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Triángulo rectángulo utilizado para la base del teorema de Pitágoras
La primera identidad pitagórica
La primera identidad pitagórica es \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\). Se puede deducir utilizando el teorema de Pitágoras y el círculo unitario.
Círculo unitario que muestra la derivación de la primera identidad pitagórica
Sabemos que \ ( a^2 + b^2 = c^2\) por lo que \ ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\).
La segunda identidad pitagórica
La segunda identidad pitagórica es \( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \). Se obtiene tomando la primera identidad pitagórica y dividiéndola por \(\cos^2\theta\):
\[ \frac{sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{cos^2\theta} {\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} .\]
Recuerda que
\frac{{sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta \mbox{ y } \frac{1}{cos\theta} = \sec\theta.\]
Simplificando esta expresión obtenemos \ ( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \).
La tercera identidad pitagórica
La tercera identidad pitagórica es \( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\). Se obtiene tomando la primera identidad pitagórica y dividiéndola por \(\sin^2\theta\):
\[ \frac{sin^2\theta} {\sin^2\theta} + \frac{cos^2\theta} {\sin^2\theta} = \frac{1}{sin^2\theta} .\]
Recuerda que
\frac{cos\theta}{sin\theta} = \cot\theta \mbox{ y } \frac{1}{sin\theta} =\csc\theta.\]
Ahora podemos simplificar esta expresión a \ ( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\).
Cómo utilizar las identidades pitagóricas
A continuación veremos tres ejemplos de utilización de cada una de las identidades pitagóricas para responder a preguntas.
Simplifica \(\sin x \cos^2 x = \sin x -1\) y halla el valor de \(x\): \(0 ＜ x ＜ 2\pi\).
Para ello, necesitaremos utilizar la primera identidad pitagórica: \ ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) y reordénala:
\[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x .\]
Ahora podemos sustituir \(1 - \sin^2 x \) en la expresión:
\[ \sin x \cos^2 x = \sin x(1 - \sin^2 x ).\]
Simplificando esto y poniéndolo igual al lado derecho, obtenemos
\[ \sin x - \sin^3 x = \sin x -1 \]
o
\[-\sin^3 x = -1. \]
Por tanto, \( \sin x = 1 \) y \(x = \frac{\pi}{2}\).
Si \(\cos x = 0,78\), ¿cuál es el valor de \(\tan x\)?
Para ello, tenemos que utilizar el hecho de que \( \tan^2x + 1 = \sec^2x \). También sabemos que
\[\sec x = \frac{1}{\cos x}].
por tanto
\[ \sec x = \frac{1}{0,78} = 1,282 .\]
Ahora podemos sustituir este valor en la ecuación y hallar \( \tan x\):
\[ \tan^2 x + 1 = (1,282)^2 \]
así que
\tan^2 x = (1,282)^2 -1 \]
y \( \tan x = 0,802\).
Resuelve \(x\) entre \(0^\circ\) y \(180^\circ\):
\[ \cot^2 (2x)+ \csc (2x) - 1 = 0.\]
En este caso, tenemos que utilizar la tercera identidad pitagórica, \ ( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\).
Si reordenamos esta identidad, obtenemos \( \cot^2\theta = \csc^2\theta - 1\). En este caso \(\theta = 2x\\) y podemos introducir esta identidad reordenada en nuestra ecuación:
\[ \left( \csc^2(2x) - 1 \right) + \csc 2x - 1 = 0 \].
así que
\[ \csc^2 2x + \csc 2x - 2 = 0.\]
Podemos tratar esto como una cuadrática que podemos factorizar en
\[(\csc 2x + 2)(\csc 2x - 1) = 0.\]
Ahora podemos resolverlo y obtener \( \csc 2x = -2\) o \ ( \csc 2x = 1\), así que \( \sin 2x = -\frac{1}{2}\) o \(\sin x = 1\). Por tanto, \(2x = 210^circ), \(330^circ), \(90^circ). y \(x = 45^circ), \(105^circ), \(165^circ).
Identidades pitagóricas - Puntos clave
La primera identidad pitagórica es \ ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\).
La segunda identidad pitagórica es \ ( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \).
La tercera identidad pitagórica es \ ( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\).
La primera identidad se deriva del teorema de Pitágoras \( a^2 + b^2 = c^2\) y del círculo unitario.
La segunda y tercera identidades se derivan de la primera identidad.
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