Fórmulas de Suma y Diferencia de Ángulos

Demostración de la suma y la diferencia de funciones coseno

Diferencia de funciones coseno

Considera la siguiente figura:

Figura 1: Una imagen que muestra el uso de la posición estándar de un círculo unitario para demostrar la diferencia de funciones coseno, - StudySmarter Originals

La figura anterior está tomada desde la posición estándar de un círculo unitario. Si a es el ángulo ∠PON y b es el ángulo ∠QON, entonces el ángulo ∠POQ es (a - b) . Por tanto $\cos a$ es la componente horizontal del punto P y$\sin a$es su componente vertical. Mientras que$\cos b$es la componente horizontal del punto Q y $\sin b$ es su componente vertical. Así pues, para hallar la distancia PQ, utilizaremos la fórmula de la distancia entre dos puntos.

$d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

Donde en el punto P, $(x_2,y_2)$ es$(\cos a,\sin a)$ y en el punto Q$(x_1,y_1)$ es$(\cos b,\sin b)$. Por tanto,

$$\begin{gathered} PQ=\sqrt{(cosa-cosb{)}^2+(sina-sinb{)}^2} \\ P{Q}^2=(cosa-cosb{)}^2+(sina-sinb{)}^2 \\ P{Q}^2=co{s}^{2}a-2cosacosb+co{s}^{2}b+si{n}^{2}a-2sinasinb+si{n}^{2}b \end{gathered}$$

Reorganiza la ecuación

$P{Q}^2=co{s}^{2}a+si{n}^{2}a+co{s}^{2}b+si{n}^{2}b-2cosacosb-2sinasinb$

Recuerda:

$co{s}^2\theta +si{n}^2\theta =1;so,co{s}^{2}a+{\sin }^{2}a=1andsi{n}^{2}b+{\cos }^{2}b=1$

Entonces:

$$\begin{gathered} P{Q}^2=1+1-2cosacosb-2sinasinb \\ P{Q}^2=2-2cosacosb-2sinasinb \end{gathered}$$

Si el ángulo ( a-b) se replanteara en la posición estándar de una circunferencia unitaria desde el origen O hasta el punto S de la figura siguiente

Figura 2: Una imagen del ángulo (a-b) replanteado, - StudySmarter Originals

Entonces, la distancia SN de la figura 2 (que es igual a la distancia PQ de la figura 1) puede deducirse con respecto al ángulo ( a-b) y los puntos correspondientes en S (cos (a-b), sin(a-b) ) y N (1 , 0).

Utilizando

$d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

Donde el punto S es $(x_2,y_2)$ y N es $(x_1,y_1)$entonces

$$\begin{gathered} SN=\sqrt{(\cos {(a-b)-1)}^2+(\sin {(a-b)-0)}^2} \\ S{N}^2=(\cos {(a-b)-1)}^2+(\sin {(a-b)-0)}^2 \\ S{N}^2={\cos }^2(a-b)-2\cos (a-b)+1+{\sin }^2(a-b) \end{gathered}$$

Reordena y une términos semejantes

$S{N}^2={\cos }^2(a-b)+{\sin }^2(a-b)-2\cos (a-b)+1$

Recuerda que

$co{s}^2\theta +si{n}^2\theta =1;so,co{s}^2(a-b)+{\sin }^2(a-b)=1$

entonces

$$\begin{gathered} S{N}^2=1-2\cos (a-b)+1 \\ S{N}^2=2-2\cos (a-b) \end{gathered}$$

Recuerda que

$PQ=SN$

entonces

$P{Q}^2=S{N}^2$

Así

$2-2\cos (a-b)=2-2\cos a\cos b-2\sin a\sin b$

Resuelve el álgebra restando 2 a ambos lados de la ecuación

$-2\cos (a-b)=-2\cos a\cos b-2\sin a\sin b$

Divide ambos lados por -2 en ambos lados

$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

Suma de funciones coseno

$cos(a+b)=\cos (a-(-b\left)\right)$

Por tanto, sustituye el valor de b por -b en la ecuación.

Ten en cuenta que

$\cos (-b)=\cos b$

y

$\sin (-b)=-\sin b$

por lo tanto

$$\begin{gathered} \cos (a+b)=\cos a\cos (-b)+\sin a\sin (-b) \\ \cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \end{gathered}$$

Probar la suma y la diferencia de las funciones seno

Suma de funciones seno

Dibuja un triángulo rectángulo ABC como se muestra a continuación.

Una imagen de un triángulo rectángulo, - StudySmarter Originals

Dibuja otra recta que corte a A y toque a la recta BC en D, de forma que el ángulo BAD sea β y el ángulo DAC sea α, como se ve a continuación.

Dibuja una recta perpendicular al punto D que toque a la recta AB en E como se ve abajo.

Dibuja una recta desde el punto E que sea perpendicular a la recta AC, que corte a la recta AD en F y se encuentre con la recta AC en G, como se ve abajo.

Dibuja una recta desde el punto D hasta el punto H de la recta EG que sea perpendicular a la recta EG, como se ve a continuación.

Ten en cuenta que, en lo sucesivo, para cada paso deberás referirte a la figura anterior.

Por lo tanto

Utilizando SOHCAHTOA

$\sin (\alpha +\beta )=\frac{EG}{AE}$

Observa que la línea EG = EH + HG, por tanto

$$\begin{gathered} \sin (\alpha +\beta )=\frac{EH+HG}{AE} \\ \sin (\alpha +\beta )=\frac{EH}{AE}+\frac{HG}{AE} \end{gathered}$$

Recuerda

$HG=DC$

Por tanto

$\sin (\alpha +\beta )=\frac{EH}{AE}+\frac{DC}{AE}$

Observa que

$\angle DAC=\angle FDH$

Nota

$\angle DAC=\angle FDH=\alpha$

Recuerda que la recta AD es perpendicular a la recta ED. Por lo tanto

$\angle HDE=90°-\alpha$

Sabiendo que

$\angle EHD=90°$

por tanto

$\angle HED+90°+90°-\alpha =180°$

$\angle HED+180°-180°=\alpha$

$\angle HED=\alpha$

Observando sus ángulos, significa que los triángulos ADC y EDH son semejantes. ver a continuación

Una imagen que demuestra la suma del seno de los ángulos, StudySmarter Originals

Del triángulo rectángulo EDH

$$\begin{gathered} \cos \alpha =\frac{EH}{ED} \\ EH=ED\cos \alpha \end{gathered}$$

Recuerda que

$\sin (\alpha +\beta )=\frac{EH}{AE}+\frac{DC}{AE}$

Sustituye el valor de EH

$$\begin{gathered} \sin (\alpha +\beta )=\frac{ED\cos \alpha }{AE}+\frac{DC}{AE} \\ \sin (\alpha +\beta )=(\frac{ED}{AE}\times \cos \alpha )+\frac{DC}{AE} \end{gathered}$$

Mientras tanto, a partir del triángulo rectángulo AED, utilizando SOHCAHTOA

$\sin \beta =\frac{ED}{AE}$

Sustituye el valor de $\frac{ED}{AE}$ en la ecuación

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \beta \cos \alpha +\frac{DC}{AE}$

A partir del triángulo rectángulo ADC, utilizando SOHCAHTOA

$$\begin{gathered} \sin \alpha =\frac{DC}{AD} \\ DC=AD\sin \alpha \end{gathered}$$

Sustituye el valor de DC en la ecuación

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \beta \cos \alpha +\frac{AD\sin \alpha }{AE}$

Observando el triángulo rectángulo AED y utilizando SOHCAHTOA

$\cos \beta =\frac{AD}{AE}$

Sustituye el valor de$\frac{AD}{AE}$ en la ecuación

$$\begin{gathered} \sin (\alpha +\beta )=\sin \beta \cos \alpha +\cos \beta \sin \alpha \\ \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha \end{gathered}$$

Diferencia de sus funciones

Sabiendo que

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha$

Por tanto, $\sin (\alpha -\beta )$ puede deducirse cambiando β por -β en toda la ecuación.

Por lo tanto

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos (-\beta )+\sin (-\beta )\cos \alpha$

Ten en cuenta que

$\cos (-\beta )=\cos \beta$

y

$\sin (-\beta )=-\sin \beta$

por lo tanto

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha$

Demostración de la suma y la diferencia de funciones tangentes

Suma de funciones tangentes

Recuerda que

$\tan \varnothing =\frac{\sin \varnothing }{\cos \varnothing }$

Por tanto

$\tan (A+B)=\frac{\sin (A+B)}{\cos (A+B)}$

Por tanto

$\tan (A+B)=\frac{\sin A\cos B+\sin B\cos A}{\cos A\cos B-\sin A\sin B}$

Divide cada entidad del lado derecho de la ecuación por cosAcosB

$$\begin{gathered} \tan (A+B)=\frac{\frac{\sin A\cos B}{\cos A\cos B}+\frac{\sin B\cos A}{\cos A\cos B}}{\frac{\cos A\cos B}{\cos A\cos B}-\frac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}} \\ \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B} \end{gathered}$$

Diferencia de funciones tangentes

Recuerda que

$\tan \varnothing =\frac{\sin \varnothing }{\cos \varnothing }$

Por tanto

$\tan (A-B)=\frac{\sin (A-B)}{\cos (A-B)}$

Así

$\tan (A-B)=\frac{\sin A\cos B-\sin B\cos A}{\cos A\cos B+\sin A\sin B}$

Divide cada entidad del lado derecho de la ecuación por cosAcosB

$$\begin{gathered} \tan (A-B)=\frac{\frac{\sin A\cos B}{\cos A\cos B}-\frac{\sin B\cos A}{\cos A\cos B}}{\frac{\cos A\cos B}{\cos A\cos B}+\frac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}} \\ \tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B} \end{gathered}$$

Aplicación de la suma y la diferencia de fórmulas

A continuación verás cómo aplicar las fórmulas de suma y diferencia.