Integración usando fracciones parciales

La descomposición parcial de fracciones nos permite deshacer el proceso de sumar fracciones con denominadores polinómicos. También podemos aplicarlo a la integración. Puede que te pidan que integres una expresión que parece complicada, y debes comprobar si puedes factorizar el denominador. Esto significa que podemos dividir una fracción grande en varias fracciones más pequeñas, y a partir de aquí, la integral parecerá más sencilla.

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    Cuando hagamos esto, nos quedarán varias integrales fáciles de integrar. Normalmente, éstas se dejan como un factor lineal. Sin embargo, puede que tengamos que utilizar un método diferente cuando nos quedemos con un polinomio irreducible que no se factoriza.

    Recapitulación de la descomposición parcial de fracciones

    La integración mediante fracciones parciales se utiliza para expresiones en forma de fracción. Antes de empezar, definimos el grado de un polinomio como el orden del término de mayor orden, es decir, el grado de \( x^4 + 3x +1\) es \(4\), y el grado de \(x + x^8 - 5\) es \(8\). Lo primero que tenemos que comprobar es si el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Si es así, podemos continuar.

    Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, debemos realizar primero una división algebraica larga.

    El siguiente paso es factorizar el denominador. Primero, comprueba si hay factores lineales. Esto implica encontrar raíces (mediante el teorema del factor - si \(f (x)\) es un polinomio de grado \(n \ge 1\)) y \(a\) es cualquier número real, entonces \(x-a\) es un factor de \(f(x)\), y entonces esto nos dará los factores lineales. Si el grado del denominador es mayor o igual que cuatro, entonces debemos buscar también factores cuadráticos.

    \(x^4 + 5x^2 + 4\) no tiene raíces reales, pero

    \[(x^2 + 1)(x^2 + 4) = x^4 + 5x^2 + 4\]].

    por lo que debemos comprobarlo

    Nota: si el grado fuera mayor o igual que seis, entonces tendríamos que comprobar si hay factores cúbicos; sin embargo, estos ejemplos son escasos, así que vamos a centrarnos en los ejemplos en los que el grado del denominador es menor o igual que \(5\).

    Ahora tenemos que observar si hay factores de repetición. Esto afecta a cómo escribimos la fracción descompuesta. Si un factor no se repite, sólo tenemos que considerarlo como un numerador independiente. Si aparece más de una vez, tenemos que considerar todos sus posibles múltiplos. El grado del polinomio en el numerador debe ser siempre uno menos que el polinomio en el denominador, a menos que se repita, en cuyo caso es el mismo que si fuera una raíz no repetida.

    Entonces podemos escribir la forma de nuestra fracción descompuesta.

    Supongamos que buscamos la descomposición en fracciones parciales de

    \[ \frac{1}{x^3(x^2+1)}.\]

    Esto significa que buscaríamos una expresión de la forma

    \[ \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{Dx+E}{x^2+1}.\]

    Una vez que tenemos la forma de la fracción descompuesta, ya podemos resolver cada coeficiente desconocido. Multiplicamos por el denominador y luego igualamos los coeficientes equivalentes.

    Halla la descomposición en fracciones parciales de

    \[ \frac{1}{x^3(x^2+1)}.\]

    Por lo dicho anteriormente, sabemos que la forma debe ser

    \[ \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{Dx+E}{x^2+1}.\]

    Multipliquemos por \( x^3 (x^2 + 1) \) para obtener

    \[ 1 = Ax^2(x^2+1) + Bx(x^2+1) + C(x^2+1) + (Dx+E)x^3,\]].

    que luego se simplifica en

    \[1 = (A+D)x^4 + (B+E)x^3 + (A+C)x^2 + Bx + C.\]

    Comparando los coeficientes, obtenemos

    \[ \begin{align} & A + D = 0 \\ B + E = 0 \ A + C = 0 \ B = 0 \ C = 1. \fin]]

    Resolviendo esto (tenemos dos valores triviales, y luego los rellenamos), obtenemos \(B = E = 0\), \(D = C = 1\), y \(A = -1\). Esto nos da

    \[ \frac{1}{x^3(x^2+1)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{x}{x^2+1}.\]

    Uso de fracciones parciales en integrales

    Hemos recapitulado el uso de fracciones parciales, que nos ayudará a evaluar integrales. Véase más abajo:

    Integra

    \[ \int \frac{1}{x^2+1} \, \mathrm{d}x.\]

    Nuestro primer paso aquí es realizar la descomposición parcial de fracciones. Por diferencia de dos cuadrados, sabemos que

    \[ x^2 + 1 = (x-1)(x+1).\]

    Esto significa que la forma esperada de la fracción parcial será

    \[ \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}.\]

    Ahora igualemos los dos lados, lo que nos deja con

    \[ \frac{1}{x^2 + 1 } = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}.\]

    Multiplicando por \(x^2-1\) obtenemos

    \1 & = \frac{A(x^2-1)}{x-1} + \frac{B(x^2-1)}{x+1}. |= A(x+1) + B(x-1) |= (A+B)x + (A-B). \end{align}\]

    Esto implica que \(A + B = 0\) y \(A - B = 1\). Esto da \(A = \frac{1}{2}}) y \(B = -\frac{1}{2}}).

    Ahora puedes aplicar esto a la integral, lo que da

    \[ \int \frac{1}{x^2+1} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1}, \mathrm{d}x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} \x. \]

    Ahora es fácil integrar esta integral. Se evalúa como

    \[ \frac{1}{2} \izquierda( |ln |x-1| - |ln |x+1|derecha) + C = \frac{1}{2} \ln|izquierda| \frac{x-1}{x+1} \derecha] + C.

    Integra

    \[ \int \frac{1}{x^3(x^2+1)} \, \mathrm{d}x.\]

    A partir de los ejemplos anteriores, podemos reducirlo a

    \[ -\int \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{x}{x^2+1}\right) \, \mathrm{d}x. \]

    Define

    \[ \begin{align} I &= \int \frac{1}{x} \J &= int \frac{1}{x^3}\, \mathrm{d}x , \ K &= \int \frac{x}{x^2+1} \frac{x}{x^2+1}, \mathrm{d}x .\final{align}\frac{x}{x^2+1}.

    \(I\) es una integral estándar, que se evalúa en \( \ln |x| + C_1\). \(J\) puede evaluarse mediante la fórmula de integración de un polinomio y viene dada por

    \[ -\frac{1}{2}x^{-2} + C_2.\]

    \(K\) puede evaluarse mediante una sustitución. Sea \(u = x^2 + 1\), entonces

    \[ \mathrm{d}x = \frac{1}{2x} \mathrm{d}u ,\]

    lo que da

    \[ \begin{align} K &= \int \frac{x}{x^2+1} |mathrm{d}x &= \frac{1}{2} \int\frac{1}{u}, \mathrm{d}u &= \frac{1}{2}ln |x^2+1| + C_3. \end{align}\]

    Ahora podemos combinarlas como

    \[ \frac{1}{2}ln |x^2+1} + C_3. \int \frac{1}{x^3(x^2+1)}, \mathrm{d}x &= I + J + K \ & = \ln |x| -\frac{1}{2}x^{-2} + \frac{1}{2}ln |x^2+1| + C. \end{align}. \]

    Integración mediante fracciones parciales - Puntos clave

    • La integración mediante fracciones parciales es el proceso de descomponer una fracción mediante fracciones parciales y luego integrarla normalmente.

    • Si el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador, realiza una división algebraica larga para resolver este problema.

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    Preguntas frecuentes sobre Integración usando fracciones parciales
    ¿Qué es la integración usando fracciones parciales?
    La integración usando fracciones parciales es una técnica que descompone una fracción racional en una suma de fracciones más simples, facilitando la integración.
    ¿Cuándo se usa la integración por fracciones parciales?
    Se usa principalmente para integrar fracciones racionales donde el grado del numerador es menor que el del denominador.
    ¿Qué tipos de factorizaciones se requieren?
    Se requieren factorizaciones lineales y cuadráticas, dependiendo del polinomio en el denominador.
    ¿Cuál es el primer paso en la integración por fracciones parciales?
    El primer paso es factorizar completamente el denominador del integrando.

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