Integración paramétrica

Muchas curvas que integramos tienen la forma \(y = f (x)\). Para la mayoría de las curvas, esto está bien, pero no siempre es posible o conveniente escribirlo así. Es en este escenario donde resultan útiles las coordenadas paramétricas.

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¿Por qué algunas curvas se definen paramétricamente?

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¿Cómo pasamos de coordenadas t en el límite a coordenadas x?

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Una curva se define como x(t)=t²-4, y(t)=4t. Halla el área bajo la curva delimitada por la recta x=2, x=8 y el eje x.

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Una curva se define como x(t)=t²+3, y(t)=1/t, t>0. Halla el área bajo la curva delimitada por la recta x=4, x=7 y el eje x.

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Una curva se define como x(t)=t³, y(t)=4t. Halla el área bajo la curva delimitada por la recta x=1, x=9 y el eje x.


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Una curva se define como x(t)=t³-2, y(t)=6t. Halla el área bajo la curva delimitada por la recta x=4, x=11 y el eje x.

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Una curva se define como x(t)=3-t, y(t)=4t². Halla el área bajo la curva delimitada por la recta x=-4, x=9 y el eje x.

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Una elipse se define paramétricamente como x(t)=3sin(t), y(t)=4cos(t), 0<t<2π. Halla el área de la elipse integrando paramétricamente.

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Una elipse se define paramétricamente como x(t)=6sin(t), y(t)=2cos(t), 0<t<2π. Halla el área de la elipse integrando paramétricamente.

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Una elipse se define paramétricamente como x(t)=4sin(2t), y(t)=9cos(2t), 0<t<π. Halla el área de la elipse integrando paramétricamente.

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Una elipse se define paramétricamente como x(t)=3sin(t), y(t)=4cos(t), 0<t<2π. Halla el área de la elipse integrando paramétricamente.

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    Recapitulación de las coordenadas paramétricas

    En este escenario, introduzcamos una variable "ficticia", normalmente denotada como t. La llamamos variable ficticia porque es un concepto abstracto que asigna un valor a una coordenada x o y, y no se representa gráficamente.

    Esto significa que, en lugar de tener una función de la forma \( y = f (x)\), representamos una curva mediante \(y(t) = g(t)\), \(x (t) = h (t)\), donde h y t son funciones que describen el cambio de las coordenadas x e y, respectivamente.

    Una curva se describe mediante \(y (t) = 2 (t)\), \(x (t) = 2 (t)\), \(0 < t < 2\pi\).

    Expresando la curva paramétrica como \( (x (t))^2 + (y (t))^2 = (2\cos{t})^2 + (2\sin{t})^2 = 4\) \(\cos^2{t} + \sin^2{t} = 4\), vemos que en realidad describe un círculo de radio 4, o sea \(x^2 + y^2 = 4\).

    ¿Por qué funciona la integración paramétrica?

    Normalmente, esperamos evaluar una integral de la forma \( \int y (x) dx\); sin embargo, necesitamos cambiar esto porque nuestra curva no tiene la forma \(y (x)\). Utilizamos una versión modificada de la Regla de la Cadena. Podemos sustituir dx por \(\frac{dx}{dt}dt\) (puedes pensar que los dt se anulan. Aunque técnicamente no es así como funcionan, ya que \(\frac{dx}{dt}\) no es estrictamente una fracción, podemos tratarla como tal a efectos operativos). Esto da una integral de la forma \(\int{y(t)\frac{dx(t)}{dt}dt}).

    También debemos recordar que lo que hay que hacer con las integrales paramétricas es cambiar los límites. Supongamos que tenemos una integral de la forma \(\int^b_a{f(x)dx}\). También debemos cambiar los límites, lo que da lugar a que la integral sea de la siguiente forma: \(\int^d_c{f(t)\frac{dx}{dt}dt}), donde \(c = x^{-1}(a)\) y \(d = x^{-1}(b)\).

    Ejemplos de integración paramétrica

    A primera vista, éste puede ser un tema difícil de entender, así que vamos a ver un par de ejemplos para intentar consolidar lo que hemos dicho hasta ahora.

    Una curva está definida paramétricamente con \( x(t) = 2 -t\) y \(y(t) = e^t - 1\). Halla el área encerrada por el eje x, la recta x = 0 y la curva.

    Lo primero que hay que hacer es averiguar dónde cruza la curva el eje x y dónde cruza la recta x = 0 la curva.

    Si la recta cruza el eje x, el valor y será cero. Resolviendo esto, tenemos \(e^t -1 = 0\) lo que implica \(e^t = 1\) y a su vez t = 0. Cuando x = 0, entonces \(2 - t = 0\) lo que implica t = 2.

    Esto significa que ya tenemos nuestros límites y podemos empezar la integral. Tenemos

    \[\int^0_2{(e^t -1)} \cdot \frac{d}{dt}(2 - t) \cdot dt = - \int^0_2{(e^t - 1)} dt = \int^0_2{(e^t - 1) dt}].

    donde cambiamos los límites para cambiar el signo.

    Esto equivale entonces a \([e^t - t]_{t=0}^{t=2} = [(e^2 - 2) - (1-0)] = e^2 - 3\).

    Mediante integración paramétrica, halla el área de la circunferencia definida como \(x(t) = -3\cos(t), y(t) = 3\sin(t), 0 < t < 2\pi\).

    Por la fórmula de integración paramétrica, tenemos:

    \[\int^{2\pi}_0 {3\sin(t) \cdot \frac {d}{dt} (-3 \cos (t))dt} = 9 \int^{2\pi}_0 \sin^2(t)dt\].

    Ahora tenemos que utilizar aquí una fórmula de ángulo doble, y podemos usar el resultado \frac{1}{2}(1 - \cos(2t))\).

    Rellenando esto, obtenemos \(\frac{9}{2} \int^{2\pi}_0{(1-\cos(2t))dt} = \frac{9}{2}[t - \frac{1}{2} \sin(2t)]^{t = 2\pi}_{t = 0} = 9\pi}), que es lo que cabría esperar de un círculo de radio 3.

    Pregunta tipo examen

    Supongamos que tenemos una curva definida paramétricamente, con \(x(t) = 3\cos(4t)\) y \(y(t) = 6 \sin(8t)\), con \(0 < t < \frac{\pi}{8}\).

    i) Encuentra cualquier punto de inflexión de la curva.

    ii) Halla el área bajo la curva.

    i) Para que haya un punto de inflexión, entonces \(\frac{dy}{dx}}) debe ser igual. Por la regla de la cadena

    \[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dy}{dt}(\frac{dx}{dt})^{-1}\].

    Ahora podemos utilizar las fórmulas estándar de las derivadas de las funciones trigonométricas para hallar estos resultados.

    \frac{dy}{dt} = 48 \cos(8t)\) y \frac{dx}{dt} = -12 \sin(4t)\), lo que a su vez dará \frac{dy}{dx} = \frac{48 \cos(8t)}{-12 \sin(4t)}.

    Podemos resolverlo igual a cero para hallar el valor t del punto de inflexión. Para que esto sea igual a cero, entonces el numerador debe ser igual a cero, lo que implica que \(\cos(8t) = 0\).

    Esto significa que \(8t = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \epsilon N\), que además reducimos a \(t = \frac{\pi}{16} + \frac{n\pi}{8}, n \epsilon N\).

    El único valor de t aquí que satisface el \(0 < t < 8\pi) es \(t = \frac{\pi}{16}\).

    Esto da la coordenada x del punto de inflexión como \(3\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{3\sqrt{2}}{2}), y la coordenada y como \(6\sin(\frac{\pi}{2}) = 6\).

    En primer lugar, resolvamos. la dirección de nuestros límites. \(x(0) = 3\) y \(x(\frac{\pi}{8}) = 0\), lo que significa que el área bajo la curva viene dada por

    |y(t) \cdot \frac{dx}{dt}\cdot dt} = \int^0{{frac{pi}{8}}{6 \sin(8t)(-12\sin(4t))dt} = 72\int^{frac{pi}{8}{0{sin(8t) \sin(4t)dt}].

    donde "volteamos los límites" para eliminar el signo negativo. Podemos utilizar una fórmula de ángulo doble para ayudarnos a resolver esta integral.

    Sabemos que \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\). Esto implica que \(\sin(8x) = 2 \cdot \sin(4x) \cos(4x)\).

    Rellenando esto, obtenemos la integral \(144 \int^{frac{\pi}{8}}_0 \sin^2(4t)\cos(4t)dt\).

    Puesto que \(\int \sin(t) = \cos(t)\), parece intuitivo que lo más adecuado es una integración por sustitución.

    Tomemos \(u = \sin(4t)\), lo que implica \(\frac{du}{dt} = 4\cos(4t)\), por lo que \(dt = \frac{du}{4\cos(4t)}\).

    Como se trata de una integral definida, también tenemos que cambiar los límites.

    \(u_1 = \sin(4 \cdot 0) = 0\) y \(u_2 = \sin(4 \cdot \frac{\pi}{8}) = 1\).

    Completando esto, podemos decir que \(144 \int_0^{frac{\pi}{8} \sin^2(4t) \cos(4t) dt = 36 \int^1_0 u^2 du\).

    Se trata de una integral sencilla y puede evaluarse directamente.

    \(36 \int^1_0 u^2 du = 12[u^3]^{u = 1}_{u = 0} = 12[1-0] = 12\).

    Integración paramétrica - Puntos clave

    • La fórmula de la integración paramétrica es \(\int{y(t)\frac{dx(t)}{dt}dt}).

    • Debemos recordar cambiar los límites al pasar de coordenadas x a coordenadas t.

    Preguntas frecuentes sobre Integración paramétrica
    ¿Qué es la integración paramétrica?
    La integración paramétrica es una técnica en matemáticas que involucra integrar funciones definidas de forma paramétrica, es decir, mediante un parámetro común.
    ¿Cuándo se utiliza la integración paramétrica?
    Se utiliza cuando las funciones están expresadas en términos de un parámetro, simplificando cálculos en geometría y física.
    ¿Cómo se realiza una integral paramétrica?
    Para realizar una integral paramétrica, se integran las funciones en términos del parámetro y luego se evalúan los límites dados.
    ¿Cuál es la diferencia entre integración paramétrica y usual?
    La diferencia es que la integración paramétrica usa un parámetro común, mientras que la integración usual usa una variable independiente.

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