Funciones Inyectivas

Supongamos que una escuela reserva los números 100-199 como números de lista para los alumnos de un determinado curso. Supongamos que este año hay 65 alumnos estudiando en ese grado. El año que viene pueden ser más o menos, pero nunca superarán el 100.

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Índice de temas

    Considera la función que asigna un alumno a sus números de lista. El dominio de la función es el conjunto de todos los alumnos. El rango de la función es el conjunto de todos los números de lista posibles. Por supuesto, dos alumnos no pueden tener exactamente el mismo número de lista. Por tanto, cada número de rol utilizado puede servir para identificar de forma única a un alumno. Una función de este tipo se llama función inyectiva.

    Definición de función inyectiva

    Se define que una función f : A ⇾ B es unívoca o inyectiva si las imágenes de elementos distintos de A bajo f son distintas.

    Supongamos que tenemos 2 conjuntos, A y B. Si una función que apunta de A a B es inyectiva, significa que no habrá dos o más elementos del conjunto A que apunten al mismo elemento del conjunto B. A la inversa, ningún elemento del conjunto B será apuntado por más de 1 elemento del conjunto A.

    Funciones inyectivas que muestran elementos de un conjunto apuntando a otros elementos de un conjunto distinto StudySmarter Función inyectiva - ningún elemento del conjunto B es señalado por más de 1 elemento del conjunto A, mathisfun.com

    Una función de este tipo también se llama función unívoca, ya que un elemento del ámbito corresponde a un solo elemento del dominio.

    Composición de funciones inyectivas

    La composición de funciones es una forma de combinar funciones. En la composición de funciones, la salida de una función se convierte en la entrada de la otra. Para saber más sobre la composición de funciones, consulta nuestro artículo sobre Composición de funciones

    Considera dos funcionesg : BC yf : A B. Si estas dos funciones son inyectivas, entonces , f g : A C que es su composición, también es inyectiva.

    Demostremos esto.

    Sea x, y A y supongamos (f g) (x) = (f g) (y).

    A partir de lo anterior,

    f (g (x) ) = f (g (y) )

    Como f es inyectiva,

    g(x) = g(y)

    g también es inyectiva. Por tanto,

    x = y

    Esto implica quef g es una inyección.

    Explicación gráfica de las funciones inyectivas

    Cuando dibujas una función inyectiva en una gráfica, para cualquier valor de y no habrá más de 1 valor de x.

    Así, dada la gráfica de una función, si ninguna recta horizontal (paralela al eje X) interseca la curva en más de 1 punto, podemos concluir que la función es inyectiva. Por el contrario, si se puede trazar una recta horizontal que corte a la curva en más de 1 punto, podemos concluir que no es inyectiva. Esto se conoce como la prueba de la recta horizontal.

    Explicación gráfica de la función inyectiva StudySmarterGráfica de la función inyectiva - StudySmarter Originals

    Considera el punto P de la gráfica anterior. Podemos ver que una recta que pase por P paralela al eje X o al eje Y no pasará por ningún otro punto que no sea P. Esto se aplica a todas las partes de la curva. Así pues, la curva supera tanto la prueba de la recta vertical, que implica que es una función, como la prueba de la recta horizontal, que implica que la función es una función inyectiva.

    Funciones inyectivas No es una función inyectiva StudySmarterFunción no inyectiva - StudySmarter Originals

    En cambio, el gráfico anterior no es una función inyectiva. Los puntos P1 y P2 tienen los mismos valores Y (rango) pero corresponden a valores X (dominio) diferentes. Por tanto, no es inyectiva.

    Tipos de funciones inyectivas

    A continuación se enumeran los tipos de funciones inyectivas.

    • f : R R, f(x) = 2x + 1es inyectiva.
    • f : R R, f(x) = ln (x) es inyectiva.
    • f : R R, f(x) = 2x es inyectiva
    • f : R R, f(x) = x3 es inyectiva
    • f : R R, f(x) = x2 es inyectiva
    • f : R R, f(x) = 4x + 5 es inyectiva.
    • f : N N, f(x) = x2 es inyectiva, ya que todos los números naturales tienen cuadrados únicos.
    • f : R R, f(x) = x2 + 1 no es inyectiva.
    • f: R R, f(x) = cos (x) no es inyectiva.

    Función inyectiva, suryectiva y biyectiva

    Aparte de las funciones inyectivas, hay otros tipos de funciones como las funciones suryectivas y biyectivas Es importante que sepas diferenciar estas funciones de una función inyectiva. Así que veamos sus diferencias.

    Para las funciones inyectivas, es un mapeo uno a uno. Cada elemento de A tiene una correspondencia única en B, pero para los otros tipos de funciones no es así. Para una función biyectiva, cada elemento de A coincide perfectamente con un elemento de B. Ningún elemento queda fuera. Véase la figura siguiente.

    Funciones inyectivas Mostrar cómo se mapean los elementos en una función biyectiva StudySmarterFunción biyectiva.

    En las funciones suryectivas, todo elemento del conjunto B tiene al menos un elemento coincidente en A y más de un elemento de A puede apuntar a un solo elemento de B. Ver la figura siguiente.

    Funciones inyectivas Mostrar cómo se mapean los elementos en una función proyectiva StudySmarterFunción subjetiva.

    Ejemplos de función inyectiva

    Considera la función, f:RR, f(x) = x.

    Evidentemente, el valor de f(x) será diferente cuando el valor de x sea diferente.

    Lo mismo ocurre con las funciones f(x) = x3, x5etc.

    Por otro lado, considera la función f:RR, f(x) = x2.

    No es una función inyectiva.

    Considera el valor, 4, en el dominio de la función.

    f(2) = f(-2) = 4

    Así, vemos que más de 1 valor en el dominio puede dar lugar al mismo valor en el rango, lo que implica que la función no es inyectiva por naturaleza.

    Lo mismo ocurre con funciones como x4, x6etc.

    Sea B = (4, 5, 6) y D = (a, b, c, d). ¿Cuál de las siguientes es una función inyectiva?

    1. (4, b), (5, b), (6, b)
    2. (5, a), (5, a)
    3. (4, a), (5, b), (6, c)

    Solución:

    La respuesta es la opción c. La opción c cumple la condición de una función inyectiva porque los elementos de B tienen una correspondencia única con los elementos de D.

    Si f(x) = x + 2 es una función inyectiva, ¿es f(x) = f(y), x = y ¿es cierta?

    Solución:

    La afirmación es cierta. Si supones x = 4 entonces,

    f(x) = x + 2f(x) = 4 + 2f(x) = 6

    A partir de la afirmación,

    f(x) = f(y) = 6

    esto significa que

    x = y = 6

    Funciones inyectivas - Puntos clave

    • Si una función que apunta de A a B es inyectiva, significa que no habrá dos o más elementos del conjunto A que apunten al mismo elemento del conjunto B. A la inversa, ningún elemento del conjunto B será apuntado por más de 1 elemento del conjunto A.
    • Una función inyectiva también se llama función uno a uno.
    • Cuando dibujas una función inyectiva en una gráfica, para cualquier valor de y no habrá más de 1 valor de x.
    Preguntas frecuentes sobre Funciones Inyectivas
    ¿Qué es una función inyectiva en matemáticas?
    Una función inyectiva o inyección es aquella donde cada elemento del conjunto de salida tiene un único elemento del conjunto de entrada.
    ¿Cómo se identifica una función inyectiva?
    Para identificar una función inyectiva, se verifica que si f(x1) = f(x2), entonces x1 = x2. Es decir, no hay dos valores diferentes del dominio que den el mismo resultado en el codominio.
    ¿Cuál es un ejemplo de función inyectiva?
    Un ejemplo de función inyectiva es f(x) = 2x + 3, ya que cada valor único de x produce un valor único de f(x).
    ¿Una función constante puede ser inyectiva?
    No, una función constante no puede ser inyectiva porque todos los elementos del dominio se mapean a un mismo valor en el codominio.

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