Funciones Trigonométricas de Ángulos Generales

¿Qué son los ángulos generales?

Empecemos este tema introduciendo a continuación la definición de ángulo.

Este punto final se denomina vértice de un ángulo. El tamaño del vértice varía en función de lo anchos o estrechos que sean los dos rayos que se cruzan en su punto final común.

En un sistema de coordenadas cartesianas, denotamos un ángulo por \(\theta\). Si el vértice de \(\theta\) está situado en el origen O y su lado inicial (primera semirrecta) está en el eje x positivo, entonces \(\theta\) está en la posición estándar. La segunda semirrecta del ángulo se llama lado terminal.

La posición estándar de un ángulo, StudySmarter Originals

Los cuatro cuadrantes

El plano de coordenadas cartesianas está dividido en 4 cuartos llamados cuadrantes. Estos cuatro cuadrantes se enumeran a continuación.

• Cuadrante I: Cuadrante superior derecho formado por los ejes positivos \(x\) y \(y\)-.

• Cuadrante II: Cuadrante superior izquierdo formado por el eje \(x\)-negativo y el eje \(y\)-positivo.

• Cuadrante III: Cuadrante inferior izquierdo, formado por los ejes \(x\) negativo y \(y\) positivo.

• Cuadrante IV: cuadrante inferior derecho, formado por los ejes \(x\)-positivo y \(y\)-negativo.

Los cuatro cuadrantes, StudySmarter Originals

Si el lado terminal de un ángulo cae dentro de un cuadrante específico mientras el ángulo está en su posición estándar, entonces se dice que el ángulo está en ese cuadrante. Aquí tienes un ejemplo de un ángulo en cada cuadrante.

Si el lado terminal de un ángulo (en posición estándar) se encuentra a lo largo del eje \(x\)-o del eje \(y\)-, entonces el ángulo se denomina cuadrantal. En otras palabras, se dice que un ángulo es cuadrangular si es igual a un múltiplo entero de ^90o (o 2π radianes). ^-360o, ^-270o, ^-180o, ^-90o, ^0o, ^90o, ^180o, ^270o y 360o^son ángulos cuadranciales. Teniendo esto en cuenta, definamos finalmente un ángulo general como sigue

El ángulo de referencia

El ángulo de referencia siempre es positivo. El tamaño del ángulo de referencia depende del ángulo estándar dado y del cuadrante en el que se encuentre.

El diagrama siguiente muestra cómo puedes resolver el ángulo de referencia en cada cuadrante. Denotemos el ángulo de referencia por r y el ángulo dado por \(\theta\).

Ángulo de referencia para cada cuadrante, StudySmarter Originals

El ángulo de referencia se suele utilizar para hallar el Seno y el Coseno del ángulo estándar. Se utiliza para simplificar los cálculos trigonométricos cuando un ángulo dado es grande o de valor negativo. Lo observarás en el siguiente apartado. Los ángulos de referencia también se pueden utilizar para hallar las coordenadas de un punto en una circunferencia (unidad).

El círculo unitario

El círculo unitario es un círculo de radio 1, construido sobre un plano cartesiano y centrado en el origen. El círculo unitario se utiliza para describir las relaciones trigonométricas (como Seno, Coseno y Tangente) de un triángulo rectángulo, relacionando entre sí las medidas de sus ángulos y lados. A continuación se muestra una representación gráfica de un círculo unitario.

Círculo unitario, StudySmarter Originals

Lectura del círculo unitario

Rotulemos ahora algunos ángulos notables correspondientes a las coordenadas del círculo unitario para ayudarte en tu representación visual. Recuerda que debes considerar los cuatro cuadrantes de este plano.

Lectura del círculo unitario, StudySmarter Originals

Las coordenadas \(x\) y \(y\)-que rodean este círculo unitario nos dan el valor de cada ángulo que quieres conseguir basándote en la función trigonométrica dada.

A primera vista, esto puede parecer bastante desalentador, lo que probablemente te haya disuadido en absoluto de memorizar el contenido de este círculo unitario. Pero, ¡no temas!

En realidad basta con que recuerdes los valores de 2 cuadrantes, los Cuadrantes 1 y 2, de 0 a π. Observa que los Cuadrantes 3 y 4 son reflexiones de los Cuadrantes 1 y 2 sobre el eje \(x\)-. Esto significa que las coordenadas \(y)- de los cuadrantes 3 y 4 son los valores recíprocos de las coordenadas \(y)- de los cuadrantes 1 y 2.

Definiciones de seno, coseno y tangente en el círculo unitario

Pasemos ahora a leer este círculo unitario. Las coordenadas de este círculo unitario se leen como

\((x, y) = (cos θ, sen θ)\)

ya que \(x = cos θ\) y \(y = sen θ\). Vuelve a mirar el diagrama inicial de un círculo unitario y recuerda la relación seno y coseno para determinarlo. Teniendo esto en cuenta, para un ángulo \(θ\), puedes encontrar el valor de \(sen θ\) y \(cos θ\) simplemente mirando las correspondientes coordenadas \(x\) y \(y\), respectivamente.

¿Y qué pasa con \(tan θ\)? En este caso, basta con utilizar la razón tangente para resolverlo. Recordando que \(tan\theta=\frac{y}{x}\), obtienes

donde los valores de \(sen θ\) y \(cos θ\) pueden obtenerse mediante el círculo unitario.

Ejemplos con el círculo unitario

Veamos ahora algunos ejemplos que utilizan el círculo unitario.

¿Qué son las funciones trigonométricas?

Las funciones trigonométricas relacionan las medidas de los ángulos y las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo. Las funciones trigonométricas más comunes son Seno, Coseno y Tangente. Sin embargo, existen funciones trigonométricas recíprocas, como la Cosecante, la Secante y la Cotangente, así como funciones de razones trigonométricas inversas , como el Arcoseno, el Arcocoseno y la Arctangente.

Recapitula: Razones trigonométricas

Antes de continuar con nuestro tema principal, puede ser útil recordar las razones trigonométricas mencionadas anteriormente. Estas razones se derivan de un triángulo rectángulo, como se muestra a continuación.

Triángulo rectángulo, StudySmarter Originals

Los tres lados de este triángulo se etiquetan como opuesto, adyacente e hipotenusa con el ángulo θ. Para recordar las razones seno, coseno y tangente, basta con utilizar el acrónimo: SOH CAH TOA. Esta mnemotecnia equivale a los valores siguientes.

Razones trigonométricas, Originales de StudySmarter

Puedes encontrar una discusión más detallada sobre este tema aquí: Trigonometría de triángulos.

Ángulos especiales

Losángulos especiales son los ángulos más utilizados cuando se trata de funciones trigonométricas. Hay 8 medidas de ángulos especiales a considerar, a saber: ^0o, ^30o, ^45o, ^60o, ^90o, ^180o, ^270o y ^360o. La unidad de medida utilizada aquí se llama grados. También puedes definir estos ángulos en una forma de razón conocida como radián.

Grados y radianes

Hay dos formas de representar ángulos:

1. Grados (como se ha mencionado anteriormente)

2. Radianes

Medir un ángulo en grados es la forma más común de denotar un ángulo. En cambio, los radianes utilizan el concepto de círculo para representar un ángulo. Digamos que tienes un círculo con un ángulo igual a 1 radián (consulta el diagrama siguiente).

Radianes, Originales de StudySmarter

La circunferencia anterior describe un arco igual a la longitud del radio. Esto se debe a que la longitud de un círculo completo es 2πr. En otras palabras, este círculo contiene 2π radianes. Entonces, ¿cómo se relacionan el grado y el radián de un ángulo? Aquí tienes una fórmula general que puedes utilizar para convertir un ángulo en grados a radianes y viceversa.

Teniendo esto en cuenta, la tabla siguiente muestra los valores de nuestros ángulos especiales mencionados en grados y radianes.

Funciones trigonométricas de ángulos especiales

Ahora que hemos establecido nuestro conjunto de ángulos especiales, puedes utilizar el círculo unitario para deducir los valores de las funciones trigonométricas de estos ángulos. Esto se muestra en la tabla siguiente.

Funciones trigonométricas y sus propiedades

En este apartado verás las propiedades gráficas de las tres funciones trigonométricas principales: Seno, Coseno y Tangente. Puedes utilizar el círculo unitario para trazar cada gráfica.

La gráfica del seno

Empecemos por la función Seno. Tracemos ahora estos valores en el plano cartesiano (ten en cuenta que aquí sólo consideramos valores \(x\)-positivos). Puede ser útil escribir aquí el eje \(x\)-en forma de radianes.

Función seno, StudySmarter Originals

Ampliemos ahora esta gráfica y consideremos los valores negativos de \(x\)-.

Gráfica ampliada del seno, StudySmarter Originals

Propiedades de la función seno

De aquí puedes deducir las siguientes características principales de la gráfica del seno.

• La gráfica del seno se repite tras un periodo de \(2\pi\) (o ^360o). Esto significa que la función es periódica con un periodo de \(2\pi\).

• La gráfica del seno es simétrica respecto al origen, lo que la convierte en una función impar.

• El valor mínimo de la función seno es -1. La función seno alcanza su valor mínimo en \(\frac{3\pi}{2}\) y en cada \(2\pi}\) anterior y posterior.

• El valor máximo de la función seno es 1. La función seno alcanza su valor máximo en \(\frac{\pi}{2}\) y en cada \(2\pi}\) anterior y posterior.

• El dominio de la función seno es el conjunto de todos los números reales, (-∞, ∞).

• El rango de la función seno es [-1, 1].

• La gráfica del seno cruza el eje \(x\)-en cada múltiplo de \(\pi\). Éstos son los ceros de la función donde \(\sin{\theta}=0\).

• La función seno es positiva en los Cuadrantes I y II y negativa en los Cuadrantes III y IV.

  El punto anterior trata del signo de una función trigonométrica concreta. Para la función seno, es positivo para todo [kπ, 2kπ] y negativo para todo [2kπ, 3kπ], donde k es un número entero. Puedes aplicar la misma idea a las funciones coseno y tangente a continuación.

Otro nombre para la función seno es curva sinusoidal.

La Gráfica del Coseno

Pasemos ahora a la Función Coseno. Trazaremos estos valores en el plano cartesiano (ten en cuenta que aquí sólo consideramos valores \(x\)-positivos). Puede ser útil escribir aquí el eje \(x\)-en forma de radianes.

Función coseno, StudySmarter Originals

Ampliemos ahora este gráfico y consideremos los valores negativos de \(x\)-.

Función coseno ampliada, StudySmarter Originals

Propiedades de la función coseno

Observando esta gráfica, puedes determinar las características fundamentales de la función coseno como se indica a continuación.

• La gráfica del coseno se repite tras un período de \(2\pi\) (o ^360o). Esto significa que la función es periódica con un período de \(2\pi\).

• La gráfica del coseno es simétrica respecto al eje y, lo que la convierte en una función par.

• El valor mínimo de la función coseno es -1. La función coseno alcanza su valor mínimo en \(\pi\) y cada \(2\pi\) antes y después.

• El valor máximo de la función coseno es 1. La función coseno alcanza su valor máximo en 0 y cada \(2\pi\) antes y después.

• El dominio de la función coseno es el conjunto de todos los números reales, (-∞, ∞).

• El rango de la función coseno es [-1, 1].

• La gráfica del coseno cruza el eje \(x\\)-en cada múltiplo de \(\frac{\pi}{2}\). Éstos son los ceros de la función donde \(\cos{\theta}=0\).

• La función coseno es positiva en los cuadrantes I y IV y negativa en los cuadrantes II y III.

La Gráfica Tangente

Por último, examinarás la función tangente. Como antes, trazarás esta gráfica como se indica a continuación.

Gráfica de la tangente, StudySmarter Originals

De nuevo, ampliarás la gráfica y considerarás los valores negativos \(x\)-. Observa cómo las asíntotas se acercan mucho a las líneas de puntos azules, pero nunca se tocan.

Gráfica tangente ampliada, StudySmarter Originals

Propiedades de la función tangente

Por tanto, puedes deducir las características clave de la función tangente como sigue.

• La gráfica de la tangente se repite tras un periodo de \(\pi\) (o ^180o). Esto significa que la función es periódica con un periodo de \(\pi\).

• La gráfica de la tangente no tiene valor mínimo ni máximo debido a la presencia de las asíntotas.

• La gráfica de la tangente tiene asíntotas, que son valores a los que la función se acercará hasta el infinito.

• Las asíntotas se producen en \(\frac{\pi}{2}}) y en cada \(\pi\}) anterior y posterior (aquí es donde la gráfica tiende a infinito en ambos extremos).

• La gráfica tangente cruza el eje \(x\) en cada múltiplo de \(\pi\). Son los ceros de la función donde \(\tan{\theta}=0\).

• El dominio de la función tangente es el conjunto de todos los números reales excepto los valores en los que cos(x) es igual a 0, es decir, los valores \(frac{\pi}{2}+\pi n\), para todos los enteros n.

• El rango de la función tangente son todos los números reales.

• La función tangente es positiva en los cuadrantes I y III y negativa en los cuadrantes II y IV.