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Ecuaciones Cuadráticas

Una ecuación cuadrática se define como una ecuación de segundo grado en la que al menos una variable o término está elevado a una potencia de 2 y se escribe en la siguiente forma estándar $a x^{2} + b x + c = 0$ donde y $c$ son todos números reales y $a \neq 0$ .

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Last Updated: 01.01.1970
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Ejemplos de ecuaciones cuadráticas son:

$x^{2} + 2 x - 24 = 0 3 a^{2} - 2 a + 2 = 0 5 p^{2} - p = 0 r^{2} = 200$

¿Cuál es la forma estándar de una ecuación cuadrática?

Como ya se ha dicho, la forma estándar de una ecuación cuadrática es: $a x^{2} + b x + c = 0$

Los valores de $a, b$ y $c$ son todos Números Reales.

Cualquier variable o constante multiplicada por 0 es igual a 0. Por tanto, el valor de $a$ nunca puede ser igual a 0 ( $a \neq 0$ ), ya que esto transformaría la ecuación estándar en una ecuación lineal. Véase más abajo:

$0 x^{2} + b x + c = 0 b x + c = 0$

¿Cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas?

Las ecuaciones cuadráticas se resuelven determinando las raíces de la ecuación. Éstas son sus intersecciones x, donde $y = 0$ es decir, los puntos en los que la gráfica corta al eje x. Encontrar estos puntos puede hacerse de una de las siguientes maneras:

Factorización

Factorizar es determinar qué términos hay que multiplicar para obtener una expresión matemática. La factorización de ecuaciones cuadráticas puede hacerse de las siguientes maneras:

Tomando el máximo común divisor (MCD)

Tomar el máximo común divisor es cuando determinamos el término más alto que divide por igual a todos los demás términos.

$x^{2} + 4 x = 0$

Paso 1: Encuentra el máximo común divisor identificando los números y variables que cada término tiene en común.

$x^{2} = x \cdot x 4 x = 4 \cdot x$

Como podemos ver, la variable que más aparece es x, por lo que nuestro FGC=x.

Paso 2: Escribe cada término como producto del mayor factor común y otro factor, es decir, las dos partes del término. El otro factor se puede determinar dividiendo tu término por tu FGC.

$\frac{x^{2}}{x} = x ∴ x^{2} = x \cdot x \frac{4 x}{x} = 4 ∴ 4 x = x \cdot 4$

Paso 3 : Una vez reescritos tus términos, reescribe tu ecuación cuadrática de la siguiente forma: $a b + a c = 0$

$x^{2} + 4 x = x (x) + x (4) = 0$

Paso 4: Aplica la ley de la propiedad distributiva y factoriza tu mayor factor común.

$x (x) + x (4) = x (x + 4)$

Paso 5 (cómo resolver la ecuación cuadrática): Iguala la ecuación a 0 y resuelve los

intersecciones x.

$x_{1} : x = 0 x_{1} = 0 x_{2} : x + 4 = 0 x_{2} = - 4$

Método del cuadrado perfecto

El método del cuadrado perfecto consiste en transformar un trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ en un binomio cuadrado perfecto ${(a + b)}^{2}$ o $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ en ${(a - b)}^{2}$ .

$x^{2} + 14 x + 49 = 0$ Paso 1: Transforma tu ecuación de la forma estándar $a x^{2} + b x + c = 0$ en un trinomio cuadrado perfecto, $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

x^{2} + 14 x + 49 = x^{2} + 2 (x) (7) + 7^{2}

Paso 2: Transforma el trinomio cuadrado perfecto en un binomio cuadrado perfecto, ,

{(a + b)}^{2}

x^{2} + 2 (x) (7) + 7^{2} = {(x + 7)}^{2}

Paso 3 : Calcula el valor de la intersección x igualando el binomio cuadrado perfecto a 0 y resolviendo para x.

{(x + 7)}^{2} = 0 x + 7 = 0 x = - 7

Agrupación

Agrupar es cuando agrupamos términos que tienen Factores Comunes antes de factorizar. Veamos cómo hacerlo. $2 x^{2} + 11 x + 12$ Paso 1: Enumera los valores de a, b y c.

$a = 2 b = 11 c = 12$

Paso 2: Encuentra los dos números que producen ac y también suman a b.

$a c = 24 b = 11$

1 \times 24 = 24 2 \times 12 = 24 3 \times 8 = 24 3 + 8 = 11

Por tanto, los dos números son 3 y 8, ya que pueden utilizarse para sumar a 11. Los otros Factores de 24 no pueden ordenarse de ninguna manera que los haga iguales a 11.

Paso 3: Utiliza estos Factores para separar el término x (bx) en la expresión/ecuación original. $2 x^{2} + 11 x + 12 = 2 x^{2} + 3 x + 8 x + 12$ Paso 4: Utiliza la agrupación para factorizar la expresión.

(2 x^{2} + 3 x) + (8 x + 12) = x (2 x + 3) + 4 (2 x + 3) = (x + 4) (2 x + 3)

Paso 5 (cómo resolver la ecuación cuadrática): Iguala la expresión factorizada a 0 y resuelve las intersecciones x.

$(x + 4) (2 x + 3) = 0 x_{1} : x + 4 = 0 x = - 4 x_{2} : 2 x + 3 = 0 x = - \frac{3}{2}$

Completar el cuadrado

Completar el cuadrado es cuando cambiamos la forma estándar de la ecuación cuadrática en un cuadrado perfecto con una constante adicional. Esto significa cambiar $a x^{2} + b x + c = 0$ en $a {(x + m)}^{2} + n$ m es un número real y n es una constante. Se calculan de la siguiente manera $m = \frac{b}{2 a}$ y $n = c - (\frac{b^{2}}{4 a})$ .

$x^{2} + 6 x + 7$

Paso 1: Enumera los valores de a, b y c.

a = 1 b = 6 c = 7

Paso2: Calcula el valor de m mediante la siguiente ecuación:

m = \frac{b}{2 a}

m = \frac{6}{2 (1)} = 3

Paso 3 : Calcula el valor de n mediante la siguiente ecuación:

n = c - (\frac{b^{2}}{4 a})

n = 7 - (\frac{6^{2}}{4 (1)}) = 7 - 9 = - 2

Paso 4 : Sustituye tus valores calculados y el valor de a en la siguiente ecuación:

a {(x + m)}^{2} + n

1 {(x + 3)}^{2} - 2 = {(x + 3)}^{2} - 2

El resto de los pasos siguientes nos indican cómo resolveríamos nuestras intersecciones x. Paso5: Iguala tu ecuación a 0.

{(x + 3)}^{2} - 2 = 0 {(x + 3)}^{2} = 2 \sqrt{{(x + 3)}^{2}} = \pm \sqrt{2} x + 3 = \pm \sqrt{2} x_{1} = \sqrt{2} - 3 = - 1.59 x_{2} = - \sqrt{2} - 3 = - 4.41

Fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática es una fórmula que utiliza los coeficientes y las constantes de una ecuación cuadrática para resolver la ecuación determinando sus intersecciones x/raíces. Incluye $\pm$ que indica que hay dos soluciones. La fórmula cuadrática es: $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

El discriminante de una fórmula cuadrática es: $b^{2} - 4 a c$ que puede indicarnos cuántas soluciones tiene la ecuación. Véase más abajo:

Un discriminante positivo significa que la ecuación cuadrática tiene dos soluciones diferentes de números reales.
Un discriminante negativo significa que ninguna de las soluciones es un número real.
Los números reales son números que pueden identificarse en una línea de tiempo. Por ejemplo, el infinito no es un número real porque no tiene un tamaño medible y, por tanto, no puede identificarse en una recta numérica.
Un discriminante igual a 0 significa que la ecuación cuadrática tiene una solución de números reales repetida.

Utilizamos el siguiente símbolo para representar el discriminante: $∆$

Ecuaciones cuadráticas Ejemplos de parábola en función del discriminante StudySmarter Representación de cómo se dibuja una parábola en función del discriminante, Nicole Moyo-StudySmarter Originals

Los siguientes pasos nos mostrarán cómo resolver una ecuación cuadrática utilizando la fórmula cuadrática:

$3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ Paso 1: Enumera los valores de a, b y c.

$a = 3 b = - 4 c = - 2$

Paso2 : Calcula el valor del discriminante.

$∆ = {(- 4)}^{2} - 4 (3) (- 2) = 40$ Paso3 : Sustituye los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y resuelve ambas raíces/soluciones.

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- (- 4) + \sqrt{40}}{2 (3)} = \frac{2 + \sqrt{10}}{3} = 1.72 x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- (- 4) - \sqrt{40}}{2 (3)} = \frac{2 - \sqrt{10}}{3} = - 0.39$

Utilizar una calculadora

Se puede utilizar una calculadora para resolver ecuaciones cuadráticas, pero el método difiere ligeramente según el tipo de calculadora que utilices. Los pasos siguientes muestran cómo resolver ecuaciones cuadráticas utilizando una calculadora Casio Modelo Es:

Paso 1: Escribe los valores de a, b y c, de tu ecuación cuadrática.

Paso 2: Selecciona Modo y 5 para abrir el modo de cálculo de ecuaciones.

Paso3: Selecciona 3 para entrar en el modo de resolución de ecuaciones cuadráticas.

Paso4: Introduce los valores de a, b y c y pulsa = para resolver la ecuación cuadrática.

¿Qué aspecto tienen las gráficas de ecuaciones cuadráticas?

Las gráficas de ecuaciones cuadráticas son curvas en forma de U, llamadas parábolas. La ecuación de las parábolas se expresa comúnmente como: $y = a x^{2} + b x + c$ . Por ejemplo: $y = 3 x^{2} - 6 x + 5$

Las partes de una gráfica de ecuación cuadrática son:

Eje de simetría: $x = - \frac{b}{2 a}$
Vértice: se calcula sustituyendo el eje de simetría en la ecuación original.
Punto mínimo o máximo: El punto mínimo es el punto más bajo del vértice y el punto máximo es el punto más alto del vértice.
Intercepto Y: se calcula haciendo que x=0, en la ecuación original.
Intercepto X: Se calculan haciendo y=0, en la ecuación original.

Ecuaciones cuadráticas Parábola etiquetada StudySmarter Ilustración de una parábola de ecuación cuadrática, Nicole Moyo -StudySmarter Originals

Sigamos los pasos que se indican a continuación, para saber más sobre cómo se esboza una parábola:

$y = x^{2} - 4 x + 3$

Paso 1 : Resuelve el eje de simetría utilizando esta ecuación: $x = - \frac{b}{2 a}$

$x = \frac{- (- 4)}{2 (1)} = 2$

Paso 2: Sustituye el valor de tu eje de simetría en tu ecuación original para determinar tu vértice (el punto de inflexión de la gráfica).

$y = 2^{2} - 4 (2) + 3 = - 1$

Paso3 : Encuentra tu intersección y haciendo que x=0.

$y = {(0)}^{2} - 4 (0) + 3 = 3$

Paso 4: Encuentra tus intersecciones x, si las hay, haciendo y=0.

0 = x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3) x_{1} = 1 x_{2} = 3

Paso5: Enumera y traza todos los puntos calculados. Vértice: (2,-1) Intercepto Y: (0,3) Interceptos X: (1,0) (3,0)

Ecuaciones cuadráticas Parábola Gráfica Solución StudySmarter

Gráfica solución de parábola, Nicole Moyo-Estudia Smarter Originals

Ecuaciones cuadráticas - Puntos clave

Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado.
La forma estándar de una ecuación cuadrática es: $a x^{2} + b x + c = 0$ , donde $a \neq 0$ .
Las ecuaciones cuadráticas se resuelven factorizando, completando el cuadrado, utilizando la fórmula cuadrática y usando una calculadora.
Las gráficas de ecuaciones cuadráticas se llaman parábolas y son curvas en forma de U.
Las partes de una parábola son el eje de simetría, el vértice, el punto mínimo o máximo, la intersección y y las intersecciones x.

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Preguntas frecuentes sobre Ecuaciones Cuadráticas

¿Qué es una ecuación cuadrática?

Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de segundo grado, de la forma ax^2 + bx + c = 0.

¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática?

Se resuelve usando la fórmula cuadrática: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

¿Qué es el discriminante de una ecuación cuadrática?

El discriminante es la parte b^2 - 4ac de la fórmula cuadrática y determina el tipo de raíces.

¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación cuadrática?

Una ecuación cuadrática puede tener dos, una o ninguna solución real, dependiendo del valor del discriminante.

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