm \sqrt{13}}{2\left(3\right)} \\ \Rightarrow x=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{6} \end{gathered}$$

Así, las dos raíces son

$$\begin{gathered} x=\frac{-5-\sqrt{13}}{6}\approx -1.43(correcttotwodecimalplaces) \\ x=\frac{-5+\sqrt{13}}{6}\approx -0.23(correcttotwodecimalplaces) \end{gathered}$$

La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 10, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Determina el número y tipo de raíces de la ecuación cuadrática ^x2 - 6x + 10 = 0 . Determina las raíces de esta expresión utilizando la Fórmula Cuadrática.

Solución

Toma, $a=1,b=-6andc=10.$

Empezamos por hallar el valor del discriminante como

$$\begin{gathered} D={(-6)}^2-4\left(1\right)\left(10\right) \\ \Rightarrow D=36-40 \\ \Rightarrow D=-4 \end{gathered}$$

Como D < 0, debemos tener dos raíces complejas conjugadas. Utilizaremos ahora la Fórmula Cuadrática para determinar dichas raíces.

$$\begin{gathered} x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{-4}}{2\left(1\right)} \\ \Rightarrow x=\frac{6\pm i\sqrt{4}}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{6\pm 2i}{2} \\ \Rightarrow x=3\pm i \end{gathered}$$

Así, las dos raíces conjugadas complejas son $x=3-iandx=3+i.$

Ejemplo 11, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Expresa la ecuación y = ^x2 + 4x + 6 en forma de vértice y traza la gráfica de la función.

Solución

Observa que y = ^x2 + 4x + 6 no es un cuadrado perfecto. Empezamos completando el cuadrado de esta expresión.

$y=(x^2+4x+\square )+6-\square$

Para encontrar los valores que faltan, sumamos ${\left(\frac{4}{2}\right)}^2=4$ y equilibramos la ecuación restando 4 como

$y=(x^2+4x+\mathbf{4})+6-\mathbf{4}$

Escribiendo ahora esto como un cuadrado perfecto, obtenemos

$\Rightarrow y={(x+2)}^2+2$

Como h = -2 y k = 2, el vértice está en (-2, 2). El eje de simetría es x = -2. Como a = 1, la gráfica se abre y tiene la misma forma que la gráfica de y = ^x2. Además, la gráfica se traslada 2 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia arriba.

La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 12, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Escribe la ecuación y = ^-2x2 - 12x + 17 en forma de vértice y traza la gráfica de la función.

Solución

Observa que y = ^-2x2 - 12x + 17 no es un cuadrado perfecto. Empezaremos factorizando los dos primeros términos del lado derecho como

$y=-2(x^2+6x)+17$

A continuación, completaremos el cuadrado de esta expresión.

$y=-2(x^2+6x+\square )+17-(-2)\square$

Para encontrar los valores que faltan, sumamos ${\left(\frac{6}{2}\right)}^2=9$ y equilibramos la ecuación restando -2(9) como

$y=\mathbf{-}\mathbf{2}(x^2+6x+\mathbf{9})+17-\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{\left(}\mathbf{9}\mathbf{\right)}$

Escribiendo ahora esto como un cuadrado perfecto, obtenemos

$\Rightarrow y={-2(x+3)}^2+35$

El vértice está en (-3, 35), y el eje de simetría es x = -3. Como a = -2, la gráfica se abre hacia abajo y es más estrecha que la gráfica de y = ^x2. Además, la gráfica está trasladada 1 unidad a la derecha y 2 unidades hacia arriba.

La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 13, Aishah Amri - StudySmarter Originals