Área y Perímetro de Cuadriláteros

Halla el perímetro del paralelogramo siguiente.

Ejemplo 2, StudySmarter Originals

Solución

Recuerda que un paralelogramo tiene lados opuestos de igual longitud. Esto significa que PQ = SR y PS = QR. Así, SR = 16 cm y QR = 10 cm.

Para hallar el perímetro de esta forma dada, simplemente sumamos la longitud total de cada lado como se ha mencionado.

$$\begin{gathered} P=16+16+10+10 \\ \Rightarrow P=2\left(16\right)+2\left(10\right) \\ \Rightarrow P=32+20 \\ \Rightarrow P=52cm \end{gathered}$$

Así, el perímetro de este paralelogramo es de 52 cm.

Halla la longitud de los lados que faltan de la cometa de abajo dado que el perímetro es igual a 98 cm.

Ejemplo 3, StudySmarter Originals

Solución

En primer lugar, ten en cuenta que una cometa tiene dos pares de lados adyacentes iguales. Esto significa que WZ = WX (e YZ = YX = 32 cm).

Por la fórmula del perímetro de un cuadrilátero, obtenemos

$$\begin{gathered} P=32+32+WX+WZ \\ \Rightarrow 98=64+WX+WX \\ \Rightarrow 98=64+2WX \end{gathered}$$

Reordenando esto, obtenemos

$$\begin{gathered} 64+2WX=98 \\ \Rightarrow 2WX=98-64 \\ \Rightarrow 2WX=34 \end{gathered}$$

Simplificando aún más,

$$\begin{gathered} WX=\frac{34}{2} \\ \Rightarrow WX=17cm \end{gathered}$$

Por tanto, la longitud de WX y WZ es de 17 cm.

Halla el perímetro de un rectángulo con vértices en A (1, 6), B (1, 2), C (4, 2) y D (4, 6).

Solución

Empecemos por dibujar este cuadrilátero en el plano cartesiano.

Ejemplo 4, StudySmarter Originals

Como tenemos un rectángulo, AB = DC y AD = BC. Por tanto, podemos utilizar la fórmula de la distancia para las longitudes de AB y AD.

Distancia AB, A (1, 6) y B (1, 2)

$$\begin{gathered} D_{AB}=\sqrt{{(1-1)}^2+{(2-6)}^2} \\ \Rightarrow D_{AB}=\sqrt{{\left(0\right)}^2+{(-4)}^2} \\ \Rightarrow D_{AB}=\sqrt{16} \\ \Rightarrow D_{AB}=4units \end{gathered}$$

Distancia AD, A (1, 6) y D (4, 6)

$$\begin{gathered} D_{AD}=\sqrt{{(4-1)}^2+{(6-6)}^2} \\ \Rightarrow D_{AD}=\sqrt{{\left(3\right)}^2+{\left(0\right)}^2} \\ \Rightarrow D_{AD}=\sqrt{9} \\ \Rightarrow D_{AD}=3units \end{gathered}$$

Perímetro ABCD

$$\begin{gathered} P=AB+DC+AD+BC \\ \Rightarrow P=4+4+3+3 \\ \Rightarrow P=14units \end{gathered}$$

Deduce el perímetro de un cuadrilátero con vértices en A (-2, 8), B (0, 8), C (1, 4) y D (-1, 6).

Solución

Empecemos por dibujar este cuadrilátero en el plano cartesiano.

Ejemplo 5, StudySmarter Originals

Observando el croquis anterior, necesitamos hallar la distancia de AB, BC, CD y AD para calcular el perímetro de ABCD.

Distancia AB, A (-2, 8) y B (0, 8)

$$\begin{gathered} D_{AB}=\sqrt{{(-2-0)}^2+{(8-8)}^2} \\ \Rightarrow D_{AB}=\sqrt{{(-2)}^2+{\left(0\right)}^2} \\ \Rightarrow D_{AB}=\sqrt{4} \\ \Rightarrow D_{AB}=2units \end{gathered}$$

Distancia BC, B (0, 8) y C (1, 4)

$$\begin{gathered} D_{BC}=\sqrt{{(1-0)}^2+{(4-8)}^2} \\ \Rightarrow D_{BC}=\sqrt{{\left(1\right)}^2+{(-4)}^2} \\ \Rightarrow D_{BC}=\sqrt{1+16} \\ \Rightarrow D_{BC}=\sqrt{17}units \end{gathered}$$

DistanciaCD, C (1, 4) y D (-1, 6)

$$\begin{gathered} D_{CD}=\sqrt{{(-1-1)}^2+{(6-4)}^2} \\ \Rightarrow D_{CD}=\sqrt{{(-2)}^2+{\left(2\right)}^2} \\ \Rightarrow D_{CD}=\sqrt{4+4} \\ \Rightarrow D_{CD}=\sqrt{8} \\ \Rightarrow D_{CD}=2\sqrt{2}units \end{gathered}$$

Distancia AD, A (-2, 8) y D (-1, 6)

$$\begin{gathered} D_{AD}=\sqrt{{(-1-2)}^2+{(6-8)}^2} \\ \Rightarrow D_{AD}=\sqrt{{(-3)}^2+{(-2)}^2} \\ \Rightarrow D_{AD}=\sqrt{9+4} \\ \Rightarrow D_{AD}=\sqrt{13}units \end{gathered}$$

Perímetro ABCD

$$\begin{gathered} P=AB+DC+AD+BC \\ \Rightarrow P=2+\sqrt{17}+2\sqrt{2}+\sqrt{13} \\ \Rightarrow P=12.6units(correcttoonedecimalplace) \end{gathered}$$

Calcula el área del rombo de abajo dado que PO = 7 cm y SO = 4cm. El punto O es el punto en el que las dos diagonales PR y SQ se bisecan perpendicularmente.

Ejemplo 6, StudySmarter Originals

Solución

Recuerda: Necesitamos las medidas de las diagonales, PR y SQ, del rombo para calcular su área. Como las diagonales de un rombo son perpendiculares y se bisecan entre sí, nos encontramos con que PO = O y SO = OQ y, por tanto,

$$\begin{gathered} PR=PO+OR=2PO \\ SQ=SO+OQ=2SO \end{gathered}$$

Resolviendo esto, obtenemos

$$\begin{gathered} PR=2\left(7\right)=14cm \\ SQ=2\left(4\right)=8cm \end{gathered}$$

Por tanto, la diagonal vertical PR mide 14 cm y la diagonal horizontal SQ mide 8 cm. Por la fórmula del área de un rombo,

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{2}\times 14\times 8 \\ \Rightarrow A=\frac{112}{2} \\ \Rightarrow A=56c{m}^2 \end{gathered}$$

Por tanto, el área de este rombo es de 56 ^cm2.

¿Cuál es la altura del trapecio de abajo dado que su área es de 330 ^cm2?

Ejemplo 7, StudySmarter Originals

Solución

Como AB es paralelo a DC, las bases de este trapecio vienen dadas por AB = 13 cm y DC = 31 cm. La altura viene dada por AD. Por la fórmula del área de un trapecio, obtenemos

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{2}\times \left(13+31\right)\times AD \\ \Rightarrow 330=\frac{1}{2}\times \left(44\right)\times AD \\ \Rightarrow 330=22\times AD \end{gathered}$$

Reordenando y simplificando nuestra expresión, obtenemos

$$\begin{gathered} 22\times AD=330 \\ \Rightarrow AD=\frac{330}{22} \\ \Rightarrow AD=15cm \end{gathered}$$

Por tanto, la altura de este trapecio, AD, es de 15 cm.

Halla el área de una cometa con vértices en A (0, 4), B (1, 2), C (0, -4) y D (-1, 2).

Solución

Empecemos por dibujar este cuadrilátero en el plano cartesiano.

Ejemplo 8, StudySmarter Originals

Como tenemos una cometa, necesitamos la longitud de las diagonales para igualar su área. Aquí las diagonales son AC y BD.

DistanciaAC, A (0, 4) y C (0, -4)

$$\begin{gathered} D_{AC}=\sqrt{{(0-0)}^2+{(-4-4)}^2} \\ \Rightarrow D_{AC}=\sqrt{{\left(0\right)}^2+{(-8)}^2} \\ \Rightarrow D_{AC}=\sqrt{64} \\ \Rightarrow D_{AC}=8units \end{gathered}$$

DistanciaBD, B (1, 2) y D (-1, 2)

$$\begin{gathered} D_{BD}=\sqrt{{(-1-1)}^2+{(2-2)}^2} \\ \Rightarrow D_{BD}=\sqrt{{(-2)}^2+{\left(0\right)}^2} \\ \Rightarrow D_{BD}=\sqrt{4} \\ \Rightarrow D_{BD}=2units \end{gathered}$$

Área ABCD

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{2}\times AC\times DB \\ \Rightarrow A=\frac{1}{2}\times 8\times 2 \\ \Rightarrow A=8unit{s}^2 \end{gathered}$$

Halla el área de un cuadrado con vértices en A (2, 3), B (2, -3), C (-2, -3) y D (-2, 3).

Solución

Empecemos por dibujar este cuadrilátero en el plano cartesiano.

Ejemplo 9, StudySmarter Originals

Como tenemos un cuadrado, AB = BC = CD = AD. Por tanto, podemos hallar simplemente un lado para calcular el área de este cuadrado. Elegiremos hallar AB.

DistanciaAB, A (2, 3) y B (2, -3)

$$\begin{gathered} D_{AB}=\sqrt{{(2-2)}^2+{(-3-3)}^2} \\ \Rightarrow D_{AB}=\sqrt{{\left(0\right)}^2+{(-6)}^2} \\ \Rightarrow D_{AB}=\sqrt{36} \\ \Rightarrow D_{AB}=6units \end{gathered}$$

Área ABCD

$$\begin{gathered} A=AB\times BC \\ \Rightarrow A={\left(AB\right)}^2 \\ \Rightarrow A=6^2 \\ \Rightarrow A=36unit{s}^2 \end{gathered}$$

Halla el perímetro y el área del paralelogramo MBND inscrito en el rectángulo ABCD de abajo. Aquí, AM = 6 cm.

Ejemplo 10, StudySmarter Originals

Solución

La fórmula del área de cualquier paralelogramo requiere la longitud de su anchura y su altura perpendicular. La anchura viene descrita por MB (o DN y MB = DN), mientras que la altura perpendicular viene definida por MO. La longitud de MO es igual a la altura del rectángulo ABCD. Por tanto, MO = AD = BC = 55 cm.

La anchura del rectángulo es AB = 84 cm. Está formada por los segmentos de recta AM y MB, por lo que

$$\begin{gathered} AB=AM+MB \\ \Rightarrow 84=48+MB \\ \Rightarrow MB=84-48 \\ \Rightarrow MB=36cm \end{gathered}$$

Por tanto, la longitud de MB es 36 cm. Por la fórmula del área de un paralelogramo, obtenemos

$$\begin{gathered} A_{MBND}=55\times 36 \\ \Rightarrow A_{MBND}=1980c{m}^2 \end{gathered}$$

Por tanto, el área de este paralelogramo es 1980 ^cm2.

Ahora necesitamos hallar la longitud del lado MD para calcular el perímetro de este paralelogramo. Observa que MOD es un triángulo rectángulo. Como tenemos las longitudes de MO = 55 cm y DO = AD = 48 cm, ¡podemos utilizar el Teorema de Pitágoras! Aquí, MD es la hipotenusa.

$$\begin{gathered} M{D}^2={55}^2+{48}^2 \\ \Rightarrow M{D}^2=3025+2304 \\ \Rightarrow M{D}^2=5329 \\ \Rightarrow MD=\sqrt{5329} \\ \Rightarrow MD=73cm \end{gathered}$$

Por tanto, la longitud de MD es 73 cm. Observa que MD = BN. Por tanto, el perímetro es igual a 218 cm, ya que

$$\begin{gathered} P_{MBDN}=73+73+36+36 \\ \Rightarrow P_{MBDN}=218cm \end{gathered}$$