Gráficas de Polinomios

Los gráficos de polinomios son representaciones gráficas de funciones polinómicas. Los polinomios son expresiones con varios términos que contienen una variable elevada a una serie de potencias de números enteros positivos. Cada término también puede estar multiplicado por coeficientes.

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    Las funciones polinómicas siguen la forma estándar:

    f(x) = anxn +a(n-1)x(n-1) + a(n-2)x(n-2) +... +a1x + a0

    El mayor exponente presente en un polinomio determina el grado del polinomio.

    f(x) = 3x2 + 2x + 5 es un polinomio de grado 2

    f(x) = 2x-1 + 5 no es un polinomio porque tiene exponente negativo

    En el artículo Gráficas, vimos cómo representar gráficamente distintos tipos de funciones polinómicas (gráficas de rectas, funciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas), pero sólo basándonos en los puntos en los que la curva cruza los ejes x e y. Sin embargo, como el comportamiento de las funciones de mayor exponente no es tan predecible como el de las rectas o las parábolas, para obtener una representación más exacta de su curva, necesitamos utilizar algunas características clave.

    Características principales de los grafos polinómicos

    1. Encuentra los ceros: Los ceros de una función son los valores de x que hacen que la función sea igual a cero. También se conocen como intersecciones x.

    Para hallar los ceros de una función, tienes que hacer que la función sea igual a cero y utilizar el método que sea necesario (factorización, división de Polinomios, Completar el Cuadrado o fórmula cuadrática) para hallar las soluciones para x. Consulta el artículo Polinomios si necesitas que te lo recuerden.

    Tras realizar la división polinómica y la factorización de la función polinómica, obtenemos el resultado (x-1)(x+3)(x+4)=0.

    En base a esto, los ceros o intersecciones x son:

    x=1, x=-3 y x=-4

    Si un cero aparece como parte de la solución dos veces (se repite), entonces la curva de la función tocará el eje x en ese valor de x, y luego rebotará en el eje x cambiando de dirección.

    2. Encuentra los puntos de inflexión (máximo o mínimo local): Para encontrar el punto más alto (máximo local) y el punto más bajo (mínimo local) en una sección concreta de la curva en la que cambia de dirección, debes proceder como sigue:

    • Halla la derivada de la función polinómica utilizando la regla de la potencia f'(x)=nxn-1.

    • Haz la función igual a cero para hallar las coordenadas x de los Puntos de inflexión. Puedes hacerlo factorizando, completando el cuadrado o utilizando la fórmula cuadrática.

    • Después, tienes que sustituir los valores resultantes de x en la función original para hallar la coordenada y de los puntos de inflexión.

    • La derivada de f(x) =x3+6x2+5x -12 es f'(x)=3x2+12x+5

    • Ahora necesitamos hallar las coordenadas x de los puntos de inflexión:

    3x2+12x+5=0

    Este polinomio no se puede factorizar, así que utilicemos la fórmula cuadrática

    x=-b±b2 - 4ac2a

    A partir de la función, podemos identificar que a=3, b=12 y c=5

    x=-12±122 - 4×3×52×3

    x=-12±144 - 606 =-12±846 84=4 x 21=4 × 21=221

    x=-12± 2216 Simplifica por 2

    x=-6± 213

    Tenemos dos soluciones, que son las coordenadas x de los puntos de inflexión:

    x=-6 +213=-0.472

    x=-6 -213=-3.528

    • Ahora sustituimos los valores resultantes de x de en la función original para hallar la coordenada y de los puntos de inflexión:

    f(-0.472) =(-0.472)3+6(-0.472)2+5(-0.472) -12

    f(-0.472) =-13.128

    f(-3.528) =(-3.528)3+6(-3.528)2+5(-3.528) -12

    f(-3.528) =1.128

    Los puntos de inflexión son

    Máximo local = (-3.528, 1.128)

    Mínimo local = (-0.472, -13.128)

    3. Halla la intersección y: Sustituye x = 0 en la función polinómica original. El resultado será la coordenada y donde la curva cruza el eje y.

    f(x) =x3+6x2+5x -12

    f(0) =03+6(0)2+5(0) -12

    f(0) =-12

    El punto donde la curva de la función cruza el eje y es (0, -12)

    4. Comportamiento final: Las curvas de los polinomios de grado 2 o más son líneas continuas y suaves que pueden tener puntos máximos o mínimos en los que cambian de dirección en el tramo medio de la curva, y en cualquiera de sus extremos tienden a dirigirse hacia el infinito positivo o negativo.

    ¿Cómo se determina el comportamiento final de una función?

    Prueba del coeficiente principal: El término principal de un polinomio es el término con mayor exponente. Tendrás que fijarte en si su exponente es par o impar y en el signo de su coeficiente para ayudarte a determinar el comportamiento final de la curva.

    • Función impar x3, x5, x7)

    a) Coeficiente principal positivo: En este caso, la función apuntará hacia abajo a la izquierda y hacia arriba en el extremo derecho de la curva.

    Gráficas de polinomios Comportamiento final función impar coeficiente positivo StudySmarterComportamiento final - función impar y coeficiente positivo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    b) Coeficiente principal negativo: En este caso, la función apuntará hacia arriba por la izquierda y hacia abajo por el extremo derecho de la curva.

    Gráficas de polinomios Comportamiento final función impar coeficiente negativo StudySmarterComportamiento final - función impar y coeficiente negativo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    • Función par (es decir x2, x4, x6)

    a) Coeficiente principal positivo: En este caso, la función apuntará hacia arriba en ambos extremos de la curva.

    Gráficos de polinomios Comportamiento final función par coeficiente positivo StudySmarterComportamiento final - función par y coeficiente positivo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    b) Coeficiente principal negativo : En este caso, la función apuntará hacia abajo en ambos extremos de la curva.

    Gráficos de polinomios Comportamiento final función par coeficiente negativo StudySmarterComportamiento final - función par y coeficiente negativo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    Función imparFunción par
    Signo del coeficiente principalPositivosNegativosPositivosNegativos
    Comportamiento finalIzquierdaDerechaIzquierdaDerechaIzquierdaDerechaIzquierdaDerecha

    f(x) =x3+6x2+5x -12

    El término principal de la función polinómica es x3lo que significa que es una función impar con coeficiente principal positivo. Por tanto, el comportamiento final de la curva será así

    IzquierdaDerecha

    5. Dibuja la curva de la función.

    Gráficos de polinomios Ejemplo de esbozo de gráfico de polinomios StudySmarterEjemplo de croquis de una gráfica de polinomios, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    ¿Cuáles son los distintos tipos de grafos polinómicos?

    Existen distintos tipos de grafos polinómicos según su grado.

    Observa que el grado de un polinomio coincide con el Número de cambios de dirección en su gráfica y con el Número de ceros o intersecciones x.

    Grado 1 - LinealGrado 2 - Cuadrático
    Gráficos de polinomios Grado 1 lineal StudySmarterGráficas de polinomios Grado 2 cuadráticos StudySmarter
    Grado 3 - CúbicoGrado 4 - Cuártico
    Gráficos de polinomios Grado 3 cúbico StudySmarterGráficos de polinomios Grado 4 cuártico StudySmarter
    Grado 5 - QuínticoGrado 6
    Gráficos de polinomios Grado 5 quíntico StudySmarterGráficos de polinomios Grado 6 StudySmarter

    ¿Cómo se halla la ecuación de una función polinómica a partir de su gráfica?

    Si te dan la gráfica de una función polinómica, puedes hallar la ecuación de la función polinómica siguiendo estos pasos:

    1. Identifica los ceros o intersecciones x (valores de x donde la curva cruza o toca el eje x).

    2. Escribe los factores de la función utilizando los ceros identificados (asegúrate de cambiar el signo de los ceros cuando los escribas como factores). Por ejemplo, si b es una raíz, entonces(x-b) es un factor de la función.

    3. Cualquier Factor repetido puede escribirse como (x±b)2.

    4. Halla el valor del factor de estiramiento (a) utilizando la intersección y.

    Halla la ecuación de la función polinómica representada por la siguiente gráfica:

    Gráficas de polinomios Encontrar la ecuación de una gráfica de polinomios StudySmarterHallar la ecuación de una gráfica polinómica, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    1. Los ceros o intersecciones x son:

    x=-4, x=-3 y x=1

    x=-4

    2. Los factores son: (x+4)(x+3)(x-1)

    3. f(x) = a(x+4)(x+3)(x-1) a=?

    La intersección y es (0, -12), así que tienes que sustituir esos valores en f(x) para hallar el valor del factor de estiramiento (a).

    -12 = a(0+4)(0+3)(0-1)

    -12 = a((4)(3)(-1))

    -12 = -12a

    a = -12-12= 1

    a= 1Por tanto, la ecuación de la función polinómica es:

    f(x) = (x+4)(x+3)(x-1)

    Puedes dejarlo así, o expandir los paréntesis y combinar los términos semejantes para obtener la Forma Estándar de la función polinómica, de este modo

    f(x) = (x+4)(x+3)(x-1) expande primero los dos primeros paréntesis

    = (x2+3x+4x+12)(x-1)

    = (x2+7x+12)(x-1)

    = x3+7x2+12x-x2-7x-12

    f(x) =x3+6x2+5x-12

    Gráficas de polinomios - Puntos clave

    • Las gráficas de polinomios son representaciones gráficas de funciones polinómicas.

    • Algunas características clave de las gráficas polinómicas son el número de ceros o intersecciones x, los ceros repetidos, los puntos de inflexión, la intersección y, el tipo de función (par o impar), el signo del coeficiente principal y el comportamiento final de la curva.

    • Existen distintos tipos de gráficas polinómicas según su grado.

    • El grado de un polinomio coincide con el número de cambios de dirección en su gráfica y con el número de ceros o intersecciones x.

    • Es posible hallar la ecuación de una función polinómica a partir de su gráfica.

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    Preguntas frecuentes sobre Gráficas de Polinomios
    ¿Qué son las gráficas de polinomios?
    Las gráficas de polinomios representan visualmente las ecuaciones polinómicas en un plano cartesiano, mostrando la relación entre las variables.
    ¿Cómo se determina el grado de un polinomio?
    El grado de un polinomio se determina por el exponente más alto de la variable en la expresión polinómica.
    ¿Qué significa el término 'raíces de un polinomio'?
    Las raíces de un polinomio son los valores de la variable que hacen que la ecuación polinómica sea igual a cero.
    ¿Cómo afecta el grado del polinomio a su gráfica?
    El grado del polinomio afecta la cantidad de cambios de dirección en su gráfica y la forma general de la curva.

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