Fórmulas de Suma y Diferencia de Ángulos

En una clase de trigonometría, nuestro profesor de Matemáticas dijo que la suma de 30° y 40° daría 70°, pero que la suma de sin30°y sin40° no daría sin70°, y eso causó cierto revuelo en la clase. ¿Cómo se suman y restan entonces los senos o cosenos de los ángulos? A continuación se explicará todo lo que necesitas saber sobre estas operaciones.

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    ¿Qué son las fórmulas de suma y diferencia de ángulos en trigonometría?

    Las fórmulas de suma y diferencia de ángulos son ecuaciones que se utilizan para realizar sumas y restas de identidades trigonométricas.

    A diferencia de las operaciones aritméticas normales, la suma y la resta de funciones trigonométricas tienen un planteamiento diferente. Por ejemplo, cos (45° -15°) no es lo mismo que cos45° - cos15°. Cuando las funciones trigonométricas intervienen en estas operaciones aritméticas, el reto es mayor. Así que hay que derivar fórmulas para llevar a cabo para resolver este problema.

    Conocer las funciones trigonométricas de ángulos especiales, como senos, cosenos y tangentes de 30, 45, 60 y 90 grados, significa que la suma o resta de estos ángulos puede dar otros ángulos. Por ejemplo, se puede derivar sen15°, ya que sen15° es lo mismo que sen(45-30)° . A continuación, deduciremos fórmulas para resolver estas operaciones.

    Demostración de la suma y la diferencia de funciones coseno

    Diferencia de funciones coseno

    Considera la siguiente figura:

    Fórmulas de suma y diferencia de ángulos, Figura 1: Imagen que muestra el uso de la posición estándar de un círculo unitario para demostrar la diferencia de funciones coseno, StudySmarter

    Figura 1: Una imagen que muestra el uso de la posición estándar de un círculo unitario para demostrar la diferencia de funciones coseno, - StudySmarter Originals

    La figura anterior está tomada desde la posición estándar de un círculo unitario. Si a es el ángulo ∠PON y b es el ángulo ∠QON, entonces el ángulo ∠POQ es (a - b) . Por tanto cosa es la componente horizontal del punto P ysinaes su componente vertical. Mientras quecosbes la componente horizontal del punto Q y sinb es su componente vertical. Así pues, para hallar la distancia PQ, utilizaremos la fórmula de la distancia entre dos puntos.

    d=(x2-x1)2+(y2-y1)2

    Donde en el punto P, (x2,y2) es(cosa, sina) y en el punto Q(x1,y1) es(cosb, sinb). Por tanto,

    PQ=(cosa-cosb)2+(sina-sinb)2PQ2=(cosa-cosb)2+(sina-sinb)2PQ2=cos2a-2cosacosb+cos2b+sin2a-2sinasinb+sin2b

    Reorganiza la ecuación

    PQ2=cos2a+sin2a+cos2b+sin2b-2cosacosb-2sinasinb

    Recuerda:

    cos2θ+sin2θ=1; so, cos2a+sin2a=1 and sin2b+cos2b=1

    Entonces:

    PQ2=1+1-2cosacosb-2sinasinbPQ2=2-2cosacosb-2sinasinb

    Si el ángulo ( a-b) se replanteara en la posición estándar de una circunferencia unitaria desde el origen O hasta el punto S de la figura siguiente

    Fórmulas de suma y diferencia de ángulos, Figura 2: Una imagen del ángulo (a-b) replanteado, StudySmarterFigura 2: Una imagen del ángulo (a-b) replanteado, - StudySmarter Originals

    Entonces, la distancia SN de la figura 2 (que es igual a la distancia PQ de la figura 1) puede deducirse con respecto al ángulo ( a-b) y los puntos correspondientes en S (cos (a-b), sin(a-b) ) y N (1 , 0).

    Utilizando

    d=(x2-x1)2+(y2-y1)2

    Donde el punto S es (x2,y2) y N es (x1,y1)entonces

    SN=(cos(a-b)-1)2+(sin(a-b)-0)2SN2=(cos(a-b)-1)2+(sin(a-b)-0)2SN2=cos2(a-b)-2cos(a-b)+1+sin2(a-b)

    Reordena y une términos semejantes

    SN2=cos2(a-b)+sin2(a-b)-2cos(a-b)+1

    Recuerda que

    cos2θ+sin2θ=1; so, cos2(a-b)+sin2(a-b)=1

    entonces

    SN2=1-2cos(a-b)+1SN2=2-2cos(a-b)

    Recuerda que

    PQ=SN

    entonces

    PQ2=SN2

    Así

    2-2 cos(a-b)=2-2cosacosb-2sinasinb

    Resuelve el álgebra restando 2 a ambos lados de la ecuación

    -2 cos(a-b)=-2cosacosb-2sinasinb

    Divide ambos lados por -2 en ambos lados

    cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

    Suma de funciones coseno

    cos(a + b)=cos(a-(-b))

    Por tanto, sustituye el valor de b por -b en la ecuación.

    Ten en cuenta que

    cos(-b)=cosb

    y

    sin(-b)=-sinb

    por lo tanto

    cos(a+b)=cosacos(-b)+sinasin(-b)cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

    Probar la suma y la diferencia de las funciones seno

    Suma de funciones seno

    Dibuja un triángulo rectángulo ABC como se muestra a continuación.

    Fórmulas de suma y diferencia de ángulos, Una imagen de un triángulo rectángulo, StudySmarterUna imagen de un triángulo rectángulo, - StudySmarter Originals

    Dibuja otra recta que corte a A y toque a la recta BC en D, de forma que el ángulo BAD sea β y el ángulo DAC sea α, como se ve a continuación.

    Fórmulas de Suma y Diferencia de Ángulos, Una imagen que demuestra la suma del seno de los ángulos, StudySmarter

    Dibuja una recta perpendicular al punto D que toque a la recta AB en E como se ve abajo.

    Fórmulas de Suma y Diferencia de Ángulos, Una imagen que demuestra la suma del seno de los ángulos, StudySmarter

    Dibuja una recta desde el punto E que sea perpendicular a la recta AC, que corte a la recta AD en F y se encuentre con la recta AC en G, como se ve abajo.

    Fórmulas de Suma y Diferencia de Ángulos, Una imagen que demuestra la suma del seno de los ángulos, StudySmarter

    Dibuja una recta desde el punto D hasta el punto H de la recta EG que sea perpendicular a la recta EG, como se ve a continuación.

    Fórmulas de Suma y Diferencia de Ángulos, Una imagen que demuestra la suma del seno de los ángulos, StudySmarter

    Ten en cuenta que, en lo sucesivo, para cada paso deberás referirte a la figura anterior.

    Por lo tanto

    Utilizando SOHCAHTOA

    sin(α+β)=EGAE

    Observa que la línea EG = EH + HG, por tanto

    sin(α+β)=EH+HGAEsin(α+β)=EHAE+HGAE

    Recuerda

    HG=DC

    las rectas HG y DC son paralelas e iguales.

    Por tanto

    sin(α+β)=EHAE+DCAE

    Observa que

    DAC=FDH

    Son ángulos alternos porque las rectas HD y AC son paralelas y está siendo cortada por la recta AD.

    Nota

    Fórmulas de Suma y Diferencia de Ángulos, Una imagen que demuestra la suma del seno de los ángulos, StudySmarter

    DAC =FDH=α

    Recuerda que la recta AD es perpendicular a la recta ED. Por lo tanto

    HDE=90°-α

    Sabiendo que

    EHD=90°

    por tanto

    HED+90°+90°-α=180°

    la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°.

    HED+180°-180°=α

    HED=α

    Observando sus ángulos, significa que los triángulos ADC y EDH son semejantes. ver a continuación

    Fórmulas de Suma y Diferencia de Ángulos Una imagen que demuestra la suma del seno de los ángulos, StudySmarterUna imagen que demuestra la suma del seno de los ángulos, StudySmarter Originals

    Del triángulo rectángulo EDH

    cosα=EHEDEH=ED cosα

    Recuerda que

    sin(α+β)=EHAE+DCAE

    Sustituye el valor de EH

    sin(α+β)=EDcosαAE+DCAEsin(α+β)=(EDAE×cosα)+DCAE

    Mientras tanto, a partir del triángulo rectángulo AED, utilizando SOHCAHTOA

    sinβ=EDAE

    Sustituye el valor de EDAE en la ecuación

    sin(α+β)=sinβcosα+DCAE

    A partir del triángulo rectángulo ADC, utilizando SOHCAHTOA

    sinα=DCADDC=ADsinα

    Sustituye el valor de DC en la ecuación

    sin(α+β)=sinβcosα+ADsinαAE

    Observando el triángulo rectángulo AED y utilizando SOHCAHTOA

    cosβ=ADAE

    Sustituye el valor deADAE en la ecuación

    sin(α+β)=sinβcosα+cosβsinαsin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα

    Diferencia de sus funciones

    Sabiendo que

    sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα

    Por tanto, sin(α-β) puede deducirse cambiando β por -β en toda la ecuación.

    Por lo tanto

    sin(α-β)=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα

    Ten en cuenta que

    cos(-β)=cosβ

    y

    sin(-β)=-sinβ

    por lo tanto

    sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα

    Demostración de la suma y la diferencia de funciones tangentes

    Suma de funciones tangentes

    Recuerda que

    tan=sincos

    Por tanto

    tan(A+B)=sin(A+B)cos(A+B)

    Por tanto

    tan(A+B)=sinAcosB+sinBcosAcosAcosB-sinAsinB

    Divide cada entidad del lado derecho de la ecuación por cosAcosB

    tan(A+B)=sinAcosBcosAcosB+sinBcosAcosAcosBcosAcosBcosAcosB-sinAsinBcosAcosBtan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB

    Diferencia de funciones tangentes

    Recuerda que

    tan=sincos

    Por tanto

    tan(A-B)=sin(A-B)cos(A-B)

    Así

    tan(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcosAcosB+sinAsinB

    Divide cada entidad del lado derecho de la ecuación por cosAcosB

    tan(A-B)=sinAcosBcosAcosB-sinBcosAcosAcosBcosAcosBcosAcosB+sinAsinBcosAcosBtan(A-B)=tanA-tanB1+tanAtanB

    Aplicación de la suma y la diferencia de fórmulas

    A continuación verás cómo aplicar las fórmulas de suma y diferencia.

    Halla el valor de cos15

    Solución:

    El primer paso es encontrar la mejor combinación posible de ángulos especiales que dé como resultado ese ángulo. En este caso, 15° se puede obtener restando 30° a 45°.

    Por lo tanto

    cos15°=cos(45°-30°) cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°

    recuerda

    cos30°=32, sin30°=12, cos45°=sin45°= 22

    Por lo tanto

    cos(45°-30°)=(22×32)+(22×12)cos(45°-30°)=64+24 cos(45°-30°)=6+24

    Factorizar más

    id="5119897" role="matemáticas" cos(45°-30°)=2(3+1)4

    Así

    id="5119898" role="matemáticas" cos15°=2(3+1)4

    Demuéstralo:

    sin210°=-12

    Solución:

    sin210°=sin(180°+30°)

    sabiendo que

    sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα

    Por lo tanto

    sin(180°+30°)=sin180°cos30° +sin30°cos180°

    Observa que

    sin180°=0, cos180°=-1, sin30°=12, cos30°=32:

    Por tanto,

    sin(180°+30°)=(0×32) +(12×-1)sin(180°+30°)=-12

    Por tanto

    sin210°=sin(180°+30°)=-12

    Si un hombre sale de un punto P hacia un punto R que está a 20 km al Este de P, entonces, camina hasta un punto S situado al Norte de R. Halla la distancia de R a S si S está a 75 grados al Noreste de P sin utilizar calculadoras ni tablas matemáticas.

    Solución:

    Fórmulas de Suma y Diferencia de Ángulos, Ejemplo de imagen que demuestra la suma de senos de ángulos, StudySmarter

    Nos piden que calculemos la distancia RS. Utilizando SOHCAHTOA

    tan15°=RS20RS=20tan15° tan15°=tan(45°-30°)

    Observa que

    tan(A-B)=tanA-tanB1+tanAtanB

    Por lo tanto

    tan(45°-30°)=tan45°-tan30°1+tan45°tan30°

    Donde

    tan45°=1

    y

    tan30°=33

    Entonces

    tan(45°-30°)=1-331+(1×33)tan(45°-30°)=1-331+33

    Multiplica el numerador y el denominador por 1-33

    tan(45°-30°)=(1-33)×(1-33)(1+33)×(1-33)tan(45°-30°)=1-233+131-13tan(45°-30°)=43-23323tan(45°-30°)=4-23323tan(45°-30°)=2(2-3)323tan(45°-30°)=2(2-3)3×32tan(45°-30°)=2-3tan15°=tan(45°-30°)=2-3

    Por tanto

    RS=20tan15° RS=20×(2-3) km

    Fórmulas de suma y diferencia de ángulos - Puntos clave

    • La suma y la diferencia de las funciones trigonométricas no se calculan mediante un planteamiento aritmético directo.
    • La fórmula de la suma y la diferencia del seno essin(α±β)=sinαcosβ±sinβcosα
    • La fórmula de la suma y la diferencia del coseno escos(a±b)=cosacosbsinasinb
    • La fórmula de la suma y la diferencia de la tangente estan(A±B)=tanA±tanB1tanAtanB

    Preguntas frecuentes sobre Fórmulas de Suma y Diferencia de Ángulos
    ¿Qué son las fórmulas de suma y diferencia de ángulos?
    Las fórmulas de suma y diferencia de ángulos son ecuaciones trigonométricas que permiten calcular el seno, coseno y tangente de la suma o resta de dos ángulos.
    ¿Cuál es la fórmula de la suma de ángulos en trigonometría?
    La fórmula de la suma de ángulos para el seno es: sen(A + B) = senA cosB + cosA senB.
    ¿Cómo se deducen las fórmulas de diferencia de ángulos?
    Se deducen usando identidades trigonométricas y relaciones entre las funciones seno, coseno y tangente para ángulos complementarios y suplementarios.
    ¿Para qué sirven las fórmulas de suma y diferencia de ángulos?
    Sirven para simplificar cálculos en trigonometría, resolver ecuaciones trigonométricas y analizar funciones periódicas.

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