Relación fraccionaria

A menudo, cuando respondemos a preguntas de matemáticas de GCSE, se nos pide que expresemos nuestras respuestas como cociente o fracción. Por tanto, es importante que seamos capaces de convertir fracciones en cocientes y viceversa. Supongamos, por ejemplo, que un trozo de cuerda se corta en la proporción 2:3, tenemos que ser capaces de calcular las longitudes de los dos trozos de cuerda como una fracción del trozo de cuerda original. Por suerte, en este artículo trataremos todo lo que hay que saber sobre las proporciones fraccionarias. Empezaremos por definir las razones y las fracciones, y estableceremos las diferencias entre ellas.

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    Diferencia entre razón y fracción

    Una razón es una forma de comparar dos cantidades. El cociente de dos cantidades pone de manifiesto cuánto mayor es un número en comparación con otro. Una fracción nos dice cuánto es algo como proporción de otra cosa.

    En realidad, fracciones y proporciones significan lo mismo. Sin embargo, las expresamos de forma ligeramente distinta. En el ejemplo siguiente, puedes ver las mismas cosas expresadas como fracción y como razón.

    • En una clase de estudiantes, la proporción entre chicas y chicos es de 2:3. Esto significa que de cada 5 alumnos, 2 son chicas y 3 son chicos. Podríamos decir que la fracción de chicas es \(\dfrac{2}{5}}), y la fracción de chicos es \(\dfrac{3}{5}}).
    • Un trozo de cuerda se corta en la proporción \(1:4\). Así, si la cuerda midiera 5 cm, el trozo más corto mediría 1 cm y el más largo 4 cm. Podríamos decir que el trozo más corto es \(\dfrac{1}{5}\}) del trozo de cuerda original y el trozo más largo es \(\dfrac{4}{5}\}) del trozo original.
    • La proporción de caramelos azules y caramelos naranjas en una bolsa es de 3:7. Así, por cada 10 caramelos, podríamos decir que 3 son azules y 7 naranjas. Por tanto, podríamos decir que \(\dfrac{3}{10}\) de los caramelos son azules y que \(\dfrac{7}{10}\) de los caramelos son naranjas.

    ¿Te das cuenta de lo que estamos haciendo? En la sección siguiente veremos con más detalle cómo convertir fracciones en cocientes y cocientes en fracciones. Sin embargo, es importante tener en cuenta que tanto las proporciones como las fracciones pueden utilizarse para representar lo mismo, por lo que es posible que veas que las palabras "fracción" y "proporción" se utilizan indistintamente.

    Cuando vemos una fracción, estamos comparando una parte con un todo. Por ejemplo, para la fracción \(\dfrac{2}{3}\), estamos viendo dos partes de un total de tres.

    Cuando vemos una proporción, estamos viendo dos o más de los componentes que forman el todo. Por ejemplo, para la proporción \(2:3\), dos y tres son partes separadas del mismo todo.

    Fracción a razón

    Cómo convertir una fracción en una razón

    Si tenemos una fracción, podemos convertirla en cociente de forma muy sencilla. El método es el siguiente:

    Paso 1: Determina la fracción que compone cada cantidad. Por ejemplo, si tenemos una bolsa de fichas rojas, azules y naranjas, tenemos que calcular la fracción de fichas rojas, azules y naranjas.

    Paso 2: Escribe cada una de las fracciones en el orden de la proporción especificada, separándolas con dos puntos.

    Paso3: Multiplica cada componente de la proporción por un número, de modo que cada parte de la proporción sea un número entero (es decir, un número entero, no una fracción).

    En los siguientes ejemplos veremos cómo convertir fracciones en razones.

    Ejemplos de fracciones a razones

    En una excursión escolar, \(\dfrac{1}{3}}) de los alumnos van a un museo y el resto a una galería de arte. ¿Cuál es la proporción entre los alumnos que van al museo y los que van a la galería de arte?

    Solución:

    Puesto que \(\dfrac{1}{3}}) de los alumnos van a un museo, podemos deducir que \(\dfrac{2}{3}}) de los alumnos van a la galería de arte, ya que las fracciones suman uno.

    A continuación escribimos las fracciones como cociente, así \(\dfrac{1}{3}:\dfrac{2}{3}\).

    Ahora, para simplificar este cociente, podemos multiplicar ambos lados por tres. Así, acabamos con \(1:2\). Por tanto, podemos decir que por cada alumno que va al museo, tenemos dos alumnos que van a la galería de arte.

    En un cine, \(\dfrac{5}{6}\}) de las personas son adultos y el resto niños. ¿Cuál es la proporción entre adultos y niños?

    Solución:

    Como \(\dfrac{5}{6}}) de las personas son adultos, \(\dfrac{1}{6}}) deben ser niños, ya que las fracciones suman uno. Escribiendo esto como cociente es \(\dfrac{5}{6}:\dfrac{1}{6}).

    Ahora, multiplicando ambos lados de la proporción por 6, obtenemos \(5:1\). Por tanto, la proporción entre adultos y niños es \(5:1\).

    En una bolsa de caramelos, \(\dfrac{1}{4}\}) son rojos, \(\dfrac{1}{3}\}) son verdes y el resto son naranjas. ¿Cuál es la proporción entre caramelos rojos y verdes y naranjas?

    Solución:

    La suma de caramelos rojos y caramelos verdes es \(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{4}{12}=\dfrac{7}{12}).

    Como el resto son naranjas, podemos decir que \(1-\dfrac{7}{12}=\dfrac{12}{12}-\dfrac{7}{12}=\dfrac{5}{12}) son naranjas.

    Poniendo nuestras fracciones en cocientes, tenemos que el cociente entre los caramelos rojos y los verdes y los naranjas es \(\dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{3}:\dfrac{5}{12}). Ahora, para obtener valores enteros para nuestro cociente, tenemos que multiplicar cada elemento del cociente por 12. Obtenemos \(3:4:5\). Por tanto, la proporción entre caramelos rojos, verdes y naranjas es \(3:4:5\).

    Relación a fracción

    También podemos convertir fácilmente proporciones en fracciones. En las preguntas, a menudo es más fácil trabajar con fracciones que con proporciones, por lo que esto resulta especialmente útil. Para ello, basta con sumar las partes de la proporción. Éste es el denominador de todas las fracciones. Luego, cada parte de la razón será el numerador de las distintas fracciones. Es muy sencillo; en los siguientes ejemplos convertiremos razones en fracciones.

    Ejemplos de proporción a fracción

    En una clase de acogida, la proporción entre alumnos y profesores es \(5:1\). ¿Qué fracción de la clase son alumnos y qué fracción son profesores?

    Solución:

    Primero, suma las distintas partes de la proporción. En este caso, sumamos cinco y uno para obtener seis. Éste es el denominador de las fracciones. Entonces, podemos decir que \(\dfrac{5}{6}}) son alumnos y \(\dfrac{1}{6}}) de la clase son profesores.

    En una empresa, la proporción entre empleadas y empleados es de \(2:3\). ¿Qué fracción de los empleados son hombres?

    Solución:

    Primero, suma 2 y 3 para obtener 5. Así, \(\dfrac{2}{5}\) son mujeres y \(\dfrac{3}{5}\) son hombres.

    Un trozo de cuerda se corta en tres trozos en la proporción \(1:2:3\). Calcula la fracción del trozo original que constituye cada uno de los tres trozos.

    Solución:

    \(1+2+3=5\). Por tanto, el trozo más pequeño es \(\dfrac{1}{5}\}), el trozo del medio es \(\dfrac{2}{5}\}) y el trozo más grande es \(\dfrac{3}{5}\}).

    Fracciones, porcentajes y proporciones

    También podemos convertir fracciones y proporciones en porcentajes.

    La proporción de chicos y chicas que cursan Inglés de Bachillerato en un colegio es \(3:7\). Calcula el porcentaje de chicos que cursan el nivel A de inglés.

    Solución:

    En primer lugar, podemos decir que la fracción de chicos que se matriculan en el A-Level de Inglés es (3:10). Si lo convertimos en porcentaje, obtenemos el 30%. Por tanto, el 30% de los estudiantes de inglés de nivel A son chicos.

    En la feria hay 300 personas. La proporción entre adultos y niños es de \(1:2\). El 20% de los niños son menores de 6 años y tienen entrada gratuita. Calcula la fracción de niños que entran gratis.

    Solución:

    En primer lugar, podríamos decir que la fracción de niños es \(\dfrac{2}{3}\). Como hay 300 personas en la feria, podemos decir que \(\dfrac{2}{3}) de 300 son niños. Como \(\dfrac{1}{3}}) de 300 es 100, ya que \(300\div 3=100\), sabemos que \(\dfrac{2}{3}}) de 300 es 200. Por tanto, 200 de los asistentes a la feria son niños. El 20% de los niños tienen menos de 6 años, así que tenemos que calcular el 20% de 200. Como el 10% de 200 es 20, el 20% de 200 es 40.

    Por tanto, 40 asistentes a la feria tienen entrada gratuita.

    Métodos de proporción fraccionaria

    La razón fraccionaria aparece a menudo en otros temas de matemáticas de GCSE. Uno en el que resulta especialmente útil es el de los vectores. Aquí veremos dos preguntas sobre vectores en las que se incorpora un cociente fraccionario. Sin embargo, si no estás muy familiarizado con los vectores, puede que te resulte útil recapitular este tema antes de seguir leyendo.

    En el triángulo DEF de abajo, los vectores \(\overrightarrow{DE}=a) y \(\overrightarrow{EF}=b). El punto \(A\) corta a la recta \(DF\) tal que \(\overrightarrow{DA}:\overrightarrow{AF}=2:3\). Calcula \(\sobreflechaderecha{DA}\).

    Ejemplos de razón fraccionaria, Triángulo DEF con punto A, StudySmarter Originals, Jordan Madge

    Fig. 1. Triángulo DEF con el punto A.

    Solución:

    En primer lugar, podemos hallar el vector \(\overrightarrow{DF}\).

    \[\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=a+b\]

    Ahora bien, como \(\overrightarrow{DA}:\overrightarrow{AF}=2:3\), podemos decir que,

    \[\overrightarrow{DA}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{DF}=\dfrac{2}{5}(a+b)\]

    Por tanto

    \[\overrightarrow{DA}=\dfrac{2}{5}(a+b)\]

    En el siguiente cuadrilátero GHIJ, el punto K corta al vector \(\overrightarrow{IJ}\) en la proporción \(1:2\).

    Dados: \(\overrightarrow{GH}=a\), \(\overrightarrow{HI}=b\) y \(\overrightarrow{IJ}=c\), halla una expresión para el vector \(\overrightarrow{GK}\).

    Ejemplos de razón fraccionaria, Cuadrilátero GHIJ con punto K, StudySmarter Originals, Jordan Madge

    Fig. 2. Cuadrilátero GHIJ con el punto K.

    Solución:

    En primer lugar, observa que el vector \(\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{HI}=a+b\).

    Ahora bien, K divide el vector \(\overrightarrow{IJ}\) en la proporción \(1:2\), por lo que podemos decir que

    \[\overrightarrow{IK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{3}c\]

    Por tanto

    \[\overrightarrow{GK}=a+b+\dfrac{1}{3}c\]

    Proporción fraccionaria - Puntos clave

    • Una proporción es una forma de comparar dos cantidades.
    • Una fracción nos dice cuánto es algo como proporción de otra cosa.
    • En realidad, fracciones y proporciones significan lo mismo. Sin embargo, las expresamos de forma ligeramente distinta.
    • Si tenemos una razón, podemos convertirla en fracción y si tenemos fracciones que forman un todo, podemos convertirlo en razón.
    • También podemos convertir proporciones en porcentajes.
    • Ser capaz de tratar con proporciones fraccionarias es especialmente útil cuando estudiamos vectores.
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    Preguntas frecuentes sobre Relación fraccionaria
    ¿Qué es la relación fraccionaria en matemáticas?
    La relación fraccionaria es la comparación de dos cantidades a través de una fracción, mostrando la proporción entre ellas.
    ¿Cómo se simplifica una relación fraccionaria?
    Para simplificar una relación fraccionaria, divide el numerador y el denominador por su máximo común divisor (MCD).
    ¿Para qué se usan las relaciones fraccionarias?
    Las relaciones fraccionarias se usan para comparar cantidades, resolver problemas de proporcionalidad y en varias aplicaciones científicas.
    ¿Cómo se convierte una relación fraccionaria en porcentaje?
    Para convertir una relación fraccionaria en porcentaje, divide el numerador por el denominador y multiplica el resultado por 100.

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