Mínimo Común Múltiplo

Ella tiene un puñado de caramelos que le gustaría repartir entre sus amigos. Decide repartirlos en 3 montones iguales. Luego cambia de opinión y decide dividirlos en 4 montones iguales. ¿Cuál es el menor número posible de caramelos que Ella podría tener?

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    Para responder a esta pregunta, tendríamos que encontrar el mínimo común múltiplo entre 3 y 4. Este artículo tratará esta idea y presentará varios métodos que podemos utilizar para hallar el mínimo común múltiplo de un conjunto dado de números. ¿Todo listo? ¡Empecemos!

    Recapitula: Múltiplos y múltiplos comunes

    Antes de empezar, echemos un vistazo rápido a algunos temas anteriores relacionados con éste, a saber, los múltiplos y los múltiplos comunes.

    Un múltiplo de un número entero distinto de cero \(A\) es un número entero distinto de cero \(C\) que puede obtenerse multiplicándolo por otro número, digamos \(B\).

    Esencialmente, \(B\ ) y \(C\) son múltiplos de \( A\) si \( B\) y \(C\) están en la tabla de multiplicar de \( A\). El múltiplo de un número, digamos \( a\), viene dado por la fórmula general

    \[\text{múltiplo de}\ a=a×z\]

    donde \ (zin\mathbb{Z}\). En términos generales, si \( A\times B=C\) entonces \ (A\) y \ (B\) son divisores (o factores) de \ (C\) o \ (C\) es múltiplo tanto de \( A\) como de \(B\). Podemos utilizar la tabla de multiplicar para encontrar un conjunto determinado de múltiplos de un número dado.

    Por otra parte:

    Un múltiplo común es un múltiplo compartido entre dos (o más) números.

    Para hallar los múltiplos comunes de un conjunto dado de números, bastaría con enumerar los múltiplos de cada número dado y elegir los múltiplos idénticos compartidos entre ellos. Para recordar, veamos un ejemplo.

    Encuentra los 8 primeros múltiplos de 2 y 6. ¿Comparten algún múltiplo común para este intervalo dado?

    Solución

    La siguiente tabla muestra los 8 primeros múltiplos (distintos de cero) de 2 y 6.

    Número8 primeros múltiplos
    22, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16
    66, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48

    La tabla anterior muestra que los múltiplos comunes de 2 y 6 para este intervalo son 6 y 12.

    Puedes encontrar una explicación detallada de los múltiplos y los múltiplos comunes en los temas Múltiplos y Múltiplos comunes, respectivamente.

    ¿Cuál es el mínimo común múltiplo?

    El mínimo común múlti plo es el resultado directo de los múltiplos comunes. ¿Cómo es eso, te preguntarás? Pues volvamos a nuestro ejemplo anterior.

    Hemos comprobado que los múltiplos comunes de 2 y 6 son 6 y 12. Comparando estos dos múltiplos comunes, se dice que 6 es el mínimo común múltiplo de 2 y 6, ya que 6 es menor que 12. Esto nos lleva a la siguiente definición.

    El mínimo común múltiplo (MCP) es el mínimo común múltiplo compartido entre dos (o más) números.

    El mínimo común múltiplo se abreviará como MCP a lo largo de esta discusión.

    El MCP entre dos números dados, digamos \ (a\) y \ (b\), se denota por

    \[ \text{LCM}(a, b)=c\]

    donde \(c\) es el LCM. Antes de pasar a los métodos para hallar el MCL de un conjunto dado de números, puede ser útil que te familiarices con algunas de sus propiedades exclusivas.

    Propiedades del MCL

    En la tabla siguiente se describen dos propiedades importantes del MCL junto con su explicación.

    Propiedad

    Descripción y ejemplo

    El MCL de dos números primos es siempre el producto de los números dados.

    Este par de números primos se suele denominar coprimos. Como todo número primo tiene dos factores 1 y el propio número, el único factor común de cualquier coprimo es 1.La fórmula general de este concepto dice que si \(a\) y \(b\) son coprimos, entonces el MCL de \( a\) y \(b\) es igual a \(\text{LCM}(a,b)=a\times b\).

    Por ejemplo, dados dos coprimos 2 y 7, el MCL de 2 y 7 es 14, ya que

    \[\text{LCM}(2,7)=2\times 7=14\]

    El MCL de cualquier conjunto de números nunca es menor que los números dados.

    Dada la definición, el MCL es el número más pequeño en que se divide un conjunto dado de números. A menudo, el MCL será mayor que ambos o al menos uno de los números dados. Por ejemplo, el mcm de 3 y 4 es 12, que es mucho mayor que los números dados. En un caso especial, dado un conjunto de números en el que uno de ellos es factor del otro, el MCL es mayor que el propio número. Por ejemplo, supongamos que nos dicen que encontremos el MCL de 9 y 18. Como 9 es un factor de 18, 18 es el mcm de 9 y 18.

    Métodos para hallar el MCL

    El mcm siempre es distinto de cero, a pesar de que el cero es el múltiplo más pequeño entre cualquier conjunto de números. Hay tres formas de hallar el MCL para un conjunto dado de números, a saber:

    1. Método de listado;

    2. Método de factorización de primos;

    3. Método de división.

    A continuación estudiaremos cada uno de los métodos, seguidos de varios ejemplos prácticos que demuestran sus técnicas.

    Método del múltiplo común

    Este método sólo requiere que enumeres los múltiplos de cada número dado e identifiques el mínimo común múltiplo compartido entre ellos.

    Nota importante: Aquí no es necesaria una restricción de intervalo para un conjunto dado de números. Para hallar su MCL, basta con señalar el primer mínimo común múltiplo que veas que comparten los números es el MCL. ¡No tienes que enumerarlo todo! Sólo hasta el punto en que los múltiplos sean idénticos.

    He aquí un ejemplo que utiliza este enfoque.

    Halla el MCL de 18 y 27.

    Solución

    Empecemos por enumerar los primeros múltiplos (distintos de cero) de 18 y 27.

    Dado un conjunto de números, enumera sus múltiplos hasta encontrar el primer múltiplo común compartido entre ellos. No es necesario que enumeres los múltiplos más allá de ese punto, ya que sólo necesitas encontrar el menor múltiplo posible compartido entre ellos.

    Múltiplos de 18: 18, 36, 54, 72,...

    Múltiplos de 27: 27, 54, 81,...

    De las listas anteriores se deduce que el mcm de 18 y 27 es 54. Por tanto, \(\text{LCM}(18, 27)=54\).

    Veamos ahora un ejemplo más.

    Identifica el MCL de 15, 20 y 25.

    Solución

    Como antes, enumeraremos los primeros múltiplos de 15, 20 y 25.

    Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, 210, 225, 240, 255, 270, 285, 300,...

    Múltiplos de 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, 260, 280, 300, 320,...

    Múltiplos de 25: 25, 50, 75, 100,125, 150, 175, 200,225, 250, 275, 300, 325,...

    Aquí vemos que el MCL de 15, 20 y 25 es 300 y, por tanto, \(\text{LCM}(15, 20, 25)=300\).

    Aunque este método parece bastante sencillo, no es tan favorecido como los otros dos. Este método puede resultar bastante largo y confuso si nos dan un conjunto de números que tienen una diferencia muy grande entre sí.

    Por ejemplo, supongamos que nos dicen que encontremos el MCI de 2 y 51. Tardaríamos mucho tiempo en encontrar un múltiplo común compartido entre ellos, ya que tendríamos que recorrer todos los múltiplos de 2 antes de dar con el número más próximo a 51.

    Para resolverlo, tendríamos que utilizar el método de factorización de primos o el método del divisor común, como veremos en los dos apartados siguientes.

    Método del factor primo

    Como su nombre indica, el método de los factores primos es una técnica que nos dice que descompongamos un número dado como el producto de sus factores primos. Puedes encontrar una discusión detallada sobre la factorización en primos en el tema Factorización de números primos. Este proceso consta de cuatro pasos:

    1. Dado un conjunto de números, escribe cada uno de ellos como producto de sus factores primos;

    2. Expresa estos productos en su respectiva forma de exponente (o índice);

    3. Identifica la mayor potencia de todos los factores primos de los números dados;

    4. El MCL es el producto de los factores primos hallados en el Paso 3.

    Para imaginar mejor estas instrucciones, observemos un ejemplo que utiliza esta técnica.

    Halla el mcm de 16, 24 y 28.

    Solución

    Para empezar, descompongamos primero cada uno de estos números dados como producto de sus factores primos.

    \(16=2 veces 2 veces 2 veces 2 veces 2)

    \(24 = 2 veces 2 veces 2 veces 3 veces)

    \(28 = 2 veces 2 veces 7)

    Ahora escribiremos estos productos en su forma de exponente.

    \(16=2^4\)

    \(24=2^3 veces 3)

    \(28=2^2 veces 7)

    A partir de aquí, observa que los factores primos son 2, 3 y 7, siendo 4, 1 y 1 su mayor potencia respectivamente. Por tanto, el LCM es

    \(\text{LCM}(16, 24, 28)=2^4 veces 3 veces 7=336)

    Volvamos ahora a nuestro enigma anterior.

    ¿Cuál es el MCL de 2 y 51?

    Solución

    Siguiendo nuestro ejemplo anterior, tenemos que descomponer 2 y 51 como producto de sus factores primos.

    \(2=2\)

    \(51=3 veces 17)

    Expresando estos productos en su forma de exponente obtenemos

    \(2=2^1\)

    \(51=3^1 veces 17^1)

    Los factores primos, en este caso, son 2, 3 y 17. La mayor potencia de cada uno de estos factores primos es 1. Por tanto, el LCM es

    \(\text{LCM}(2, 51)=2\times 3\times 17=102\)

    Aquí tienes otro ejemplo.

    Encuentra el mcm de 63, 125 y 245.

    Solución

    Como antes, empecemos descomponiendo cada uno de estos números dados como producto de sus factores primos.

    \(63=3 veces 3 veces 7)

    \(125=5 veces 5 veces 5)

    \(245=5 veces 7 veces 7)

    Expresaremos ahora estos productos en su forma de exponente.

    \(63=3^2 veces 7)

    \(125=5^3\)

    \(245=5 veces 7^2)

    Los factores primos, en este caso, son 3, 5 y 7, siendo 2, 3 y 2 su mayor potencia respectivamente. Por tanto, el LCM es

    \(\text{LCM}(63, 125, 245)=3^2 veces 5^3 veces 7^2=55125\)

    Método de la división común

    Esta técnica consta de tres pasos:

    1. Construye una tabla de división de dos columnas (como se muestra a continuación). Coloca los números dados en la segunda columna. En la primera columna pondremos los factores primos.

    Factores primos

    Números dados

    2. Divide el número primo más pequeño que pueda dividir al menos uno de los números dados y baja los números después de esta división. Los números que no sean divisibles se pueden bajar tal cual.

    3. Continúa este proceso hasta que la fila final tenga un cociente de 1 para los números dados.

    4. Multiplica todos los factores primos obtenidos en la primera columna. Éste es el MCL.

    El método de la división común es el preferido de los tres métodos para hallar el MCL. Esto se debe a que podemos agrupar simplemente todos los números dados en una tabla de división. He aquí un ejemplo.

    ¿Cuál es el mcm de 60, 72 y 84?

    Solución

    Construyamos ahora la tabla de división.

    60, 72, 84

    Comenzaremos ahora nuestro proceso de división. Observa que 2 es el primo más pequeño divisible por los tres números dados. ¡Recuerda bajar el cociente resultante!

    260, 72, 84
    30, 36, 42

    De nuevo, podemos dividir estos números por 2.

    260, 72, 84
    230, 36, 42
    15, 18, 21

    Ahora observa que 18 es el único número divisible por 2. Por tanto, sólo tendremos un cociente resultante para el número 18. Los números 15 y 21 se reducirán tal cual.

    260, 72, 84
    230, 36, 42
    215, 18, 21
    15, 9, 21

    Continuemos ahora este proceso hasta que nuestra última fila tenga un cociente de 1 para todos los números dados.

    260, 72, 84
    230, 36, 42
    215, 18, 21
    315, 9, 21
    35, 3, 7
    55, 1, 7
    71, 1, 7
    1, 1, 1

    ¡Voilà! Tenemos una tabla de divisiones completa. Ahora calcularemos el MCL multiplicando todos los factores primos que se encuentran en el lado izquierdo de la tabla anterior.

    \(\text{LCM}(60, 72, 84)=2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5\times 7=2^3\times 3^2\times 5\times 7=2520\)

    Veremos un ejemplo más antes de terminar este apartado.

    ¿Cuál es el mcm de 18, 39 y 42?

    Solución

    Como antes, construiremos una tabla de división y dividiremos estos números dados por el número primo más pequeño hasta que la fila final tenga un cociente de todos 1.

    218, 39, 42
    39, 39, 21
    33, 13, 7
    71, 13, 7
    131, 13, 1
    1, 1, 1

    Para calcular el MCL, multiplicaremos todos los factores primos obtenidos en la primera columna de la tabla anterior.

    \(\text{LCM}(18, 39, 42)=2\times 3\times 3\times 7\times 13=2\times 3^2\times 7\times 13=1638\)

    LCM vs. HCF

    En este segmento haremos comparaciones entre el LCM y el HCF. Ten en cuenta que el HCF es la abreviatura del máximo común divisor. La tabla siguiente describe cada una de sus notables diferencias.

    Mínimo común múltiplo (MCP)

    Máximo común divisor (MHC)

    El MCP es el mínimo común múltiplo compartido entre un conjunto dado de números.

    El HCF es el mayor factor común compartido entre un conjunto dado de números.

    El MCL de un conjunto dado de números siempre es mayor (o igual) que los números dados.

    El HCF de un conjunto dado de números siempre es menor (o igual) que los números dados.

    El LCM es el menor número en que se divide un conjunto dado de números.

    El HCF es el mayor número que divide un conjunto dado de números sin dejar resto.

    Encontrarás una explicación detallada en el tema Máximo común divisor.

    Relación entre MCH y FCH

    Hay dos condiciones que unen el concepto del MCL y el HCF, a saber

    1. La fórmula MCL y HCF;

    2. El MCL y el HCF de las fracciones.

    En este apartado veremos cada una de estas ideas con un ejemplo relacionado.

    La fórmula LCM y HCF

    Esta fórmula afirma que el producto del MCP y el FCH de dos números cualesquiera es siempre igual al producto de dichos números. Supongamos que tenemos dos números, \(a\) y \(b\), entonces

    \[\text{LCM}(a, b)=a\times \text{HCF}(a, b)=a\times b\].

    Observa que esta fórmula sólo sirve para dos números dados.

    Dados los números 6 y 8, el MCI y el FCH son

    \[\text{LCM}(6, 8)=24\}]

    \[\text{HCF}(6, 8)=2\]

    El producto del LCM y el HCF de 6 y 8 es

    \[\text{LCM}(6,8)\times \text{HCF}(6,8)=24\times 2=48\]

    Del mismo modo, el producto de 6 y 8 da 48. Por tanto, la fórmula se cumple.

    \[\text{LCM}(6,8)\times \text{HCF}(6,8)=6\times 8=48\]

    LCM y HCF de fracciones

    Supongamos que nos dan dos fracciones, \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{d}\). Podemos obtener el LCM y el HCF de estas dos fracciones mediante las siguientes fórmulas generalizadas.

    \[LCM=\frac{\text{LCM de los numeradores}}{\text{HCF de los denominadores}}].

    \[HCF=\frac={texto{HCF de numeradores}}{{texto{LCM de denominadores}}]

    He aquí un ejemplo.

    Halla el LCM y el HCF de \ (\frac{2}{3}\) y \(\frac{4}{5}\).

    Solución

    Los numeradores aquí son 2 y 4, mientras que los denominadores son 3 y 5. Empecemos por encontrar los componentes necesarios.

    \[\text{LCM de los numeradores}=\text{LCM}(2, 4)=4\}]

    \text{LCM de los denominadores}=\text{LCM}(3, 5)=15\}]

    \[\text{HCF de numeradores}=\text{HCF}(2, 4)=2]

    \[\text{HCF de los denominadores}=\text{HCF}(3, 5)=1]

    Ahora que tenemos esta información, podemos hallar el MCL y el FCH de las fracciones dadas.

    \[LCM=\frac{4}{1}=4\]

    \[HCF=\frac{2}{15}}]

    Ejemplos con LCM

    Concluiremos esta exposición con algunos ejemplos prácticos más en los que se aplica el MCL.

    Utiliza el método de los factores primos para deducir el MCL de 9, 21 y 36.

    Solución

    Empezaremos descomponiendo cada uno de estos números dados como producto de sus factores primos.

    \(9=3 veces 3)

    \(21=3 veces 7)

    \(36 = 2 veces 2 veces 3 veces 3)

    Ahora expresaremos estos productos en su forma de exponente.

    \(9=3^2\)

    \(21=3 veces 7)

    \(36=2^2 veces 3^2)

    Los factores primos aquí son 2, 3 y 7, siendo 2, 1 y 1 su mayor potencia respectivamente. Por tanto, el LCM es

    \(\text{LCM}(9, 21, 36)=2^2 veces 3^2 veces 7=252\)

    Aquí tienes otro ejemplo.

    Utiliza el método de la división común para hallar el MCL de 14, 54 y 77.

    Solución

    Para resolverlo, construiremos una tabla de división y dividiremos estos números dados por el número primo más pequeño hasta que la fila final tenga un cociente de todo 1.

    214, 54, 77
    37, 27, 77
    37, 9, 77
    37, 3, 77
    77, 1, 77
    111, 1, 11
    1, 1, 1

    El LCM es el producto de todos los factores primos obtenidos en la primera columna de la tabla anterior.

    \(\text{LCM}(14, 54, 77)=2\times 3\times 3\times 3\times 7\times11=2\times 3^3\times 7\times 11=4158\)

    Ejemplos reales con el MCL

    El MCL también puede aplicarse a problemas del mundo real, como hemos visto al principio de nuestra discusión. Recordemos ese ejemplo y utilicemos la idea del MCL para resolverlo.

    Ella tiene un puñado de caramelos que le gustaría repartir entre sus amigos. Decide repartirlos en 3 montones iguales. Luego cambia de opinión y decide dividirlos en 4 montones iguales. ¿Cuál es el menor número posible de caramelos que puede tener Ella?

    Solución

    Dada la información anterior, observamos que Ella es capaz de dividir su puñado de caramelos en grupos de 3 y 4. El menor número posible de caramelos que podría tener sería el mínimo común múltiplo de 3 y 4. Empecemos por enumerar los primeros múltiplos de 3 y 4.

    Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15,...

    Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16,...

    Observando las listas anteriores, comprobamos que el mcm de 3 y 4 es 12. Como 12 es divisible por 3 y 4, podemos concluir que Ella tiene un total de 12 caramelos.

    Por tanto, si Ella dividiera sus caramelos en 3 montones iguales, tendría 4 caramelos en cada montón. Sin embargo, si Ella dividiera sus caramelos en 4 grupos iguales , tendría 3 caramelos en cada montón.

    Observaremos un último ejemplo del mundo real para cerrar este debate.

    Emily tiene un jardín en el que caben entre 400 y 600 plantas en macetas. Un día, llegó a casa con varias plantas en maceta que le gustaría colocar en su jardín. Puede colocar estas plantas en hileras de 63 y 81 macetas. ¿Cuántas macetas compró?

    Solución

    Para hallar el número de macetas que tiene Emily, tendríamos que hallar el mínimo común múltiplo de 63 y 81, ya que puede colocarlas en filas de 63 y 81 macetas. Observa además que, dada una restricción de intervalo, sólo necesitamos enumerar los múltiplos de 63 y 81 entre 400 y 600.

    Enumeremos ahora los múltiplos de 63 y 81.

    Múltiplos de 63: 441, 504, 567

    Múltiplos de 81: 405, 468, 567

    A partir de aquí, vemos que el mcm de 63 y 81 es 567. Por tanto, Emily compró 567 plantas en maceta para su jardín.

    Mínimo común múltiplo - Puntos clave

    • El MCP es el mínimo común múltiplo compartido entre un conjunto dado de números.
    • Propiedades del MCL
      • El MCP de dos números primos es siempre el producto de los números dados.
      • El MCL de cualquier conjunto de números nunca es menor que los números dados.
    • Métodos para hallar el MCL
      1. Método de la lista;

      2. Método de factorización de primos;

      3. Método de la división.

    Preguntas frecuentes sobre Mínimo Común Múltiplo
    ¿Qué es el Mínimo Común Múltiplo?
    El Mínimo Común Múltiplo (MCM) es el número positivo más pequeño que es múltiplo de dos o más números.
    ¿Cómo se calcula el Mínimo Común Múltiplo?
    Para calcular el MCM, descomponemos los números en factores primos, luego tomamos los factores con el mayor exponente y los multiplicamos.
    ¿Para qué sirve el Mínimo Común Múltiplo?
    El MCM se usa para encontrar un común denominador en fracciones y para sincronizar eventos periódicos que repiten en intervalos diferentes.
    ¿Cuál es la diferencia entre MCM y MCD?
    El MCM es el menor múltiplo común de dos o más números, mientras que el Máximo Común Divisor (MCD) es el mayor número que divide a dos o más números sin dejar residuo.

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