Integración de funciones hiperbólicas

Halla \[ \int^{2}_{0} 2 x \cosh{2x} \,dx. \]

Solución

Para resolver este problema, primero debes utilizar la fórmula de integración por partes,

\[ \int_{a}^{b} u \frac{dv}{dx} \dx = \left[u v \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} \frac{du}{dx} v \,dx. \]

En este caso, querrás que \( u \) sea \( 2x \), y que \( \frac{dv}{dx} \) sea \( \cosh{2x} \). Esto se debe a que quieres diferenciar el término \(2x\\) para que sólo te quede un término constante en su lugar, de modo que puedas resolver la integral normalmente.

Puedes diferenciar \(u \) de la forma habitual, e integrar \( \frac{dv}{dx} \) por inspección:

\( u = 2 x \), \(v = \frac{1}{2} \sinh{2x} \),

\(frac{du}{dx} = 2 x), (frac{dv}{dx} = 2 x).

Ahora que tienes todos los componentes de la fórmula de integración por partes, puedes introducirlos y evaluar la integral,

\[ \begin{align} \int^{2}_{0} 2 x \cosh{2x} \dx & = \left[ 2 x \cdot \frac{1}{2} \sinh{2x} \right]^{2}_{0} - \int^{2}{0} 2 \cdot \frac{1}{2} \sinh{2x} \& = izquierda[x sin2x] derecha]^2_0 -int^2_0 sin2x,dx. \dx. \fin \]

Puedes expandir la primera parte del lado derecho para obtener \[ \left[ x \sinh{2x} \right]^2_0 = 2 \sinh{4} .\] A continuación, sólo tienes que ocuparte de la integral del lado derecho. No es demasiado difícil ver la solución de esta integral, sólo tienes que pensar en lo que tendrías que diferenciar para obtener esta función. Esta integral se convertirá en

\[ \int_0^2 \sinh {2x} dx =\left[ \frac{1}{2} \cosh{2x} \right]^2_0 = \frac{1}{2} \cosh{4} - \frac{1}{2} \cosh{0} = \frac{1}{2} \4 - \frac{1}{2}, \]

ya que \(\cosh{0} =1 \).

Por tanto, puedes volver a introducir esto en la integral inicial para obtener,\[ \begin{align} \int^{2}_{0} 2 x \cosh{2x} \dx & = 2 \sinh{4} - izquierda(\frac{1}{2} \cosh{4} - \frac{1}{2} \derecha) \ & = 2 \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cosh{4} + \frac{1}{2}. \fin \]

Esta es la respuesta final. Puede que la pregunta te pida que pongas esto en forma exponencial, pero si no lo hace, esta respuesta está bien.

Demuestra

\[ \int \csch^2{x} \,dx = - \coth{x} + c. \].

Solución

Como la integración es la inversa de la diferenciación, basta demostrar que

\[ \frac{d}{dx} (-\coth{x}) = \csch^2{x}. \]

Primero, escribe \( \coth{x} \) en términos de seno y coseno hiperbólicos,

\[ \frac{d}{dx} (-\coth{x}) = \frac{d}{dx} \izquierda(-frac {cosh{x}} {sinh{x}} derecha). \]

Ahora, utiliza la regla del cociente,

\[ \begin{align} \frac{d}{dx} (-\coth{x}) & = - \frac{frac{d}{dx}(\cosh{x}) \sinh{x} - \cosh{x} \frac{d}{dx} (\sinh{x})}{\sinh^2{x}} \\ & = - \frac {sinh^2{x} - \cosh^2{x}} {sinh^2{x}}. \fin{align}\]

Por último, utiliza la identidad hiperbólica \[ \cosh^2{x} - \sinh^2{x} = 1, \] para obtener,

\[ \begin{align} \frac{d}{dx} (-\coth{x}) & = - \frac{-1}{\sech^2{x}} \\ y = \csch^2{x},\pend{align} \]

según se requiera.

Halla \[ \int \frac{1}{{sqrt{x^2 - 1}} \,dx \] mediante sustitución, para \( x \geq 1.\)

Solución

Lo primero que hay que decidir aquí es qué sustitución utilizar. El lugar más obvio para utilizar la sustitución es en la parte inferior de la función, dentro de la raíz cuadrada.

Piensa en las distintas identidades de funciones hiperbólicas: ¿cuál sería la más útil aquí? La correcta es \[ \cosh^2{u} - \sinh^2{u} = 1 \], ya que se puede cambiar por \[ \cosh^2{u} - 1 = \sinh^2{u}, \], que se parece al interior de la raíz cuadrada, con \( \cosh{u} \) en lugar de \(x\). Sustituyendo \( x = \cosh{u} \) en la integral inicial, obtenemos

\[\int \frac{1}{{sqrt{x^2 - 1}} \dx = \int \frac{1}{sqrt{\cosh^2{u} - 1}}. \dx. \]

Recuerda que cuando haces una sustitución, debes sustituir también el \(\,dx\). Como \( x = \cosh{u} \), la derivada de \(x\) respecto a \(u\) es \[ \frac{dx}{du} = \sinh{u} \implica dx = \sinh{u} \,du.\] Así, puedes sustituir \(\,dx\) en la integral por \( \sinh{u} \,du \):

\[\int \frac{1} {\sqrt{x^2 - 1}} \dx = \int \frac{1}{sqrt{\cosh^2{u} - 1}}. \sinh{u}\d{u}. \]

Ahora observa que en la parte inferior hay \ ( \cosh^2{u} - 1 \). Antes has visto que es igual a \( \sinh^2{u} \) por las identidades de las funciones hiperbólicas. Por tanto, puedes sustituir \(\cosh^2{u}-1\) por \( \sinh^2{u}\):

\[ \begin{align} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}. \dx & = \int \frac{1}{sqrt{\sinh^2{u}} \y = int \frac{1}{sinh{u}} \y = int ¾,du. \fin \]

Fíjate en que aquí hemos escrito \( \sqrt{\sinh^2{u}} = \sinh{u} \), y no que sea igual a \( \pm \sinh{u}.\) Esto se debe a que tenemos \( x \geq 1 \) de la pregunta, y por tanto \( \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \geq 0.\) Por tanto, la integral de esta función también debe ser positiva, así que debemos tomar el valor positivo de esta raíz cuadrada.

Después de realizar los pasos anteriores, el integrando se ha eliminado por completo. Esta integral es directa de resolver,

\[ \begin{align} \int \frac{1}{{sqrt{x^2 - 1}}. \dx & = \int \,du = u + c. \end{align} \]

Recuerda que, como la pregunta era en términos de \(x\), la respuesta también debe expresarse en términos de \(x\). Recuerda que \(x = \cosh{u} \). Tomando el coseno hiperbólico inverso de cada lado obtendrás \( u = \cosh^{-1}{x} \). Por último, puedes sustituir esto por \(u\) en la fórmula, para obtener

\[ \begin{align} \int \frac{1}{cuadrado{x^2 - 1}}. \int \ du = \cosh^{-1}{x} + c, fin. \]

y, por tanto, la pregunta está completa.

Halla \[ \int \frac{1}{{sqrt{x^2 + 8x + 32}} \,dx \] utilizando la sustitución.

Solución

Esta función no se parece a ninguna de nuestras identidades hiperbólicas. El primer paso para simplificar esta función es completar el cuadrado de la cuadrática dentro de la raíz cuadrada.

\[ (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 \] \[ (x+4)^2 + 16 = x^2 + 8x + 32. \]

Ahora, coloca el cuadrado completado en la pregunta original:

\[ \int \frac{1}{cuadrado{x^2 + 8x + 32}} \int \frac{1}{cuadrado}{(x+4)^2 + 16}}. \dx.]

Esto ya está un paso más cerca de parecerse a una de las identidades hiperbólicas. Podrías hacer la sustitución utilizando \(x + 4\), pero sigue habiendo el 16 de por medio, lo que hace imposible simplificar. Para eliminar el 16, divide la parte superior e inferior de la función por 4:

\[ \iniciar{alinear} \int \frac{1} {{sqrt{x^2 + 8x + 32}} \int \frac{1}{4}{\frac{1}{4} {cuadrado{(x+4)^2 + 16}} \frac, dx \frac & = \frac{1}{4} \int \frac{1} {cuadrado} {{frac{1} {16} {izquierda((x+4)^2 + 16 {derecha)}} \dx & = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{\frac{(x+4)^2}{16} + \frac{16}{16}} \dx & = \frac{1}{4} \int \frac{1}{cuadrado}{izquierda(\frac{x+4}{4}{derecha)^2 + 1}}. \dx. \fin \]

Aquí, el factor de \( \frac{1}{4}\}) en el numerador se ha eliminado de la integral. A continuación, el \(\frac{1}{4} \) del denominador se ha puesto dentro de nuestra raíz cuadrada, por lo que debe elevarse al cuadrado para obtener \(\frac{1}{16} \).

Por último, se ha puesto dentro del cuadrado del primer término de la raíz cuadrada para reducirlo de nuevo a \(\frac{1}{4} \), mientras que el \(\frac{16}{16} \) se cancela a 1.

Esto se parece mucho más a una de las identidades hiperbólicas si sustituyes \(\frac{x+4}{4} \) por una función hiperbólica.

Pero, ¿qué función debes utilizar? Recordemos la identidad hiperbólica \[ \cosh^2{u} = \sinh^2{u} + 1, \] cuyo lado derecho puede identificarse como el interior de la raíz cuadrada, con la sustitución \(\sinh{u}=\frac{x+4}{4} \). Para ver con más detalle por qué tiene sentido esta sustitución, consulta Cálculo de funciones hiperbólicas. Tras la sustitución, obtenemos

\[ \int \frac{1}{{sqrt{x^2 + 8x + 32}} \dx = \frac{1}{4} \int \frac{1} {cuadrado} {sinh^2{u} + 1 }} \dx. \]

Como se ha dicho antes, \( \sinh^2{u} + 1 = \cosh^2{u} \), así que puedes sustituir esto para obtener,

\[ \begin{align} \int\frac{1}{\sqrt{x^2 + 8x + 32}}. \dx & = \frac{1}{4} \int \frac{1}{cuadrado{\cosh^2{u}} \dx & = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cosh{u}} \dx. \fin \]

De nuevo, hemos tomado el valor positivo de la raíz cuadrada y no el negativo. Esto se debe a que el integrando siempre es positivo, por lo que la propia integral también debe ser positiva.

También debes recordar sustituir el \(\,dx\).

La sustitución fue \(\frac{x+4}{4} = \sinh{u} \), así que reordenando esto para \(x\) se obtendrá \(x = 4 sinh{u} - 4). Diferenciando esto con respecto a \(u\) obtienes, \( \frac{dx}{du} = 4 \cosh{u} \).

Por tanto, puedes sustituir \( dx \) por \( 4 \cosh{u} \,du \):

\[ inicio{alineación} \int \frac{1} {{sqrt{x^2 + 8x + 32}} \dx & = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cosh{u}} 4 \cosh{u} \,du & = \int 1 \,du. \fin \]

A partir de aquí, de nuevo la integral es directa. En otras preguntas similares, puede que te quede un valor escalar distinto de 1, pero aquí resulta que se ha anulado.

\[ \begin{align} \int \frac{1} {{sqrt{x^2 + 8x + 32}} \int \,dx & = \int \,du \ & = u+c. \fin \]

Recuerda que la sustitución era \( \sinh{u} = \frac{x+4}{4}\implica u = \sinh^{-1}{\frac{x+4}{4}\). Por tanto, la respuesta es

\[ \int \frac{1}{{sqrt{x^2 + 8x + 32}} \dx = \sinh^{-1} {izquierda( \frac{x+4}{4} {derecha)} +c.\}].