Expresiones Lineales

¿Sabías que una serie de problemas de la vida real que contienen cantidades desconocidas podrían modelizarse en expresiones matemáticas para ayudar a resolverlos fácilmente? En este artículo vamos a hablar de las expresiones lineales, cómo son y cómo resolverlas.

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Índice de temas

    ¿Qué son las expresiones lineales?

    Las expresiones lineales son expresiones algebraicas que contienen constantes y variables elevadas a la potencia de 1.

    Por ejemplo x + 4 - 2 es una expresión lineal porque la variable x también es una representación de x1. En el momento en que existe x2deja de ser una expresión lineal.

    He aquí algunos ejemplos más de expresiones lineales:

    1. 3x + y

    2. x + 2 - 6

    3. 34x

    ¿Qué son las variables, los términos y los coeficientes?

    Las variables son las letras componentes de las expresiones. Son lo que diferencia las operaciones aritméticas de las expresiones. Los términos son los componentes de las expresiones que se separan por adición o sustracción, y los coeficientes son los factores numéricos que multiplican a las variables.

    Por ejemplo, si nos dieran la expresión6xy +(3), x e y podrían identificarse como los componentes variables de la expresión. El número 6 se identifica como el coeficiente del término6xy. El número3se denomina constante. Los términos identificados aquí son6xy y-3.

    Podemos tomar algunos ejemplos y clasificar sus componentes en variables, coeficientes o términos.

    1. 45y + 14x - 3
    2. 2 - 4x
    3. 12 + xy
    VariablesCoeficientesConstantesTérminos
    x e y45 and 14-345y, 14x and -3
    x-422 and -4x
    x e y1 (aunque no se muestre, técnicamente es el coeficiente de xy)1212 and xy
    Las variables son lo que diferencia las expresiones de las operaciones aritméticas

    Escribir expresiones lineales

    Escribir expresiones lineales consiste en escribir las expresiones matemáticas a partir de problemas de palabras. La mayoría de las veces hay palabras clave que ayudan a saber qué tipo de operación hay que hacer al escribir una expresión a partir de un problema de palabras.

    OperaciónSumaRestaMultiplicaciónDivisión
    Palabras claveSumado aMásSuma deAumentado porTotal deMás deRestado deMenosMenos queDiferenciaDisminuido porMenos queQuitadoMultiplicado porVecesProducto deVeces deDividido porCociente de
    Podemos pasar a poner ejemplos de cómo se hace.

    Escribe la frase siguiente como una expresión.

    14 más que un númerox

    Solución:

    Esta frase sugiere que sumemos. Sin embargo, debemos tener cuidado con la posición. 14 más quex significa que se añade 14 a un número determinadox.

    14 + x

    Escribe la frase siguiente como una expresión.

    La diferencia de 2 y 3 veces un númerox.

    Solución:

    Aquí debemos fijarnos en nuestras palabras clave, "diferencia" y "veces". "Diferencia" significa que vamos a restar. Por tanto, vamos a restar 3 veces un número de 2.

    2 - 3x

    Simplificar expresiones lineales

    Simplificar expresiones lineales es el proceso de escribir expresiones lineales en sus formas más compactas y sencillas, de modo que se mantenga el valor de la expresión original.

    Hay unos pasos a seguir cuando se quieren simplificar expresiones, y son los siguientes

    • Eliminar los paréntesis multiplicando los factores si los hay.

    • Sumar y restar los términos semejantes.

    Simplificar la expresión lineal.

    3x + 2 (x 4)

    Solución:

    Aquí, primero operaremos sobre los paréntesis multiplicando el factor (fuera del paréntesis) por lo que hay entre los paréntesis.

    3x+2x-8

    Sumaremos los términos semejantes.

    5x-8

    Esto significa que la forma simplificada deid="5109803" role="math" 3x + 2 (x 4) isid="5109804" role="math" 5x-8y poseen el mismo valor.

    Las ecuaciones lineales son también formas de expresiones lineales. Expresiones lineales es el nombre que engloba las ecuaciones lineales y las inecuaciones lineales.

    Ecuaciones lineales

    Las ecuaciones lineales son expresiones lineales que poseen un signo igual. Son las ecuaciones de grado 1. Por ejemplo, id="5109805" role="math" x+4 = 2. Las ecuaciones lineales tienen la forma estándar

    ax + by = c

    whereid="5109813" role="math" a andid="5109807" role="math" bson coeficientes

    x yyson variables.

    c es constante.

    Sin embargo x también se conoce como intersección x, mientras quey es también la intersección y. Cuando una ecuación lineal posee una variable, la forma estándar se escribe como;

    ax + b = 0

    donde x es una variable

    a es un coeficiente

    b es una constante.

    Graficación de ecuaciones lineales

    Como ya hemos dicho antes que las ecuaciones lineales se representan gráficamente en línea recta, es importante saber que con una ecuación de una variable, las rectas de las ecuaciones lineales son paralelas al eje x porque sólo se tiene en cuenta el valor x. Las líneas graficadas a partir de ecuaciones de dos variables se colocan donde las ecuaciones exigen que se coloque, aunque siguen siendo rectas. Podemos seguir adelante y tomar un ejemplo de ecuación lineal en dos variables.

    Traza la gráfica de la línea id="5109817" role="math" x - 2y = 2.

    Solución:

    En primer lugar, convertiremos la ecuación a la forma id="5109818" role="math" y = mx + b.

    De este modo, podremos saber también cuál es la intersección y.

    Esto significa que haremos de y el sujeto de la ecuación.

    x - 2y = 2

    -2y = 2 - x

    -2y-2 = 2-2- x-2

    y = x2 - 1

    Ahora podemos explorar los valores de y para distintos valores de x, ya que también se considera función lineal.

    Así que toma x = 0

    Esto significa que sustituiremos x en la ecuación para hallar y.

    y = 02-1

    y = -1

    Toma id="5109819" role="math" x = 2

    y = 22 - 1

    y = 0

    Toma x = 4

    y = 42-1

    y = 1

    Lo que esto significa en realidad es que cuando

    x = 0, y = -1

    x = 2, y = 0

    x = 4, y = 1

    y así sucesivamente.

    Ahora dibujaremos nuestra gráfica e indicaremos dónde están los ejes x e y.

    Después trazaremos los puntos que tenemos y dibujaremos una recta que los atraviese.

    Expresiones lineales, Graficar, StudySmarterGráfica de la recta x - 2y = 2

    Resolución de ecuaciones lineales

    Resolver ecuaciones lineales implica encontrar los valores de x y/o y en una ecuación dada. Las ecuaciones pueden ser de una o dos variables. En la forma de una variablex, que representa la variable, se hace el sujeto y se resuelve algebraicamente.

    Con la forma de dos variables, se requiere otra ecuación para poder darte valores absolutos. Recuerda que en el ejemplo en el que resolvimos los valores deycuandox = 0, y = -1. y cuando x = 2, y = 0. Esto significa que mientras x era diferente y también iba a ser diferente. Podemos tomar un ejemplo para resolverlos a continuación.

    Resuelve la ecuación lineal

    3y-x=710y +3x = -2

    Solución:

    La resolveremos por sustitución. Haz quexel sujeto de la ecuación en la primera ecuación.

    3y -7 = x

    Sustitúyela en la segunda ecuación

    10y + 3(3y 7) = -2

    10y + 9y 21 = -2

    19y = -2 + 21

    19y = 19

    y = 1

    Ahora podemos sustituir este valor de y en una de las dos ecuaciones. Elegiremos la primera ecuación.

    3(1) - x =7

    3 - x = 7

    -x = 7 - 3

    -x-1 = 4-1

    x = -4

    Esto significa que con esta ecuación, cuando x = -4, y = 1

    Esto se puede evaluar para ver si la afirmación es cierta

    Podemos sustituir los valores de cada variable encontrada en cualquiera de las ecuaciones. Tomemos la segunda ecuación.

    10y +3x = -2

    x = -4

    y = 1

    10(1) - 3(-4) = -2

    10 - 12 = -2

    -2 = -2

    Esto significa que nuestra ecuación es verdadera si decimosy = 1cuando x = - 4.

    Desigualdades lineales

    Son expresiones que se utilizan para hacer comparaciones entre dos números utilizando los símbolos de desigualdades como <, >, . A continuación veremos qué son los símbolos y cuándo se utilizan.

    Nombre del símboloSímboloEjemplo
    No es igualy 7
    Menos que<2x < 4
    Mayor que>2 > y
    Menor o igual que1 + 4x 9
    Mayor o igual que3y 9 - 4x

    Resolución de inecuaciones lineales

    El objetivo principal de la resolución de desigualdades es encontrar el intervalo de valores que satisfacen la desigualdad. Esto significa matemáticamente que la variable debe quedar a un lado de la desigualdad. La mayoría de las cosas que se hacen con las ecuaciones también se hacen con las desigualdades. Cosas como la aplicación de la regla de oro. La diferencia aquí es que algunas actividades operativas pueden cambiar los signos en cuestión de modo que < se convierta en >, > se convierta en <, ≤ se convierta en ≥, y ≥ se convierta en ≤. Estas actividades son;

    • Multiplicar (o dividir) ambos lados por un número negativo.

    • Intercambiar los lados de la desigualdad.

    Simplifica la desigualdad lineal4x - 3 21 y resuelve parax.

    Solución:

    Primero tienes que sumar 3 a cada lado,

    4x - 3 + 3 21 + 3

    4x 24

    y luego dividir cada lado por 4.

    4x4 244

    El símbolo de desigualdad permanece en la misma dirección.

    x 6

    Cualquier número 6 o mayor es una solución de la desigualdad4x - 3 21.

    Expresiones lineales - Puntos clave

    • Las expresiones lineales son aquellos enunciados en los que cada término es una constante o una variable elevada a la primera potencia.
    • Las ecuaciones lineales son las expresiones lineales que poseen el signo igual.
    • Las inecuaciones lineales son aquellas expresiones lineales que comparan dos valores utilizando los símbolos <, >, ≥, ≤ y ≠.
    Preguntas frecuentes sobre Expresiones Lineales
    ¿Qué es una expresión lineal?
    Una expresión lineal es una ecuación de primer grado con una variable, representada como ax + b = 0.
    ¿Cómo se resuelve una expresión lineal?
    Para resolver una expresión lineal, despejamos la variable. Ejemplo: ax + b = 0, x = -b/a.
    ¿Cuál es la diferencia entre una expresión lineal y una ecuación cuadrática?
    Una expresión lineal es de primer grado (ax + b), mientras que una ecuación cuadrática es de segundo grado (ax² + bx + c).
    ¿Cuáles son los elementos de una expresión lineal?
    Los elementos de una expresión lineal son el coeficiente de la variable (a), la variable (x) y la constante (b).

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