Integrales Estándar

La integral de la cosecante

Supongamos que queremos integrar \(I = \int \csc (ax)\, \mathrm{d} x\), siendo \(a\) la constante.

Esto, a primera vista, parece bastante intimidante, pero en esta ocasión podemos utilizar un truco.

Multipliquemos la integral por

\[ \frac{\csc(ax) + \cot(ax)}{\csc(ax)+\cot(ax)}.\}.

Podemos hacerlo, ya que equivale a multiplicar por 1.

Esto da

\[ \int \csc (ax)\left(\frac{\csc (ax) + \cot(ax)}{\csc(ax)+\cot(ax)} \right)\, \mathrm{d} x. \]

Entonces, utilicemos la sustitución de \(u= \csc (ax) + \cot(ax) \), lo que significa que

\[ \begin{align} &= -a\csc (ax) \cot(ax) - a\csc^2 (ax) \\\\\ {frac{mathrm{d}u} {\mathrm{d}x} &= -a\csc(ax)(\cot(ax)+\\csc(ax)), \end{align}].

y

\[ \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u }{-a\csc(ax)(\cot(ax)+\csc(ax)) }.\]

Sustituyendo esto se obtiene

\[ \begin{align} \int \csc (ax)\left(\frac{\csc (ax) + \cot(ax)}{\csc(ax)+\cot(ax)} \right)\, \mathrm{d} x &= \frac{\csc(ax)(\cot(ax)+\csc(ax)) } {\cot(ax)+\csc(ax) }, \mathrm{d} x &= -\frac{1} {a}int \frac{1} {u} \, \mathrm{d} x . \fin].

Ahora es fácil de evaluar. Se obtiene

\I &= -frac{1} {u} . I &= -\frac{1}{a}{ln|u| &= -\frac{1}{a}{ln\left|\csc(ax)+\cot(ax) \right| + C. fin].

La integral de la secante

Esto es similar al ejemplo anterior.

Define \(J = \int\sec(ax)\, \mathrm{d}x\), con \(a\) como constante.

Esta vez, multiplicaremos la integral por

\[ \frac{\sec(ax) + \tan(ax)}{\sec(ax)+\tan(ax)}.\]

Esto da

\[ J = \int \frac{sec(ax)(\sec (ax) + \tan(ax) )}{sec (ax) + \tan(ax) }\, \mathrm{d}x .\]

Ahora, deja que \(u = \sec (ax) + \tan(ax) \), lo que dará

\[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = a\sec (ax) \tan(ax) + a\sec^2 (ax) . \]

Esto implica que

\[ \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u }{a\sec (ax) \tan(ax) + a\sec^2 (ax) }.\]

Completando esto, obtenemos que

\J = -\frac{1}{a}\ln|u| .\]

Ahora podemos evaluarlo para obtener

\[ \begin{align} J &= -\frac{1}{a}\ln|u| &= -\frac{1}{a}\ln\left|\sec(ax)+\tan(ax) \right| + C. \end{align}\].

donde de nuevo hemos añadido la constante de integración al final.

La integral de la tangente

Esto requiere un planteamiento diferente y no requiere ningún truco adicional para resolverlo.

Define \(K = \int\tan(ax)\, \mathrm{d}x\), con \(a\) como constante.

Recuerda que la definición de

\[ \tan(ax) = \frac{{sin(ax)}{{cos(ax)},\]].

y entonces podemos escribir

\[ K = \int\frac{sin(ax)}{cos(ax)} \, \mathrm{d}x .\]

Ahora podemos utilizar una sustitución de \(u = \cos (ax)\), y así

\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = -a\sin(ax).\]

Esto significa que

\[ \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u }{-a\sin(ax) }.\]

Utilizando las leyes de los logaritmos, podemos ordenar esto para obtener

\K = \frac{1}{a}{ln\left|\sec(ax)\right| + C.\]

La integral de la cotangente

Define \(L = \int\cot(ax)\, \mathrm{d}x\), con \(a\) como constante. Recuerda que la definición de

\[ \cot(ax) = \frac{\cos(ax)}{\sin(ax)},\]

y entonces podemos escribir

\[ L = \int\frac{cos(ax)}{sin(ax)} \, \mathrm{d}x .\]

Ahora haz la sustitución de \( u = \sin(ax)\). Esto implica que

\frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}x} = a\cos(ax).\]

Rellenando esto, obtenemos que

L &= \frac{1}{a} \int\frac{1}{u} \frac{1}{d}x L &= \frac{1}{a} \int\frac{1}{u} \, \mathrm{d}x &= \frac{1}{a}ln|u| + C \frac{1}{a} \ln\left||sin(ax)\right| + C. \end{align}].

Integrales polinómicas recíprocas útiles

Normalmente, cuando integramos polinomios, suele haber una integral simple. Sin embargo, en estos ejemplos, las respuestas parecen salir de la nada.

Integral de \( \dfrac{1}{x^2+a^2}\)

Define

\[ I = \int \frac{1}{x^2+a^2}\, \mathrm{d} x.\]

Ahora vamos a sustituir \(x = a\tan(t)\). Esto significa que

\frac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t} = a\sec^2 (at),\]

y, por tanto, \ ( \mathrm{d}x = a\sec^2 (at) \mathrm{d}t \). Rellenando esto, obtenemos

\I = \int \frac{a\sec^2(t)}{a^2(\tan^2(t)+1)}, \mathrm{d}t.

Ahora podemos utilizar la identidad trigonométrica de

\[1 + \tan^2(t) = \sec^2(t) \]

para obtener

\[ \begin{align} I &= \int \frac{a\sec^2(t)}{a^2(\tan^2(t)+1)}, \mathrm{d} t \frac{1}{a}int 1 \, \mathrm{d} t .\final{align}]

Esta integral es ahora trivial, dando

\[ I = \frac{1}{a}t + C.\]

Rellenando por \(t\), hallamos

\[ I = \frac{1}{a}arctan \left(\frac{x}{a}right) + C.\]

Integral de \( \dfrac{1}{x^2-a^2}\)

Esta integral requiere fracciones parciales. Primero factorizamos

\[ x^2-a^2 = (x+a)(x-a).\] Esto significa que buscamos dividir

\[ \frac{1}{x^2-a^2 } = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x+a}.\]

Multiplicando por \(x^2-a^2\) obtenemos

\[ \begin{align} 1 &= A(x+a)+B(x-a) &= (A+B)x + (A-B)a. \fin].

Esto implica que \(A + B = 0\) y

\[ A - B = \frac{1}{a},\] lo que implica además

\[ A = \frac{1}{2a} \texto{ y } B = -\frac{1}{2a}.\]

Esto dará que

\[ \begin{align}\int \frac{1}{x^2-a^2} \x &= \frac{1}{2a} \int \frac{1}{x-a} \x - \frac{1}{2a}int \frac{1}{x+a} \x &= \frac{1}{2a} \izquierda( \ln|x-a| - \ln|x+a|derecha) + C. fin].

Podemos simplificarlo aún más utilizando la ley de los logaritmos, que da como resultado

\[ \int \frac{1}{x^2-a^2} |d} x = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C.\]

Integral de \( \dfrac{1}{{sqrt{a^2-x^2}})

Para esta integral, tenemos dos métodos, que dan resultados aparentemente diferentes pero que son equivalentes. Define

\[ J = \int \frac{1}{qrt{a^2-x^2}}, \mathrm{d} x.\]

Método 1:

Utiliza la sustitución \(x = a\cos (t)\). Entonces

\[ \frac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t} = -a\sin t,\}]

lo que da \ ( \mathrm{d}x = -a\sin t \mathrm{d}t \). Rellenando esto, obtenemos

\[ \begin{align} J &= \int \frac{a\sin t}{sqrt{a^2-a^2\cos^2 t}, \mathrm{d} t &= \int \frac{a\sin t}{a\sqrt{1-\cos^2 t}, \mathrm{d} t . \fin].

Ahora podemos utilizar la identidad trigonométrica de

\[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1,\]

o reordenada

\[ 1 - \cos^2 t = \sin^2 t,\]

para dar

\J &=int ^2 t,^]. J &= \int \frac{a\sin t}{a\sin t}\, \mathrm{d} t &= \int -1\, \mathrm{d} t &= -t+C \\frac{x} {a}derecha) + C. \end{align}}].

Método 2:

Utiliza la sustitución \(x = a\sin t \). Entonces

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a\cos t,\].

lo que da \ ( \mathrm{d}x = a\cos t \mathrm{d}t \). Rellenando esto, obtenemos

\[ \begin{align} J &= \int \frac{a\cos t}{sqrt{a^2-a^2\sin^2 t}, \mathrm{d} t &= \int \frac{a\cos t}{aqrt{1-\sin^2 t}, \mathrm{d} t . \fin{align}\]

Ahora podemos utilizar la identidad trigonométrica de

\1 - \sin^2 t = \cos^2 t .

dar

\[ \begin{align} J &= \int \frac{a\cos t}{a\cos t}, \mathrm{d} t &= \int 1\, \mathrm{d} t &= t+C \\frac{x} {a} derecha) + D. \end{align}\}]

¿Por qué coinciden? Podemos ver que

\frac{mathrm{d}}{mathrm{d} x} \arccosin \left(\frac{x}{a}\a}derecha) = \frac{mathrm{d}}{mathrm{d} x} \arccosin \left(\frac{x}{a}\a}derecha) \frac{mathrm{d}{a}derecha)

por lo que estas dos deben ser iguales, aunque las constantes no son idénticas, pero están relacionadas entre sí de alguna manera.