Simplificación de fracciones

La fracción $\frac{8}{11}$ está en su forma más simple.

De hecho, los factores de 8 son 1, 2, 4 y 8, y los factores de 11 son 1 y 11.

Vemos que 1 es el mayor (y único) factor del numerador y del denominador.

Por tanto,$\frac{8}{11}$ está efectivamente en su forma más simple.

Sin embargo, la fracción $\frac{20}{88}$ no está en su forma más simple.

De hecho, los factores de 20 son 1,2,4,5,10 y 20, y los factores de 88 son 1,2,4,22,44 y 88. Observamos que hay dos factores comunes entre 20 y 88 que son 2 y 4. Por tanto, deducimos que nuestra fracción no está en su forma más simple y, por tanto, puede simplificarse aún más.

Lo veremos en detalle más adelante en el artículo.

Simplifica $\frac{45}{144}$.

Solución

Método 1. Utilizar la división repetida para simplificar fracciones.

Los factores de 45 son 1,3,5,9, 15 y 45.

Los factores de 144 son: 1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,36,48,72 y 144.

Observamos que el menor número primo que es factor común del numerador y el denominador es 3. Por tanto, dividimos el numerador y el denominador por 3 para obtener

$\frac{45}{144}=\frac{3\times 15}{3\times 48}=\frac{15}{48}$

15 y 48 son ambos divisibles por 3, así que dividiendo por 3 obtenemos

$\frac{15}{48}=\frac{3\times 5}{3\times 16}=\frac{5}{16}$

No hay más factores primos comunes entre el numerador 5 y el denominador 16.

Por tanto, $\frac{5}{16}$ es la forma más sencilla de la expresión.

Método 2. Utilizando el máximo común divisor del numerador y el denominador.

El máximo común divisor de 45 y 144 es 9.

Dividimos tanto el numerador como el denominador por 9 para obtener

$\frac{45}{144}=\frac{9\times 5}{9\times 16}=\frac{5}{16}$.

Simplifica $\frac{48}{216}$

Solución

Utiliza la división repetida para simplificar fracciones.

Primero observamos que tanto el numerador 48 como el denominador 216 son números pares, por lo que ambos son divisibles por 2,

$\frac{48}{216}=\frac{2\times 24}{2\times 108}$

Dividimos por 2 para obtener

$\frac{48}{216}=\frac{\cancel{2}\times 24}{\cancel{2}\times 108}=\frac{24}{108}$

Lo mismo ocurre con 24 y 108, ambos números son pares, por lo que son dividibles por 2,

$\frac{24}{108}=\frac{2\times 12}{2\times 54}$

Dividimos por 2 para obtener

$\frac{24}{108}=\frac{\cancel{2}\times 12}{\cancel{2}\times 54}=\frac{12}{54}$

12 y 54 son ambos números pares, por lo que también son divisibles por 2, así que tenemos

$\frac{12}{54}=\frac{2\times 6}{2\times 27}$

Dividimos por 2 para obtener,

$\frac{12}{54}=\frac{\cancel{2}\times 6}{\cancel{2}\times 27}=\frac{6}{27}$

Ahora 6 y 27 tienen 3 como mínimo factor primo común. Dividiendo por 3, obtenemos

$\frac{6}{27}=\frac{2\times 3}{3\times 9}$

Dividiendo por 3, obtenemos

$\frac{6}{27}=\frac{\cancel{3}\times 2}{\cancel{3}\times 9}=\frac{2}{9}$

No hay más factores primos comunes entre el numerador 2 y el denominador 9.

Así que $\frac{2}{9}$ es la fracción expresada en su forma más simple.

Método 2. Utilizando el máximo común divisor del numerador y el denominador.

Los factores de 48 son: 1,2,4,6,24 y 48.

Los factores de 216 son: 1,2,3,4,6,8,9, 12, 18, 24,27,36,54, 72, 108 y 216.

Por tanto, el máximo común divisor de 48 y 216 es 24.

De hecho, dividiendo tanto el numerador como el denominador por 24, obtenemos

$\frac{48}{216}=\frac{2\times 24}{9\times 24}=\frac{2}{9}$

Simplifica $\frac{240}{90}$

Solución

Método 1. Utilizar la división repetida para simplificar fracciones.

Primero observamos que tanto 240 como 90 son divisibles por 10, por lo que dividiendo por 10 obtenemos,

$\frac{240}{90}=\frac{24\times 10}{9\times 10}=\frac{24}{9}$

Ahora 24 y 9 son ambos divisibles por 3, por lo que dividiendo por 3 obtenemos

$\frac{24}{9}=\frac{3\times 8}{3\times 3}=\frac{8}{3}$

A continuación, 8 y 3 no tienen ningún factor común, por lo que $\frac{8}{3}$es la forma más simple de la fracción dada.

Método 2. Utilizando el máximo común divisor del numerador y el denominador.

Los factores de 240 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120 y 240.

Los factores de 90 son: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 y 90.

Observamos que el máximo común divisor de 240 y 90 es 30.

Dividiendo el numerador y el denominador por 30, obtenemos

$\frac{240}{90}=\frac{8\times 30}{3\times 30}=\frac{8}{3}$.

Simplifica $3\frac{10}{15}$

Solución

En primer lugar, debemos convertir $3\frac{10}{15}$ en una fracción impropia. Podemos hacerlo escribiendo la parte entera de la fracción mixta como una fracción con el mismo denominador que la parte fraccionaria.

$3\frac{10}{15}=\frac{3\times 15}{15}+\frac{10}{15}=\frac{45}{15}+\frac{10}{15}=\frac{55}{15}$

El último paso es simplificar la fracción impropia utilizando el método de la división repetida o el del máximo común divisor. Utilizando cualquiera de estos métodos, encontramos que la fracción simplificada es $\frac{11}{3}.$

Simplifica $4\frac{32}{60}$

Solución

En primer lugar, debemos convertir $4\frac{32}{60}$ en una fracción impropia. Para ello, podemos volver a expresar la parte entera de la fracción mixta como una fracción con el mismo denominador que la parte fraccionaria.

$4\frac{32}{60}=\frac{4\times 60}{60}+\frac{32}{60}=\frac{240}{60}+\frac{32}{60}=\frac{272}{60}$

De nuevo, el paso final es simplificar la fracción impropia utilizando el método de la división repetida o el del máximo común divisor. Utilizando cualquiera de estos métodos, encontramos que la fracción simplificada es $\frac{68}{15}$.

Por tanto,

$4\frac{32}{60}=\frac{68}{15}$

Simplifica $12\frac{12}{30}$

En primer lugar, convertimos $12\frac{12}{30}$ en una fracción impropia. Lo hacemos expresando la parte entera de la fracción mixta como una fracción con el mismo denominador que la parte fraccionaria.

$12\frac{12}{30}=\frac{12\times 30}{30}+\frac{12}{30}=\frac{360}{30}+\frac{12}{30}=\frac{372}{30}$

Por último, simplificamos la fracción impropia con el método del divisor repetido o con el método del máximo común divisor. Utilizando cualquiera de estos métodos encontramos que la fracción simplificada es $\frac{62}{5}$.

Por tanto,

$12\frac{12}{30}=\frac{62}{5}$

Simplifica $\frac{2^8{3}^2{7}^5{11}^2}{2^5{3}^2{5}^5{11}^3}$.

Solución

Como se ha dicho antes en el artículo, al simplificar fracciones con exponentes en el numerador y el denominador, utilizamos el método del máximo común divisor.

Al tener la misma base, el menor exponente es el factor común a considerar.

Por tanto, el máximo común divisor de $2^8{3}^2{7}^5{11}^2$ y $2^5{3}^2{5}^5{11}^3$ es $2^5{3}^2{11}^2$.

A continuación, dividiendo el numerador y el denominador por el MCD, obtenemos

$\frac{2^8{3}^2{7}^5{11}^2}{2^5{3}^2{5}^5{11}^3}=\frac{\frac{2^8{3}^2{7}^5{11}^2}{2^5{3}^2{11}^2}}{\frac{2^5{3}^2{5}^5{11}^3}{2^5{3}^2{11}^2}}=\frac{2^3{7}^5}{5^5{11}^1}=\frac{2^3{7}^5}{5^{5}11}$

Así pues, la forma más simple de la fracción dada es

$\frac{2^3{7}^5}{5^{5}11}$.

Simplifica $\frac{3^4{5}^2{8}^4{9}^8}{3^2{8}^{2}5}$

Solución

El máximo común divisor del numerador y el denominador es $3^2{8}^{2}5$. Dividiendo el numerador y el denominador por el máximo común divisor se obtiene

$3^2{8}^2{9}^{8}5$

Simplifica $\frac{4^{15}{3}^4{10}^3{5}^4}{4^{12}{3}^2{10}^2{9}^3}$

Solución

En este caso, el máximo común divisor del numerador y el denominador es $4^{12}{3}^2{10}^2$. Dividiendo el numerador y el denominador por el máximo común divisor se obtiene

$\frac{4^3{3}^2{5}^{4}10}{9^3}$

Simplificar $\frac{12b^5{c}^2}{30a{b}^{3}c}$

Solución

Como se ha dicho antes en el artículo, al simplificar fracciones con variables en el numerador y el denominador, utilizamos el método del máximo común divisor.

Al tener la misma base, el menor exponente es el factor común a considerar.

Por tanto, el máximo común divisor de $12{\mathrm{b}}^5{\mathrm{c}}^2$ y $30{\mathrm{ab}}^3\mathrm{c}$ es $6{\mathrm{b}}^3\mathrm{c}$.

A continuación, dividiendo el numerador y el denominador por $6{\mathrm{b}}^3\mathrm{c}$obtenemos

$\frac{12b^5{c}^2}{30a{b}^{3}c}=\frac{\frac{12b^5{c}^2}{6b^{3}c}}{\frac{30a{b}^{3}c}{6b^{3}c}}=\frac{2b^{2}c}{5a}$

Por tanto, la forma más simple de la fracción dada es

$\frac{2b^{2}c}{5a}$

Simplifica $\frac{14a^{3}b}{21ac}$

Solución

Como se ha dicho antes en el artículo, al simplificar fracciones con variables en el numerador y el denominador, utilizamos el método del máximo común divisor.

Al tener la misma base, el menor exponente es el factor común a considerar.

Por tanto, el MCD de$14{\mathrm{a}}^3\mathrm{b}$y $21\mathrm{ac}$ es $7a$.

A continuación, dividiendo el numerador y el denominador por $7a$ obtenemos

$\frac{14a^{3}b}{21ac}=\frac{\frac{14a^{3}b}{7a}}{\frac{21ac}{7a}}=\frac{2a^{2}b}{3c}$

Por tanto, la forma más simple de la fracción dada es,

$\frac{2a^{2}b}{3c}$

Simplifica $\frac{49x^2{y}^3}{35y^2{z}^2}$

Solución

Como se ha dicho antes en el artículo, al simplificar fracciones con variables en el numerador y el denominador, utilizamos el método del máximo común divisor.

Al tener la misma base, el menor exponente es el factor común a considerar.

Por tanto, el máximo común divisor de $49{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^3$y $35{\mathrm{y}}^2{\mathrm{z}}^2$es $7{\mathrm{y}}^2.$

Dividiendo el numerador y el denominador por el MCD, obtenemos

$\frac{49x^2{y}^3}{35y^2{z}^2}=\frac{\frac{49x^2{y}^3}{7y^2}}{\frac{35y^2{z}^2}{7y^2}}=\frac{7x^{2}y}{5z^2}$

Por tanto, la forma más simple de la fracción dada es,

$\frac{7x^{2}y}{5z^2}$