Demostración por Inducción

Demuestra que para todos los enteros positivos \(n\), \(3^{2n+2} + 8n -9 \) es divisible por 8.

Solución

Primero define \(f(n) = 3^{2n+2} + 8n -9 \).

Paso 1: Considera ahora el caso base. Como la pregunta dice para todos los enteros positivos, el caso base debe ser \(f(1)\). Puedes sustituir \(n=1\) en la fórmula para obtener

\[ \begin{align} f(1) = 3^{2+2} + 8 - 9 & = 3^4 - 1 \\ & = 81 - 1 \\ & = 80. \fin \]

80 es claramente divisible por 10, por lo que la condición es cierta para el caso base.

Paso 2: A continuación, enuncia la hipótesis inductiva. Esta hipótesis es que \(f(k) = 3^{2k + 2} + 8k - 9 \) es divisible por 8.

Paso 3: Considera ahora \(f(k+1)\). La fórmula será

\[ \begin{align} f(k+1) & = 3^{2(k+1)+2} + 8(k + 1) - 9 & = 3^{2k + 4} + 8k + 8 -9 | & = 3^{2k+4} + 8k -9 + 8. \fin{align} \]

Puede parecer raro escribirlo así, sin simplificar el \(8-9\) para convertirlo en \(-1\). Hay una buena razón para hacerlo: quieres mantener la fórmula tan parecida a la fórmula de \(f(k)\) como puedas, ya que necesitas transformarla en esto de alguna manera.

Para hacer esta transformación, observa que el primer término de \(f(k+1) \) es el mismo que el primer término de \(f(k)\) pero multiplicado por \(3^2 = 9\). Por tanto, puedes dividirlo en dos partes separadas.

\f(k+1) & = 9 \cdot 3^{2k+2} + 8k -9 + 8 & = 3^{2k+2} + 8 \cdot 3^{2k+2} + 8k -9 + 8 & = (3^{2k+2} + 8k -9) + 8 \cdot 3^{2k+2} + 8 \\cdot 3^{2k+2} + 8 + 8 \ {\} & = f(k) + 8 \cdot 3^{2k+2} + 8. \fin{align} \]

El primer término es divisible por 8 debido a la suposición, y el segundo y el tercero son múltiplos de 8, por lo que también son divisibles por 8. Como se trata de la suma de distintos términos que son todos divisibles por 8, \(f(k+1)\) también debe ser divisible por 8, suponiendo que la hipótesis inductiva sea cierta. Por tanto, has demostrado el paso inductivo.

Paso 4: Por último, acuérdate de escribir la conclusión. Debería ser algo así

Si es cierto que \( f(k) \) es divisible por 8, entonces también será cierto que \(f(k+1) \) es divisible por 8. Como es cierto que \(f(1)\) es divisible por 8, es cierto que \(f(n)\) es divisible por 8 para todos los enteros positivos \(n\).

Demuestra que para cualquier entero no negativo \(n\),

\[ ||sin{(nx)}| \leq n \sin{x}, \]

para \( x \en (0, \pi) \).

Solución

Paso 1: El caso base está claro, ya que al sustituir en \(n=1\) se cumple la desigualdad \( ||sin{x}| \leq{\sin{x}}\), que es cierta para \( x \in (0, \pi) \).

Paso 2: Para la hipótesis de inducción, supongamos que

\[ | |sin{(mx)} | |leq m \sin{x}. \]

Paso 3: Ahora debes demostrar que \( ||sin{((m+1)x)}| \leq (m+1) \sin{x}. \) En primer lugar, puedes expandir el paréntesis del lado izquierdo:

\[ ||sin{((m+1)x)}| = ||sin{(mx + x)}| \].

Ahora puedes utilizar la fórmula trigonométrica de la suma de ángulos para la función seno.

|[|seno{((m+1)x)}| = |seno{(mx)} |cos{(m)} + |cos{(mx)} |seno{(m)}|].

A partir de aquí, puedes utilizar la desigualdad triangular para los valores absolutos: \( | a + b| \leq |a| + |b| \).

\[ ||sin{((m+1)x)}| \leq ||sin{(mx)} \cos{(x)}| + |\cos{(mx)} |sin{(x)}|. \]

Recuerda que \( \cos{(mx)} \) y \( \cos{(x)} \) son menores que uno. Por tanto, puedes crear un nuevo límite superior estimando las funciones coseno como 1:

\[ \in{align} ||sin{((m+1)x)}| &\leq |sin{(mx)} |cos{(x)}| + |cos{(mx)} |sin{(x)}| &\leq |sin{(mx)}| + |sin{(x)}|. \fin \]

A partir de aquí, fíjate en que hay \( ||sin{(mx)}| \) en el lado izquierdo. Aquí es donde puedes utilizar la hipótesis inductiva. Sabes que \( |sin{(mx)}| \leq m \sin{x}\), así que puedes crear otro límite superior:

\[ |sin(mx) |sin{((m+1)x)}| &\leq |sin{(mx)}| + |sin{(x)}| &\leq m |sin{(x)}| + |sin{(x)}|. \fin \]

Por último, como se dijo en el caso base, \( ||sin{(x)}| \leq \sin{(x)} \). S ,

\[ |sin{((m+1)x)}| \leq m \sin{(x)} + \sin{(x)} = (m+1)\sin{(x)}, \]

según sea necesario.

Paso 4: Por último, expón la conclusión. Hemos demostrado que la desigualdad se cumple para \( n = m+1 \) si se cumple para \( n = m.\) Puesto que se cumple para \(n=1\), por inducción se cumplirá para todos los enteros positivos.

Demuestra que cualquier número entero \(n \geq 2\) puede escribirse como producto de primos.

Solución

Paso 1: Primero, demuestra el caso base, que en este caso requiere \(n=2\). Como \(2 \) ya es un número primo, ya está escrito como producto de primos, y por tanto el caso base es cierto.

Paso 2: A continuación, enuncia la hipótesis inductiva. Supondrás que para cualquier \( 2 \leq n \leq k\), \(n\) puede escribirse como producto de primos.

Paso 3: Por último, debes utilizar la hipótesis para demostrar que \(n=k+1 \) puede escribirse como un producto de primos. Hay dos casos:

• \(k+1\) es un número primo, en cuyo caso está claro que ya se escribe como producto de primos.
• \(k+1\) no es un número primo y debe haber un número compuesto.

Si \(k+1\) no es un número primo, significa que debe ser divisible por un número distinto de sí mismo o de 1. Esto significa que existen \(a_1\) y \(a_2\), con \(2 \le a_1\) y \(a_2 \le k\), tales que \(k+1 = a_1 a_2. \) Por la hipótesis inductiva, \(a_1\) y \(a_2\) deben tener una descomposición prima, ya que \(2 \le a_1\) y \(a_2 \le k\). Esto significa que existen números primos \( p_1,\ puntos ,p_i\) y \(q_1,\ puntos ,q_j\) tales que

\[ \begin{align} a_1 & = p_1\dots p_i \ a_2 & = q_1 \dots q_j. \fin \]

Por último, como \ (k+1 = a_1 a_2, \) tienes:

\[ k+1 = p_1\puntos p_i q_1\puntos q_j \]

que es un producto de primos. Por tanto, se trata de una descomposición en primos para \(k+1\).

Paso 4: \(k+1\) tendrá una descomposición prima si todos los números \(n\), \(2 \leq n \leq k \) también tienen una descomposición prima. Como 2 tiene una descomposición prima, por inducción todo número entero positivo mayor o igual que 2 debe tener una descomposición prima.

Demuestra que para cualquier número entero positivo \(n\),

\[ 1^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]

Solución

Paso 1: Primero, considera el caso base, cuando \(n=1\). El lado izquierdo es claramente sólo 1, mientras que el lado derecho se convierte en

\[ \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = \frac{6}{6} = 1. \]

Por tanto, el caso base es correcto.

Paso 2: A continuación, escribe la hipótesis de inducción. Ésta es que

\1^2 + puntos + m^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}. \]

Paso 3: Por último, demuestra el paso inductivo. El lado izquierdo, para \(n=m+1\), será:

\[ 1^2 + puntos + m^2 + (m+1)^2 = (1^2 + puntos + m^2) + (m+1)^2. \]

Los primeros \(n\) términos están en la hipótesis inductiva. Por tanto, puedes sustituirlos por el lado derecho de la hipótesis inductiva:

\[ \begin{align} 1^2 + puntos + m^2 + (m+1)^2 & = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} + (m+1)^2 & = \frac {m(m+1)(2m+1) + 6(m+1)^2} {6} \\ ¾ & = ¾frac {(m+1)¾izquierda[m(2m+1) + 6(m+1)¾derecha]}{6}. \end{align}\]

A continuación, expande el trozo que hay dentro de los corchetes, con lo que tendrás una cuadrática. Entonces puedes resolver la cuadrática normalmente:

\[ \begin{align} 1^2 + puntos + m^2 + (m+1)^2 & = \frac{(m+1)\left[2m^2+1m + 6m+6\right]}{6}. \\ y = frac {(m+1)[2m^2 + 7m + 6} {6} \\ & = \frac {(m+1)(m+2)(2m+3)}{6} | = \frac{(m+1)((m+1)+1)(2(m+1)+1)}{6}, \end{align}\}].

como es debido. Así, has demostrado el paso inductivo.

Paso 4: Por último, escribe la conclusión. Si la fórmula de la suma de cuadrados es cierta para cualquier número entero positivo \(m\), entonces será cierta para \(m+1\). Como es cierta para \(n=1\), es cierta para todos los enteros positivos.

Demuestra la Fórmula de Binet utilizando la inducción.

Solución

Paso 1: Primero, demuestra la base de inducción. Esto será para \(F_0\) y \(F_1\). Para \(F_0\):

\[\frac{\phi^0 - \hat{\phi}^0} {\sqrt{5}} = \frac{1-1}{5} = 0, \].

que es el valor de \( F_0\) como se esperaba.

Para \(F_1\):

\[ \begin{align} \frac{\phi - \hat{\phi}} {cuadrado{5}} & = \frac{\frac{1+cuadrado{5}} {2} \frac{1-\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}} \\ & = \frac{1} {\sqrt{5}}\cdot \frac{1-1 +\sqrt{5}} + +5} {2} \\ & = 1, \end{align} \]

que es la respuesta esperada. Por tanto, la base de inducción está demostrada.

Paso 2: A continuación, establece la hipótesis de inducción. En este caso, hay que utilizar la inducción fuerte. La hipótesis es que para cualquier \( 0 \leq i \leq k+1, \)

\[ F_i = \frac{\phi^i + \hat{\phi}^i}{\sqrt{5}}. \]

Paso 3: Ahora debes demostrar el paso de inducción, que es que

\F_{k+2} = \frac{\phi^{k+2} + \hat{\phi}^{{k+2}} {{sqrt{5}}.

Empieza por el lado derecho e intenta simplificarlo hasta llegar al lado izquierdo. Primero, empieza por dividir la potencia de \(k+2\) en 2 términos separados, uno con la potencia de \(k\) y el otro con la potencia de \(2\).

\[ \frac{\phi^{k+2} + \hat{\phi}^{k+2}} {cuadrado{5}} = \frac{\phi^2 \phi^k + \hat{\phi}^2 \hat{\phi}^k} {cuadrado{5}} \]

Ahora puedes utilizar el resultado de que \( \phi^2 = 1 + \phi\) y \( \hat{\phi}^2 = 1 + \hat{\phi}\}).

\frac{\fi}^2 = 1 + \frac{\fi}^2 = 1 + \frac{\fi}. \frac{\phi^{k+2} + \hat{\phi}^{k+2} {cuadrado{5}} & = \frac{(1+\phi) \phi^{k} + (1+{\hat{\phi}}) \hat{\phi}^{k}} {{cuadrado=5}}. \\ & = \frac{\phi^{k} + \hat{\phi}^{k} + \phi^{k+1} + \hat{\phi}^{k+1} {{sqrt{5}} \\ & = \frac{\phi^{k} + \hat{\phi}^{k}}{cuadrado5}} + \frac {\phi^{k+1}} + \hat{\phi}^{k+1}{\qrt{5}} \\ & = F_k + F_{k+1} \\ y = F_{k+2}. \fin{align} \]

Y así se ha demostrado el paso de inducción. El paso que obtiene la respuesta a \( F_k + F_{k+1} \) requiere el uso de la hipótesis de inducción para llegar a ella.

Paso 4: Por último, la conclusión: Si la Fórmula de Binet se cumple para todos los enteros no negativos hasta \(k+1\), entonces la fórmula se cumplirá para \(k+2\). Como la fórmula se cumple para \(F_0\) y \(F_1\), la fórmula se cumplirá para todos los enteros no negativos.