Diagramas y mapas a escala

Ejemplo 1

A continuación se muestra un diagrama de escala de una tabla. Podemos ver que la escala está representada por un pequeño intervalo de medida con id="5233685" role="math" $10cm$ junto a él. Esto significa que, en este diagrama, cada intervalo de esa longitud representa id="5233684" role="math" $10cm$.

Este intervalo se denomina "escala" del dibujo.

Diagrama a escala de un ejemplo de tabla, StudySmarter

En ese caso, ¿cuánto mide la mesa? Para ello, basta con comprobar cuántos de estos intervalos forman la altura de la tabla.

Diagrama a escala de una mesa de 90 cm de altura, StudySmarter Originals

En este caso, son nueve, por tanto el dibujo es de una mesa que es $90cm$ de altura.

Ejemplo 2

El mismo concepto puede aplicarse a los mapas. Una de las cosas útiles de los mapas es que pueden decirnos a qué distancia están unas cosas de otras. Tomemos este mapa a escala de cuatro ciudades. Se nos da la longitud de 1 milla en el mapa con un intervalo, para que podamos averiguar la distancia real entre cada pueblo.

Ejemplo de mapa a escala de cuatro ciudades, StudySmarter Originals

Podemos ver que $13$ intervalos caben entre las ciudades A y C, y por tanto están a $13$ millas de distancia.

Mapa a escala de cuatro ciudades, midiendo la distancia entre las ciudades A y C, StudySmarter Originals

Jemma tiene un mapa de su ciudad y quiere ver a qué distancia está el carnicero del panadero. El intervalo de escala del mapa dice $0.5$ millas. Mide el intervalo de escala como $1cm$y mide la distancia entre ambos en el mapa como $4cm$.

A partir de ahí, Jemma calcula la distancia real entre el carnicero y el panadero mediante la fórmula

$reallifedis\tan ce=\frac{measureddis\tan cefromdiagram}{lengthofscaleinterval}\times scalesize$

$reallifedis\tan ce=\frac{4}{1}\times 0.5$

$reallifedis\tan ce=2miles$

Ejemplo 1

El diagrama siguiente está dibujado a escala de $1:150$¿qué distancia hay entre tu casa y la de tu amigo? Te proporcionamos las medidas.

Mapa con ejemplo de escala de proporción, StudySmarter Originals

Solución:

La distancia entre las dos casas puede calcularse hallando la medida total en el diagrama y multiplicándola por el factor de escala.

$$\begin{gathered} totalmeasurement=5.2+4 \\ =9.2cm \end{gathered}$$

El factor de escala, en este caso, es $1500$el segundo número de la proporción.

$$\begin{gathered} totaldis\tan ce=9.2cm\times 1500 \\ =13800cm \\ =138m \end{gathered}$$

Ejemplo 2

A partir del diagrama a escala del jarrón que aparece a continuación, ¿qué altura tiene el jarrón real, dado que en el diagrama se midió en $10cm$y dado que el intervalo de escala se midió como $1cm$con un valor de escala de $3cm$. Además, ¿cómo podría expresarse la escala de este diagrama como una razón?

Diagrama de escala de un jarrón con ejemplo de intervalo de escala, StudySmarter Originals

Solución:

Para hallar la altura real del jarrón debemos encontrar primero el factor de escala. Esto puede hacerse considerando el intervalo de escala. El intervalo de escala mide como $1cm$ en el diagrama, y representa una medida real de $3cm$. Por tanto, el factor de escala es

$\frac{3}{1}=3$

Ahora, simplemente multiplicamos la altura medida del jarrón en el diagrama por el factor de escala para obtener la altura del jarrón en el mundo real.

$10\times 3=30cm$

Por último, expresar la escala en forma de razón es un simple caso de traducción del intervalo de escala en forma de razón. Para cada $1cm$ en el diagrama, la medida en la vida real será $3cm.$ Por tanto, la proporción será

$1:3$

Ejemplo 3

A continuación se muestra un diagrama dibujado a escala de un edificio propuesto. La empresa que encargó la construcción del edificio estipuló que no podía ser más alto que $38m$ni más ancho que $24$ metros. ¿El diseño propuesto para el edificio se ajusta a estas estipulaciones?

Diagrama a escala de un ejemplo de diseño de edificio propuesto, StudySmarter Originals

Soluciones:

Para comprobar si las dimensiones del edificio se ajustan a lo estipulado por la empresa, primero debemos determinar las dimensiones reales del edificio propuesto. Nos dan la escala en forma de cociente, $1:500$. A partir de ahí, podemos determinar que el factor de escala del diagrama es $500.$

Multiplicando la altura medida por el factor de escala obtenemos la altura propuesta del edificio en el mundo real.

$$\begin{gathered} height=8cm\times 500 \\ =4000cm \\ =40m \end{gathered}$$

Del mismo modo, podemos hallar la anchura propuesta del edificio.

$$\begin{gathered} width=4.2cm\times 500 \\ =2100cm \\ =21m \end{gathered}$$

La altura propuesta del edificio es $40m$que no es inferior a $38m$por lo que la altura es inaceptable.

La anchura propuesta del edificio es $21m$que es inferior a $24m$por lo que la anchura es aceptable.