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La ecuación de las rectas
Todas las rectas pueden expresarse en el formato \(y= mx + b\), donde
- y es el valor de la coordenada y de un punto de la recta.
- x es el valor de la coordenada x del mismo punto de la recta.
- m es el gradiente de la gráfica de una recta, que se puede hallar mediante
\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{{texto}{diferencia en las coordenadas y}}{{texto}{diferencia en las coordenadas x}}].
La pendiente se define como la inclinación de la recta en un punto determinado.
- b es el valor de la coordenada y cuando la recta se cruza con el eje y (x = 0).
Halla la ecuación de la recta entre los puntos (-1, 2) y (0, 8). Deja tu respuesta en la forma \(y = mx + b\)
Sea A = (-1, 2) y C = (0, 8). El gradiente puede hallarse utilizando la ecuación y los puntos
A = (-1, 2) y C = (0, 8).
\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8-2}{0-(-1)} = \frac{6}{1} = 6\)
Otro método de calcular el gradiente es mediante la ecuación \(m = \frac{texto}{diferencia en las coordenadas y}}{texto}{diferencia en las coordenadas x}})
Esta ecuación requiere el trazado del triángulo rectángulo bajo la recta y sus coordenadas, incluido el punto B = (0, 2), donde el ángulo del triángulo es de 90 °. Podemos verlo gráficamente como
Representación gráfica del ejemplo. Jaime Nichols, StudySmarter Original
Como el punto C (0, 8) está en el eje y, la coordenada y pasa a ser b en la ecuación.
Por tanto, la ecuación es \(y = 6x+8\)
Podrías reescribir el ejemplo anterior en la forma \(y - y_1 = m(x-x_1)\) utilizando el punto A (-1, 2) y m = 6 de la siguiente forma \(y -2 = 6(x-(-1)) = y -2 = 6(x+1)\).
La ecuación también puede escribirse en la forma \(Ax + By = C\). A diferencia de las dos primeras ecuaciones, esta forma no se puede conseguir sustituyendo directamente los valores en la fórmula. En su lugar, debes encontrar la ecuación en una de las dos primeras ecuaciones y luego reordenarla en la forma \(Ax + By = C\).
Una recta tiene una pendiente de \(\frac{1}{2}}) y pasa por el punto de (0, 10). Escribe la ecuación de esta recta en la forma \(Ax + By = C\).
Primero, escribe la ecuación de la recta en una de las dos primeras formas, donde \(m = \frac{1}{2} \text{ y } b = 10\)
\(y = x+10)
A continuación, A, B y C deben ser números enteros, por lo que debes multiplicar ambos lados de la ecuación por dos para eliminar la fracción.
\(2y = x + 20\)
Por último, tienes que mover la x al otro lado para que quede en la forma \(Ax + By = C\).
\(2y - x = 20\)
Encontrar coordenadas mediante la ecuación de la recta
Puede que te pidan que encuentres las coordenadas mediante una ecuación lineal. Para ello, sustituye uno de los valores en la ecuación lineal para obtener el otro.
La recta A tiene la ecuación lineal de \(y = 10x - 4\). ¿Cuál es la coordenada y del punto de la recta cuando x = 14?
Como conoces el valor de x, puedes sustituirlo en la ecuación.
\(y = 10(14) - 4\)
\(y = 136\)
Por tanto, la respuesta es (14, 136).
La recta B tiene la ecuación lineal de \(y = 2x + 7\). ¿Cuál es la coordenada x del punto de la recta cuando y = 17?
Como conoces el valor de y, puedes sustituirlo en la ecuación.
\(17 = 2x + 7\)
\(10 = 2x\)
\(x = 5\)
Por tanto, la coordenada es (5, 17)
Es importante que des tu respuesta en la forma que se pide en la pregunta. Si te piden que des las coordenadas, asegúrate de que das tu respuesta en forma de coordenadas. Es un error frecuente pero fácil de evitar.
¿Cómo se traza una recta?
Para trazar un gráfico rectilíneo, necesitas
Traza una tabla con los valores x y los valores y.
Dibuja tus ejes en el papel cuadriculado y rotúlalos si se aplican a una situación del mundo real.
Traza los puntos dados en la gráfica.
Une todos los puntos con una sola línea recta utilizando una regla.
Dibuja la recta \(y = 2x +1\)
1. Traza una tabla con los valores de x e y
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | -5 | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 |
2. Dibuja tu eje
Eje plano
3. Traza tus puntos
Puntos trazados en el eje, Jaime Nichols, StudySmarter Originals
4. Une todos los puntos con una recta:
Gráfico trazado completo, Jaime Nichols, StudySmarter Originals
Características de los gradientes de las rectas
Conocer las características de los gradientes de las rectas te facilitará el cálculo de las preguntas más difíciles sobre la ecuación de la recta. Utilizando el ejemplo anterior y = 6x + 8, repasaremos las características de otros tipos de gradientes.
Pendiente de gradiente negativa
La gráfica ilustra las rectas \(y = -6x + 8\) y \(y = 6x + 8\).
Gradiente negativo en un gráfico, Jaime Nichols, StudySmarter Originals
Podemos hacer dos observaciones a partir de este gráfico sobre el gradiente negativo:
La intersección y (0, 8) es la misma tanto para el gradiente positivo como para el negativo, por lo que tener un gradiente negativo no tiene ningún efecto sobre la intersección y.
A medida que aumentamos la variable x, la variable y disminuye y, por tanto, la recta se desplaza en diagonal descendente.
La pendiente de las rectas paralelas
Las rectas paralelas son rectas que existen en el mismo gráfico pero que no se encuentran, manteniendo continuamente la misma distancia de separación.
La gráfica siguiente representa dos rectas paralelas, \(y = 6x + 8\) y \(y = 6x + 15\)
Gráfica de rectas paralelas, Jaime Nichols, StudySmarter Originals
Hay dos observaciones que puedes hacer sobre las rectas paralelas:
- Cuando dos líneas son paralelas, los gradientes son iguales. En este ejemplo, ambas rectas tienen un gradiente de 6.
- Las rectas tienen valores diferentes de b y, por tanto, tienen intersecciones y diferentes.
La pendiente de las rectas perpendiculares
Las rectas perpendiculares son rectas que se cruzan entre sí a 90º
La gráfica siguiente muestra dos rectas perpendiculares: \(y = 6x + 8\) y \(y = - \frac{1}{6}x +8\).
Gráfica de rectas perpendiculares, Jaime Nichols, StudySmarter Originals
Hay dos observaciones importantes que pueden hacerse sobre los gradientes de las rectas perpendiculares.
Para que las rectas se intercepten entre sí, los gradientes de las dos rectas deben ser recíprocos inversos negativos entre sí. Un recíproco negativo de un gradiente viene dado por la fórmula \(-\frac{1}{m}\), donde m es el gradiente original. En este ejemplo, los gradientes de las dos rectas 6 y \(-\frac{1}{6}\) son recíprocos negativos entre sí.
El intercepto y es el mismo para ambas rectas, ya que el punto de intercepción se encuentra en el eje y. La intersección y sería distinta para cada recta si la recta de intersección no estuviera sobre el eje y. Por ejemplo, si el punto de intersección fuera (1, 14), entonces lo sustituirías en la fórmula \(y = mx + b\)
\(14 = \frac{-1(1)}{6} + b\)
\(\frac{84}{6} = \frac{-1}{6} + b\)
\(b = \frac{84}{6} + \frac{1}{6} = \frac{85}{6}\)
la recta perpendicular sería \(y = - \frac{1}{6} x + \frac{85}{6}\)
Gráfica de rectas perpendiculares, Jaime Nichols, StudySmarter Originals
¿Cómo se halla la ecuación de la gráfica de una recta a partir de un conjunto de puntos?
Hay varios tipos diferentes de preguntas que te pueden hacer, que ahora repasaremos con ejemplos.
Encontrar la ecuación de la recta cuya intersección y es desconocida.
A veces no te dicen la intersección y, lo que significa que tenemos que calcular un valor para C si utilizamos la forma \(Ax + By = C\). Para ello necesitamos los siguientes pasos:
- Calcula el gradiente
- Sustituye en la ecuación los valores de x e y de un punto de la recta.
- Reorganiza para obtener el valor A de B
La recta C es una recta que pasa por 2 puntos (2, 4) y (4,7). ¿Cuál es la ecuación de la recta C?
- Calcula el gradiente: \(m = \frac{7-4}{4-2} = \frac{3}{2}\)
- Sustituye el gradiente y uno de los puntos en la ecuación. Utilizaremos el punto (2, 4): \(4 = \frac{3}{2}(2) + b\)
- Reorganiza para obtener un valor para b: \(4 = 3 + b \qquad b = 4-3 =1\) Por tanto, la respuesta es \(y = \frac{3}{2}x+1\)Sin embargo, podrían pedirte que escribieras la ecuación, \(Ax + By = C\). La C de esta ecuación no es la misma que la b de la primera ecuación, por lo que tenemos que seguir reordenando.
\(2y=3x+2\)
\(2y-3x = 2\)
Si tienes dificultades con este paso y no te dicen que des una forma específica, puede que te resulte más fácil trabajar con la ecuación \(y-y_1 = m(x-x_1)\), ya que no necesitas reordenar para encontrar un valor para b. Para el ejemplo anterior, necesitas encontrar la pendiente y sustituir un punto en la ecuación: \(y -4 = \frac{3}{2}(x-2)\).
Hallar la ecuación de una recta a partir de gráficas
Encontrar la ecuación lineal a partir de la gráfica es similar al método anterior, con ligeras diferencias.
Identifica dos puntos de la recta
Calcula el gradiente a partir de esos dos puntos
Halla el valor de b buscando el punto en que la recta cruza la intersección y
Formula la ecuación.
Halla la ecuación lineal de la gráfica siguiente.
Triángulo utilizado para hallar el gradiente, Jaime Nichols
- Identifica dos puntos de la recta: (0, 2) y (1, 1) se sitúan sobre la recta.
- Halla el gradiente: \(m = \frac{1-2}{1-0} = \frac{-1}{1} = -1\)
- Halla la intersección y: El punto (0, 2) se sitúa en el eje y, por tanto, b = 2.
- Sustituye los valores en una fórmula: \(y = -x +2\)
Líneas horizontales
Como la pendiente de las rectas horizontales es 0, la ecuación de la recta es y = b, donde b es la intersección y.
Gráfica de y = b, Jaime Nichols, StudySmarter Originals
Esta recta horizontal tiene la ecuación y = 10, ya que corta al eje y en (0, 10).
Líneas verticales
La pendiente de las rectas verticales es infinita y puede expresarse mediante la ecuación x = d, siendo d el punto de intersección de la recta con el eje x.
Gráfica de x = d, Jaime Nichols, StudySmarter Originals
Esta recta vertical tiene la ecuación x = 0,5, porque se cruza con el eje x en el punto (0,5, 0)
Utilización de gráficos de líneas rectas en ejemplos de la vida real
Los gráficos de líneas rectas pueden utilizarse para representar las relaciones entre dos variables cualesquiera. Por ejemplo, las empresas la utilizan para mostrar cuántas ventas realizan a lo largo del tiempo.
A continuación puedes ver un ejemplo de gráfico rectilíneo que muestra el número de ventas totales a lo largo del tiempo, en este ejemplo utilizamos (y) como el número total de coches vendidos y (x) como el número de semanas.
Ejemplo de gráfico rectilíneo, Jaime Nichols
Para hallar la tasa de variación, necesitamos determinar el gradiente. Sabemos por la ecuación que el gradiente es 3. Esto significa que la tasa del número de ventas es de 3 coches por semana.
Si te piden que contextualices la pendiente en un examen, es importante que te refieras a ella como la tasa de algo para obtener la puntuación.
También es posible que tengas que explicar la posición de la intersección y. En este ejemplo, la recta interseca con el origen, lo que tiene sentido porque, a las 0 semanas, no han empezado a vender ningún coche.
A veces, sobre todo en los gráficos rectilíneos de costes, la línea puede intersecarse por encima del origen. Esto normalmente sugiere que había algunos costes iniciales fijos que debían tenerse en cuenta. Un ejemplo habitual utilizado en los exámenes es un depósito. Es importante señalar que este coste es fijo y, por tanto, no cambia independientemente del cambio en x e y.
Gráficas de líneas rectas - puntos clave
- \(y = mx + b\) es la ecuación principal de la recta, pero también puedes utilizar \(y - y_1 = m (x-x_1)\) y \(Ax + By = C\)
- En la ecuación de una recta, m representa el gradiente, que puede hallarse mediante la fórmula \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) y c es la intersección y de la gráfica de la recta.
- Las rectas paralelas tienen el mismo gradiente, mientras que los gradientes de las rectas perpendiculares son el recíproco negativo entre sí.
- La ecuación de una recta vertical es x = d, donde d es la intersección con el eje x.
- La ecuación de una recta horizontal es y = b, donde b es la intersección con el eje y.
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