Fracciones y Factores: Matemáticas, Álgebra

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Podemos utilizar los factores para ayudarnos a simplificar las fracciones a su forma más simple. Este artículo explora los conceptos clave de las fracciones y los factores, así como algunas aplicaciones.

Significado de fracciones y factores: Una introducción

Empecemos definiendo e introduciendo los conceptos de fracciones y factores.

Componentes de una fracción: Numerador y denominador

En primer lugar, empecemos con la definición de fracción.

El valor numérico que representa la parte de cualquier valor o cosa entera se conoce como fracción. Las fracciones se conocen como números racionales (por la teoría de conjuntos). En matemáticas, decimos que los números racionales están en el conjunto $ℚ .$

Las fracciones pueden representarse como $\frac{a}{b}$ siendo a el numerador y b el denominador. Esencialmente, el numerador se divide por el denominador.

Intentemos ver esto desde una perspectiva más visual. Imagina 1 pizza con 8 trozos.

Fracciones y factores trozos de pizza StudySmarter Pizza con 8 trozos, pixabay.com

Si cojo 1 trozo de pizza, he cogido $\frac{1}{8}$ de la pizza. Esto se debe a que tenemos 1 pizza, y la hemos dividido en 8 trozos. Por tanto, podemos ver que el trozo de pizza singular (1) es el numerador, y el número total de trozos (8) es el denominador.

Una fracción también puede considerarse como la división de un numerador por un denominador. Veamos un ejemplo para ver esto en acción.

Tengo una tarta con 8 trozos. Quiero repartirla a partes iguales entre 4 personas. ¿Qué fracción de la tarta recibirá cada persona?

Solución:

La tarta tiene 8 trozos, y queremos repartirla a partes iguales entre 4 personas. Por tanto, calculamos que $8 \div 4 = 2 .$ Esto significa que cada persona recibe 2 trozos de tarta.

Si cada persona recibe 2 trozos, significa que recibe $\frac{2}{8}$ de la tarta. Es el número de porciones que recibe cada persona (2) dividido por el número total de porciones de la tarta (8), dividiendo el numerador por el denominador.

Uso de factores para números enteros

Los números enteros también se conocen como números enteros. En matemáticas, se representan como $ℤ .$ Todos los números enteros contienenfactores.

Los factores de un número entero son números que dividen exactamente a ese número entero.

Esto significa que si haces una división larga, dividiendo el número entero por su factor, no encontrarás ningún resto.

Por ejemplo, 10 puede dividirse por 2 para ser igual a 5, $10 \div 2 = 5,$ lo que significa que 2 es un factor de 10. Del mismo modo, 10 puede dividirse por 5 para ser igual a 2 $10 \div 5 = 2,$ lo que significa que 5 también es un factor de 10. Por tanto, 2 y 5 son un par de factores de 10.

Todos los números enteros son divisibles por 1, por lo que 1 es un factor de todos los números enteros. El propio número entero es siempre también un factor de sí mismo, ya que cuando divides un número por sí mismo, obtienes 1. Como este proceso no deja ningún resto, sabemos que el número es un factor de sí mismo.

Todos los números enteros son divisibles por 1 y por sí mismos, por lo que tienen al menos dos factores. Los números enteros que sólo son divisibles por 1 y por sí mismos se conocen como números primos.

La única excepción al hecho de que todos los números enteros tienen al menos dos factores es el número 1. El número 1 no cuenta como número primo, ya que es divisible por 1 y por sí mismo, pero como 1 es él mismo, es el único número que contiene un factor.

Veamos un pequeño ejemplo.

Enumera todos los factores del número 24.

Solución:

¿Por cuántos números es divisible 24? Tenemos:

$24 \div 1 = 24, 24 \div 2 = 12, 24 \div 3 = 8, 24 \div 4 = 6, 24 \div 6 = 4, 24 \div 8 = 3, 24 \div 12 = 2, 24 \div 24 = 1$

Aparte de los números 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24, todos los demás números cuando se dividen por 24 no devuelven números enteros. Esto significa que nuestros factores son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

Factores

Ahora que entendemos las ideas y conceptos básicos de las fracciones y los factores, vamos a examinar más detenidamente los factores en particular. Comprender los factores nos ayudará más adelante a aprender métodos para simplificar fracciones en sus formas más simples y pequeñas.

¿Qué es una descomposición en factores primos?

Una descomposición en factores primos consiste simplemente en analizar un número entero como producto de factores primos. En otras palabras, determinamos todos los factores primos que, al multiplicarse, suman el número entero dado.

Un factor primo es simplemente un factor de un número entero que también es un número primo. Podemos encontrar la descomposición en factores primos dibujando un árbol de factores. Un árbol de factores nos muestra exactamente cómo podemos descomponer un número entero en sus factores, y luego seguir descomponiendo estos factores hasta llegar finalmente a los factores primos.

Veamos un ejemplo visual de esto.

Dibuja un árbol de factores para 100 y escribe la descomposición en factores primos de 100.

Solución:

Inicialmente, podemos descomponer 100 en $50 \times 2$ que tiene este aspecto:

Fracciones y Factores, ejemplo de factorización primitiva, StudySmarter Factor primo de 100, StudySmarter Originals

Ahora podemos dejar de descomponer 2 en factores, ya que es un factor primo, lo que significa que sólo puede dividirse por 1 y por sí mismo. Sin embargo, 50 no es primo, por lo que tenemos que descomponerlo aún más. Podemos descomponer 50 en $25 \times 2$ . Podemos añadirlo así a nuestro árbol de factores:

Fracciones y Factores, ejemplo de factorización primitiva, StudySmarter Factores primos de 50, StudySmarter Originals

De nuevo, 2 es primo, así que no lo descomponemos más. Sin embargo, podemos descomponer 25 en $5 \times 5$ . Y podemos añadirlo a nuestro árbol de factores así:

Fracciones y Factores, ejemplo de factorización primitiva, StudySmarter Árbol de factores de 100, StudySmarter Originals

Ahora, como el 5 es primo, podemos detenernos ahí, ya que no podemos descomponer más ninguno de estos números. ¡Esto significa que hemos terminado de dibujar nuestro árbol de factores!

Al escribir la descomposición en factores primos, podemos rodear con un círculo todos los factores que hemos identificado como primos para facilitar la consulta.

Fracciones y Factores, ejemplo de factorización primitiva, StudySmarter Números primos rodeados con un círculo tras la descomposición, StudySmarter Originals

Cuando estos números se multiplican entre sí nos dan 100, así que nuestra descomposición en factores primos es

$2 \times 2 \times 5 \times 5$

Podemos darle un aspecto más bonito utilizando índices: $2^{2} \times 5^{2}$ .

¿Qué es el máximo común divisor?

El máximo común divisor es algo que podemos encontrar cuando utilizamos el método de descomposición de factores primos en dos o más números diferentes. El máximo común divisor es un número que es factor de todos los números considerados. Concretamente, es el mayor posible.

Existe un método para hacerlo, que veremos a través de un ejemplo.

Halla el máximo común divisor de 100 y 120.

Solución:

PASO	EJEMPLO
PASO 1: Halla la descomposición en factores primos de ambos números.	La descomposición en factores primos de 100, que ya conocemos, es $2^{2} \times 5^{2} .$ Si utilizamos un árbol de factores para hallar la descomposición en factores primos de 120, obtenemos lo siguiente: Árbol factorial de 120, StudySmarter Originals Por tanto, nuestra descomposición en factores primos del número 120 es $2^{3} \times 3 \times 5 .$
PASO 2: Escríbelos en notación de potencias (de modo que si sólo hay un número, escríbelo con una potencia de 1).	$100 = 2^{2} \times 5^{2} 120 = 2^{3} \times 3^{1} \times 5^{1}$
PASO 3: Si a uno de los números le falta un factor de la descomposición en número primo de otro número, escribe ese factor que falta en la descomposición en factor primo a la potencia de 0.	Al 100 le falta el 3, así que ponemos un 3 a la potencia de 0: $100 = 2^{2} \times 5^{2} \times 3^{0}$
PASO 4: Compara los mismos números de base y elige el de menor potencia.	Entre $5^{1}$ y $5^{2}$ selecciona $5^{1}$ Entre $2^{2}$ y $2^{3}$ seleccionar $2^{2}$ Entre $3^{0}$ y $3^{1}$ selecciona $3^{0}$
PASO 5: Multiplica estos números seleccionados entre sí.	$2^{2} \times 3^{0} \times 5^{1} = 20$ Así que nuestro máximo común divisor es 20.

Fracciones

Hemos aprendido que las fracciones están formadas por numeradores arriba y denominadores abajo. Las fracciones tienen valores enteros tanto en el numerador como en el denominador, pero el denominador no debe ser cero. Cuando una fracción tiene los mismos factores en el numerador y el denominador, podemos simplificar la forma de la fracción.

Comparación de fracciones y factores: ¿Cómo podemos utilizar los factores para simplificar fracciones?

Cuando determinamos que una fracción puede simplificarse, significa que podemos dividir el numerador y el denominador por el mismo número para llegar a una fracción más simple o más pequeña. Esto sólo puede hacerse si tanto el numerador como el denominador comparten un factor.

Si tomamos nuestra respuesta anterior de $\frac{2}{8}$ tanto 2 como 8 comparten el factor 2. Por tanto, si dividimos tanto 2 como 8 por 2 obtenemos $2 \div 2 = 1, 8 \div 2 = 4 .$ Por tanto, podemos simplificar nuestra fracción a $\frac{1}{4}$ .

A veces, en las preguntas de los exámenes, te pueden pedir que des tu respuesta en su forma más simple. Esto significa que debes simplificar la fracción antes de dar una respuesta. Veamos algunos ejemplos.

Simplifica $\frac{56}{96} .$

Solución:

En primer lugar, tenemos que pensar en el factor que comparten 56 y 96. Ambos comparten 8 como factor. Por tanto, sólo tenemos que dividir cada uno de ellos (tanto el numerador como el denominador) por 8.

$\Rightarrow \frac{56 \div 8}{96 \div 8} = \frac{7}{12}$

Esto significa que nuestra nueva fracción simplificada es $\frac{7}{12} .$

Simplifica $\frac{5}{65} .$

Solución: Aquí, 5 y 65 comparten 5 como factor. Por tanto, dividimos tanto el numerador como el denominador por 5.

$\Rightarrow \frac{5 \div 5}{65 \div 5} = \frac{1}{13}$

Por tanto, la fracción simplificada es $\frac{1}{13} .$

Las fracciones y los factores son importantes en diversas situaciones aplicadas. Al aprender otros temas, a menudo nos encontraremos con que tenemos que determinar un factor común o simplificar una fracción como parte de nuestra resolución de problemas.

Reglas en fracciones

Hay ciertas reglas que se aplican al utilizar operaciones matemáticas básicas con fracciones. Veremos las reglas en fracciones para las siguientes operaciones:

Suma y resta
Multiplicación
División

Suma y resta

La suma o resta de fracciones se realiza en función del tipo de denominador que tengan. Tenemos que comprobar si los denominadores de las fracciones dadas son iguales o diferentes. Veamos los pasos para realizar una suma o resta si el denominador es el mismo para todas las fracciones.

Suma/resta los numeradores y mantén el denominador tal cual.
Reduce la fracción si es posible.

$\Rightarrow \frac{a}{b} \pm \frac{c}{b} = \frac{a \pm c}{b}$

Donde a, b y c son números enteros.

Cuando los denominadores no son iguales, hay que seguir los siguientes pasos.

Haz que el denominador de todas las fracciones sea el mismo. Para ello, puedes multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el denominador de otra fracción y viceversa.
Después de hacer que el denominador sea el mismo, suma/resta los numeradores sin cambiar el denominador.
Simplemente la fracción cuando sea posible.

$\Rightarrow \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \times d}{b \times d} \pm \frac{c \times b}{d \times b}$

Multiplicación

Al multiplicar las fracciones, no es necesario que los denominadores sean iguales, a diferencia de la suma/resta. En su lugar, multiplica simplemente los numeradores entre sí, y multiplica los denominadores entre sí. A continuación, reduce la fracción a una forma simplificada. Recuerda que normalmente las fracciones no deben ser fracciones mixtas. Si es una fracción mixta, conviértela primero en fracciones propias o impropias.

$\Rightarrow \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

División

Al dividir las fracciones, las convertimos en forma de multiplicación para hallar la respuesta. Por tanto, para convertirla en forma de multiplicación, invierte la segunda fracción (es decir, invierte el numerador y el denominador) y cambia el signo de división por el signo de multiplicación. Ahora puedes realizar los pasos de la multiplicación como de costumbre.

$\Rightarrow \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

Ejemplo de fracciones y factores

Veamos algunos ejemplos resueltos de fracciones y factores.

Halla el máximo común divisor (MCD) de 48, 108 y 140.

Solución:

PASO	EJEMPLO
PASO 1: Halla la descomposición en factores primos de los tres números dados.	La descomposición en factor primo de 48 mediante el árbol de factores es $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times \times 3 = 2^{4} \times 3 .$ Árbol factorial de 48, StudySmarter Originals Del mismo modo, la descomposición del factor primo de $108 = 2^{2} \times 3^{3}$ .La descomposición en factores primos de 140 es $2^{2} \times 5 \times 7 .$
PASO 2: Escribe los tres números en notación potencia.	$48 = 2^{4} \times 3^{1}, 108 = 2^{2} \times 3^{3}, 140 = 2^{2} \times 5^{1} \times 7^{1}$
PASO 3: Escribe el número que falta de un factor de la descomposición en números primos de los otros números en potencia de 0.	$48 = 2^{4} \times 3^{1} \times 5^{0} \times 7^{0} 108 = 2^{2} \times 3^{3} \times 5^{0} \times 7^{0} 140 = 2^{2} \times 3^{0} \times 5^{1} \times 7^{1}$
PASO 4: Compara los mismos números de base y selecciona el de menor potencia.	En $2^{2} a n d 2^{4}$ selecciona $2^{2}$ En $3^{0}, 3^{1}, 3^{3}$ Selecciona $3^{0}$ Desde $5^{0}, 5^{1}$ seleccionar $5^{0}$ Desde $7^{0}, 7^{1}$ selecciona $7^{0}$
PASO 5: Multiplica los números seleccionados.	$2^{2} \times 3^{0} \times 5^{0} \times 7^{0}$ Así, HCF (o GCD) es 4 para los tres números dados.

La amiga de Hailey vive a 25 millas de su casa. Ya ha recorrido 11 millas. Representa la distancia recorrida mediante una fracción.

Solución: La distancia total desde la casa de Hailey hasta la casa de su amiga es de 25 millas. Por tanto, el denominador será 25.

Hailey recorrió 11 millas. Por tanto, el numerador será 11.

Por tanto, la distancia recorrida en fracciones será $\frac{11}{25} .$

Resuelve las siguientes fracciones.

$1) \frac{6}{7} + \frac{2}{7} 2) \frac{6}{7} - \frac{1}{3} 3) \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} 4) \frac{2}{3} \div \frac{1}{2}$

Solución:

1) $\frac{6}{7} + \frac{2}{7}$

Para $\frac{6}{7}$ y $\frac{2}{7}$ ambas fracciones tienen el mismo denominador. Por tanto, podemos realizar la suma sin cambiar el denominador. En este caso, sumaremos el numerador y mantendremos el denominador tal como está.

$\Rightarrow \frac{6}{7} + \frac{2}{7} = \frac{6 + 2}{7} = \frac{8}{7}$

2) $\frac{6}{7} - \frac{1}{3}$

En este caso, ambas fracciones $\frac{6}{7}, \frac{1}{3}$ tienen denominadores diferentes. Primero igualaremos sus denominadores y luego restaremos las fracciones obtenidas.

$\Rightarrow \frac{6}{7} - \frac{1}{3} = \frac{6 \times 3}{7 \times 3} - \frac{1 \times 7}{3 \times 7} = \frac{18}{21} - \frac{7}{21} = \frac{18 - 7}{21} = \frac{11}{21}$

3) $\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}$

Para la multiplicación de fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

$\Rightarrow \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2 \times 1}{3 \times 2} = \frac{1}{3}$

4) $\frac{2}{3} \div \frac{1}{2}$

Para la división de fracciones, volteamos la segunda fracción para convertir la expresión en una de multiplicación. A continuación, podemos multiplicar las fracciones para obtener nuestra respuesta.

$\Rightarrow \frac{2}{3} \div \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{1} = \frac{2 \times 2}{3 \times 1} = \frac{4}{3}$

Fracciones y factores - Puntos clave

El numerador es la parte superior de una fracción, mientras que el denominador es la parte inferior.
Los factores son números por los que otros números se dividen exactamente en.
Los números con sólo dos factores se conocen como números primos.
La descomposición en factores primos nos ayuda a calcular los máximos comunes divisores.
Las fracciones pueden simplificarse si el numerador y el denominador comparten un factor común.

Tarjetas en Fracciones y Factores 3

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¿Cuál es el factor que falta en 20 cuando sus factores son 1,2,5,10,20?

¿7 es un factor de 44?

Sí

¿La HCF de 39 y 65 es?

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Preguntas frecuentes sobre Fracciones y Factores

¿Cómo simplificar una fracción?

Simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador por su máximo común divisor (MCD).

¿Qué es un factor en matemáticas?

Un factor es un número que divide exactamente a otro número sin dejar residuo.

¿Qué es una fracción?

Una fracción representa una parte de un todo dividido en partes iguales, con un numerador y un denominador.

¿Cómo encontrar los factores de un número?

Para encontrar los factores de un número, divide ese número por todos los números menores o iguales a él, para ver cuáles dan un residuo de 0.

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