Funciones Inyectivas

Definición de función inyectiva

Supongamos que tenemos 2 conjuntos, A y B. Si una función que apunta de A a B es inyectiva, significa que no habrá dos o más elementos del conjunto A que apunten al mismo elemento del conjunto B. A la inversa, ningún elemento del conjunto B será apuntado por más de 1 elemento del conjunto A.

Función inyectiva - ningún elemento del conjunto B es señalado por más de 1 elemento del conjunto A, mathisfun.com

Una función de este tipo también se llama función unívoca, ya que un elemento del ámbito corresponde a un solo elemento del dominio.

Composición de funciones inyectivas

La composición de funciones es una forma de combinar funciones. En la composición de funciones, la salida de una función se convierte en la entrada de la otra. Para saber más sobre la composición de funciones, consulta nuestro artículo sobre Composición de funciones

Considera dos funciones$g:B\to C$ y$f:A\to B$. Si estas dos funciones son inyectivas, entonces , $f\circ g:A\to C$ que es su composición, también es inyectiva.

Demostremos esto.

Sea $x,y\in A$ y supongamos $(f\circ g)\left(x\right)=(f\circ g)\left(y\right)$.

A partir de lo anterior,

$f(g(x))=f(g(y))$

Como $f$ es inyectiva,

$g\left(x\right)=g\left(y\right)$

$g$ también es inyectiva. Por tanto,

$x=y$

Esto implica que$f\circ g$ es una inyección.

Explicación gráfica de las funciones inyectivas

Cuando dibujas una función inyectiva en una gráfica, para cualquier valor de y no habrá más de 1 valor de x.

Así, dada la gráfica de una función, si ninguna recta horizontal (paralela al eje X) interseca la curva en más de 1 punto, podemos concluir que la función es inyectiva. Por el contrario, si se puede trazar una recta horizontal que corte a la curva en más de 1 punto, podemos concluir que no es inyectiva. Esto se conoce como la prueba de la recta horizontal.

Gráfica de la función inyectiva - StudySmarter Originals

Considera el punto P de la gráfica anterior. Podemos ver que una recta que pase por P paralela al eje X o al eje Y no pasará por ningún otro punto que no sea P. Esto se aplica a todas las partes de la curva. Así pues, la curva supera tanto la prueba de la recta vertical, que implica que es una función, como la prueba de la recta horizontal, que implica que la función es una función inyectiva.

Función no inyectiva - StudySmarter Originals

En cambio, el gráfico anterior no es una función inyectiva. Los puntos P1 y P2 tienen los mismos valores Y (rango) pero corresponden a valores X (dominio) diferentes. Por tanto, no es inyectiva.

Tipos de funciones inyectivas

A continuación se enumeran los tipos de funciones inyectivas.

• $f:R\to R,f\left(x\right)=2x+1$es inyectiva.
• $f:R\to R,f\left(x\right)=\ln \left(x\right)$ es inyectiva.
• $f:R\to R,f\left(x\right)=2x$ es inyectiva
• $f:R\to R,f\left(x\right)=x^3$ es inyectiva
• $f:R\to R,f\left(x\right)=\raisebox{1ex}{$x$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$ es inyectiva
• $f:R\to R,f\left(x\right)=4x+5$ es inyectiva.
• $f:N\to N,f\left(x\right)=x^2$ es inyectiva, ya que todos los números naturales tienen cuadrados únicos.
• $f:R\to R,f\left(x\right)=x^2+1$ no es inyectiva.
• $f:R\to R,f\left(x\right)=\cos \left(x\right)$ no es inyectiva.

Función inyectiva, suryectiva y biyectiva

Aparte de las funciones inyectivas, hay otros tipos de funciones como las funciones suryectivas y biyectivas Es importante que sepas diferenciar estas funciones de una función inyectiva. Así que veamos sus diferencias.

Para las funciones inyectivas, es un mapeo uno a uno. Cada elemento de A tiene una correspondencia única en B, pero para los otros tipos de funciones no es así. Para una función biyectiva, cada elemento de A coincide perfectamente con un elemento de B. Ningún elemento queda fuera. Véase la figura siguiente.

Función biyectiva.

En las funciones suryectivas, todo elemento del conjunto B tiene al menos un elemento coincidente en A y más de un elemento de A puede apuntar a un solo elemento de B. Ver la figura siguiente.

Función subjetiva.

Ejemplos de función inyectiva

Lo mismo ocurre con las funciones $f\left(x\right)=x^3,x^5$etc.

Lo mismo ocurre con funciones como $x^4,x^6$etc.