Resolviendo desigualdades radicales

Resuelve $2+\sqrt{4x-4}\le 6$

Solución: Para resolver esta desigualdad radical, sigamos todos los pasos.

Paso 1: Primero comprobamos el índice de la desigualdad radical dada. Como no se da ningún valor de índice, el valor de índice es 2.

Paso 2: Como el índice es par, el radicando de la raíz cuadrada será mayor o igual que cero.

$$\begin{gathered} 4x-4\ge 0 \\ \Rightarrow 4x\ge 4 \\ \Rightarrow x\ge 1\left(1\right) \end{gathered}$$

Paso 3: Ahora resolveremos la desigualdad radical algebraicamente y también eliminaremos el símbolo radical para simplificarla. Primero, aislamos el radical.

$2+\sqrt{4x-4}\le 6\Rightarrow \sqrt{4x-4}\le 4$

Ahora, eliminamos el símbolo radical tomando el índice como exponente a ambos lados de la desigualdad.

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{4x-4}\right)}^2\le 4^2 \\ \Rightarrow 4x-4\le 16 \\ \Rightarrow 4x\le 20 \\ \Rightarrow x\le 5\left(2\right) \end{gathered}$$

Aquí tenemos dos desigualdades para el valor de x a partir de la ecuación $\left(1\right)$ y $\left(2\right)$. Así que combinamos ambas y la escribimos como una inecuación compuesta. Así que nuestra respuesta final es :

$1\le x\le 5$

Aquí observa que 1 es el valor del intervalo inferior y 5 es el valor del intervalo superior.

Paso 4: Por último, probaremos algunos valores de x para comprobar nuestra solución y confirmarla. Consideremos $x=0,8$ fuera de nuestro intervalo de x y $x=3$ dentro de nuestro intervalo de x.

Vemos que el valor de x satisface la desigualdad radical. Así que la solución $\mathbf{1}\mathbf{\le }\mathit{x}\mathbf{\le }\mathbf{5}$ verifica y satisface la desigualdad radical dada.

Resuelve $\sqrt{x-5}>3$

Solución:

Paso 1: Consideramos $y=\sqrt{x-5}$ y $y=3$.

Paso 2: Ahora trazamos la gráfica de las dos funciones del paso 1.

Gráfica de la desigualdad radical, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Aquí, la gráfica con la línea roja es de la función $y=\sqrt{x-5}$y la gráfica con la línea verde es de la función $y=3$. Hemos trazado la gráfica de forma que podamos identificar claramente los valores del eje x comprendidos entre 0 y 30. Del mismo modo, podemos observar claramente los valores del eje y.

Paso 3: Ahora, identificamos los valores de x para los que la primera gráfica $y=\sqrt{x-5}$ está por encima de la segunda gráfica $y=3$ya que tenemos un signo de desigualdad mayor que en la ecuación de desigualdad original. También podemos ver que el valor de x interseca ambas gráficas en $x=14$. Esto implica que la primera gráfica está por encima de la segunda para $x>14.$

$\therefore$La solución de esta desigualdad radical es $\mathit{x}\mathbf{>}\mathbf{14}$.

Resuelve $\sqrt[3]{x+2}\ge 1,$ algebraicamente y gráficamente.

Solución: Primero resolvemos utilizando el método algebraico.

Paso 1: Primero comprobamos el índice de la desigualdad radical dada. Aquí es 3.

Paso 2: Como el índice es impar, consideramos: $x+2\ge 1\Rightarrow x\ge -1.$

Paso 3: Ahora resolvemos la desigualdad original. Como la desigualdad dada no tiene otras operaciones, nos saltamos el paso del aislamiento.

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{x+2}\ge 1 \\ \Rightarrow {\left(\sqrt[3]{x+2}\right)}^3\ge 1^3 \\ \Rightarrow x+2\ge 1 \\ \therefore x\ge -1 \end{gathered}$$

Así que los valores de x del paso 2 y del paso 3 son $x\ge -1$.

Paso 4: Ahora comprobamos nuestra solución para confirmarla.

Por lo tanto, se puede ver que la desigualdad radical dada se cumple para los valores$\mathit{x}\mathbf{\ge }\mathbf{-}\mathbf{1}$.

Ahora resolveremos la misma desigualdad radical utilizando el método gráfico.

Paso 1: Consideramos $y=\sqrt[3]{x+2}$ y $y=1.$

Paso 2: trazamos las gráficas de las dos funciones consideradas en el paso 1.

Forma gráfica de la desigualdad radical, Mouli Javia - StudySmarter Originals

En la gráfica anterior, la línea roja representa la función $y=\sqrt[3]{x+2}$ y la línea azul representa la función$y=1$.

Paso 3: Identificamos los valores de x para los que la primera gráfica $y=\sqrt[3]{x+2}$ está por encima de la gráfica $y=1$. Y el valor de x interseca ambas gráficas en $x=-1$. Por tanto, la primera gráfica está por encima de la segunda para los valores $x\ge -1$.

Por tanto, la solución de la desigualdad radical dada es $\mathit{x}\mathbf{\ge }\mathbf{-}\mathbf{1}$.