Resolución de ecuaciones simultáneas usando matrices

Las matrices se utilizan para muchas cosas en la vida, desde encriptar datos hasta diseñar juegos en 3D, pero también son extremadamente útiles en otros contextos matemáticos, como la resolución de ecuaciones simultáneas. Un conjunto de ecuaciones simultáneas (también conocido como sistema de ecuaciones) puede resolverse mediante diversas aplicaciones del álgebra matricial haciendo uso de matrices inversas y métodos como la reducción de filas.

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    Este artículo abordará la resolución de ecuaciones simultáneas mediante matrices, escribiéndolas primero en forma matricial y explorando después distintos métodos para resolverlas, como el uso de matrices inversas y la reducción de filas.

    Sistema de ecuaciones en forma matricial

    Para resolver un conjunto de ecuaciones utilizando matrices, tienes que ser capaz de reescribir dichas ecuaciones en forma de matrices.

    El siguiente ejemplo explica el proceso en detalle.

    Reescribe el siguiente conjunto de ecuaciones en forma matricial (también conocida como forma \(Ax = b\)):\begin{equation}\begin{split}-4x + 4y + z & = 3 \11y - 7x + z & = 4 \-5x + 3y + 2z & = 5 \\end{split}\qquad\begin{matrix}(1) \ (2) \ (3)\end{matrix}\end{equation}

    Solución

    PASO 1: Asegúrate de que las variables están en el mismo orden en todas las ecuaciones (es decir, si el orden que eliges para la primera ecuación es \(x, y, z\), las variables de todas las ecuaciones siguientes también deben estar en el orden \(x, y, z\)).

    El orden que elegiremos para este ejemplo es \(x, y, z\).

    Las variables de la segunda ecuación no están en el orden correcto. Para corregirlo, basta con reordenar la ecuación de modo que el orden de las variables sea el mismo que en las otras dos ecuaciones.

    Así, la segunda ecuación tendrá el siguiente aspecto

    \[-7x + 11y + z = 4\]

    PASO 2: Reescribe las ecuaciones en forma matricial.

    La primera matriz que necesitamos es la matriz de coeficientes. Es una matriz cuadrada que alberga los coeficientes de cada variable, y su tamaño depende del número de variables de las ecuaciones dadas.

    Cada columna de la matriz de coeficientes contiene los coeficientes de una variable concreta. Por ejemplo, la columna 1 contiene los coeficientes de \(x\). Las columnas 2 y 3 contienen los coeficientes de \(y\) y \(z\) respectivamente. Por eso es tan importante el orden de las variables en las ecuaciones dadas; si están en el orden equivocado, los coeficientes estarán en las columnas equivocadas.

    Cada fila de la matriz de coeficientes se corresponde con una de las ecuaciones dadas. Los coeficientes de la fila 1 son todos los de la ecuación 1, la fila 2 contiene los coeficientes de la ecuación 2, etc.

    Si juntamos todo lo anterior, obtendremos una matriz con el siguiente aspecto

    \[\begin{bmatrix}-4 & 4 & 1 \\\ 11 & -7 & 1 \ -5 & 3 & 2\end{bmatrix}\]

    Como puedes ver, las columnas 1, 2 y 3 contienen los coeficientes de \(x, y\) y \(z\), respectivamente, y las filas 1, 2 y 3 contienen los coeficientes de las ecuaciones 1, 2 y 3, respectivamente.

    La segunda matriz que necesitamos es una matriz de 3 x 1 que contiene las variables, y se conoce como matriz de variables. Debe colocarse siempre a la derecha de la matriz de coeficientes.

    Las variables de la matriz se enumeran de arriba abajo en el orden que hayas elegido para ellas, y debe tener el siguiente aspecto:

    \[\begin{bmatrix}x \ y \ z\end{bmatrix}\]

    La última matriz necesaria es una matriz de 3 x 1 que se encuentra a la derecha del signo igual. Se denomina matriz constante y, de forma similar a la matriz de coeficientes, cada fila contiene el valor constante perteneciente a su ecuación correspondiente.

    Tendrá el siguiente aspecto

    \[\begin{bmatrix}3 \ 4 \ 5\end{bmatrix}\]

    Nuestra respuesta final consta de las tres matrices, y tendrá el siguiente aspecto:

    \[\begin{bmatrix}-4 & 4 & 1 \11 & -7 & 1 \-5 & 3 & 2 \\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \ y \ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 \ 4 \ 5 \\\end{bmatrix}\]

    ¿Qué ocurriría si multiplicaras las matrices?

    \[\begin{align}\begin{bmatrix}-4 & 4 & 1 \\ 11 & -7 & 1 \ -5 & 3 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \ y \ z \end{bmatrix}& = \begin{bmatrix}3 \ 4 \ 5\end{bmatrix} \\hspace{1cm} \\begin{bmatrix}-4x & 4y & z \ 11x & -7y & z \ -5x & 3y & 2z\end{bmatrix} & = \begin{bmatrix}3 \ 4 \ 5 \end{bmatrix} \\end{align}\]

    El resultado nos da las ecuaciones originales. Esta es la razón por la que estas matrices específicas se plantean de una forma tan particular.

    Matrices aumentadas

    El método más habitual para resolver ecuaciones simultáneas con matrices consiste en utilizar la reducción de filas. Para hacer la reducción de filas, hay que poder escribir las ecuaciones dadas en una matriz aumentada.

    Utilizando las mismas ecuaciones del ejemplo anterior, reescríbelas en una matriz aumentada.

    \[\begin{equation}\begin{split}-4x + 4y + z & = 3 \-7x +11y + z & = 4 \-5x + 3y + 2z & = 5 \\end{split}\end{equation}\]

    Solución

    PASO 1: Primero asegúrate de que todas tus ecuaciones tienen el mismo orden. En este caso, no hay ninguna ecuación que deba reordenarse.

    PASO2: Escribe los coeficientes de las variables para empezar la matriz.

    \[\left[\begin{array}{rrr}-4 & 4 & 1 \\\ 11 & -7 & 1 \ -5 & 3 & 2\end{array}\right.\]

    PASO 3: Traza una línea vertical a la derecha de los coeficientes.

    \[\left[\begin{array}{rrr|}-4 & 4 & 1 \\\ 11 & -7 & 1 \ -5 & 3 & 2\end{array}\right.\]

    PASO 4: Escribe las constantes a la derecha de la línea y cierra los paréntesis

    Tu respuesta debe tener el siguiente aspecto

    \[\left[\begin{array}{rrr|r}-4 & 4 & 1 & 3 \\11 & -7 & 1 & 4 \-5 & 3 & 2 & 5 \end{array}\right]\]

    Resolución de ecuaciones lineales simultáneas mediante matrices

    Interpretación de sistemas de ecuaciones

    Es posible que un sistema de ecuaciones no tenga una solución única. Se pueden utilizar matrices aumentadas para determinar el número de soluciones, si las hay, de un sistema de ecuaciones.

    Si dado un sistema de ecuaciones con tres ecuaciones en tres incógnitas, podemos modelizar las tres ecuaciones como planos. Una solución única sería aquella en la que todos los planos se intersecan. Si el sistema tiene un número infinito de soluciones, significa que los tres planos se encuentran en una recta de intersección. Un sistema sin soluciones no tendrá ningún punto de intersección entre los tres planos.

    Infinitas soluciones

    Algunos sistemas de ecuaciones pueden tener un número infinito de soluciones. Esto se debe a que una variable libre forma parte de las ecuaciones.

    Una variable libre es una variable que puede cambiar de valor libremente.

    El siguiente ejemplo muestra cómo determinar el número infinito de soluciones que puede tener un sistema de ecuaciones.

    Calcula la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

    \[\begin{align}x + 5y - z & = 1 \2x + 7y - 4z & = 0 \4x + 11y -10z & = -2\end{align}\]

    Solución

    PASO 1: Escribe la matriz aumentada.

    \[\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 5 & -1 & 1 \\\ 2 & 7 & -4 & 0 \ 4 & 11 & -10 & -2\end{array}\right]\]

    PASO 2: Realiza los cálculos de fila.

    Realizamos las siguientes operaciones de fila:

    \[\begin{align}R_{3} - 2R_{2} & \a R_{3} \\R_{2} - 2R_{1} & \a R_{2} \\R_{3} - R_{2} y R_{3} \end{align}\]

    para obtener la matriz aumentada:

    \[\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 5 & -1 & 1 \\ 0 & -3 & -2 & -2 \ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]

    En forma \(Ax = B\), esto tendrá el siguiente aspecto:

    \[\begin{bmatrix}1 & 5 & -1 \\\ 0 & -3 & -2 \ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \ y \ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \ -2 \ 0\end{bmatrix}\]

    De aquí sabemos que \(x + 5y - z = 1\) y \(-3y - 2z = -2\).

    Ahora simplificamos las ecuaciones para obtener lo siguiente:

    \[\begin{align}y & = \frac{2}{3} -\frac{2}{3}z\hspace{1cm} \\x & = -5y + 1 + z \qquad \text{Sustituir} \y; \text{dentro} \\hspace{1cm} \\ Por lo tanto, x & = -frac{7}{3} + \frac{7}{3}z\end{align}\frac{7}{3}]

    Sea \(\frac{z}{3}\) la variable libre \(t\).

    Las ecuaciones quedarán así

    \[\begin{align}x & = -\frac{7}{3} + 7ty & = \frac{2}{3} - 2t\end{align}\]

    y en forma matricial nos dará

    \[\begin{bmatrix}x \\ y \ z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-\frac{7}{3} \frac{2}{3} \\ 0 fin{bmatriz} +\frac{7} {3}7 \frac{2} {3}\frac{2} {3} t\]

    Tanto \(x\) como \(y\) dependen de \(z\), por lo que podemos introducirlas en el sistema. \(z\) es una variable libre, lo que significa que puede cambiar su valor libremente, y como \(x\) y \(y\) dependen de \(z\), esto significa que hay un número infinito de soluciones para este sistema de ecuaciones.

    Recuerda que designamos \(\frac{z}{3} = t\), por lo que \(z = 3t\).

    A continuación se muestra un ejemplo de cómo podría ser un sistema de ecuaciones con infinitas soluciones:

    Resolución de ecuaciones simultáneas mediante matrices tres planos que se cruzan a lo largo de una recta StudySmarterFig. 1. Un conjunto de ecuaciones con infinitas soluciones modelado como planos. Los planos se encuentran en una línea de intersección.

    Sin soluciones

    El siguiente ejemplo muestra cómo determinar si un sistema de ecuaciones no tiene soluciones.

    Demuestra que el siguiente sistema de ecuaciones no tiene soluciones:

    \[\begin{align}x + 2y - z = -8 \ 2x - y + z = 4 \ 8x + y + z = 2\end{align}\]

    Solución

    PASO 1: Escribe la matriz aumentada.

    \[\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & -1 & -8 \ 2 & -1 & 1 & 4 \ 8 & 1 & 1 & 2\end{array}\]

    PASO 2: Realiza los cálculos de las filas hasta obtener los ceros necesarios.

    \(R_{3} - R_{2} \a R_{3}, \; R_{2} + R_{1} \a R_{2}, \; R_{3} - 2R_{2} \a R_{3}) para obtener:

    \[\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & -1 & -8 \ 3 & 1 & 0 & 4 \ 0 & 0 & 0 & -6\end{array}\right]\]

    Si miras la última fila, verás que afirma que \(0 = -6\). Esto no es cierto, y por tanto el sistema no tiene solución.

    Modelizado mediante planos, un sistema sin soluciones podría tener este aspecto:

    Resolución de ecuaciones simultáneas mediante matrices tres planos sin punto de intersección entre ellos StudySmarterFig. 2. Un sistema de tres ecuaciones simultáneas sin soluciones modelizado como planos.

    Resolución de ecuaciones simultáneas mediante matrices inversas

    Las matrices inversas pueden utilizarse para resolver ecuaciones simultáneas multiplicando ambos lados de la ecuación por la inversa de la matriz de coeficientes y simplificando para calcular los valores de las variables.

    Hay dos cosas importantes que debes recordar cuando resuelvas ecuaciones simultáneas utilizando matrices inversas:

    1. \(A^{-1} \times A = I\) donde \(I\) es la matriz identidad. Multiplicar por \(I\) tendrá el mismo efecto que multiplicar la matriz por 1;

    2. La matriz inversa, \(A^{-1}\), debe estar a la izquierda de las otras matrices; si no, no podrás multiplicarlas.

    El siguiente ejemplo muestra cómo resolver ecuaciones simultáneas utilizando matrices inversas.

    Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas utilizando álgebra matricial:

    \[\begin{align}4x + y & = -7 \3x-2y & = 3 \\end{align}\]

    Solución

    PASO 1: Reescribe las dos ecuaciones en forma de ecuación matricial. Tu respuesta debe tener este aspecto

    \[\begin{bmatrix}4 & 1 \3 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-7 \ 3\end{bmatrix}\]

    PASO 2: Calcula la inversa de la matriz de coeficientes.

    Queremos resolver para \(x\) y \(y\), así que debemos aislar esas dos variables en un lado de la ecuación. Para ello debemos hacer intervenir la matriz identidad. Lo hacemos multiplicando ambos lados de la ecuación por la inversa de la matriz de coeficientes.

    Recuerda que \(A^{-1} \times A = I\) y \(I\) multiplicados por cualquier matriz compatible tendrán el mismo efecto que multiplicar cualquier número por 1.

    Sea la matriz de coeficientes, \(\inicio{bmatriz} 4 & 1 \ 3 & -2 \fin{bmatriz} = A\). Por tanto

    \[A^{-1} =-\frac{1}{11}\begin{bmatrix}-2 & -1 \\ -3 & 4\end{bmatrix}\].

    PASO 3: Multiplica ambos lados de la ecuación por \(A^{-1}\).

    El orden en que multiplicas las matrices es importante. En este caso, queremos que el resultado sea la matriz identidad, por lo que debemos multiplicar ambos lados de la ecuación por \(A^{-1}\) en el lado izquierdo para conseguirlo.

    Tu resultado será el siguiente

    \[\begin{bmatrix}1 & 0 \\\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} =-\frac{1}{11}\begin{bmatrix}-2 & -1 \ -3 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-7 \ 3 \end{bmatrix} \]

    PASO 4: Simplifica para obtener las soluciones de \(x\) y \(y\).

    \[\begin{align}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}& =-\frac{1}{11} \times\begin{bmatrix}11 \\\ 33\end{bmatrix}\\\hspace{1cm}\\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}& = \begin{bmatrix} -1 \ -3 -1 \ -3 \end{bmatrix}\end{align}\]\(por tanto \quad x = -1\) y \(y = -3\)

    El siguiente ejemplo muestra cómo utilizar matrices inversas para resolver ecuaciones simultáneas que contienen tres variables.

    Utiliza matrices inversas para resolver el siguiente conjunto de ecuaciones simultáneas:

    \[\begin{align}x - y - z & = 4 \2x + 3y - z & = 2 \- x - 2y + 3z & = -3\end{align}\]

    Solución

    PASO 1: Reescribe las ecuaciones en forma matricial.

    \[\begin{bmatrix}1 & -1 & -1 \ 2 & 3 & -1 \-1 & -2 & 3 \\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \ y \ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4 \ 2 \ -3\end{bmatrix}\]

    PASO 2: Deja que la matriz de coeficientes sea igual a A y calcula su inversa, \(A^{-1}\).

    \[A^{-1} =\frac{1}{13} \in{bmatrix}\tag{*}7 & 5 & 4 \-5 & 2 & -1 \-1 & 3 & 5\end{bmatrix}\]

    *Aquí no se muestra el funcionamiento completo. Consulta Invertir matrices para ver cómo calcular la inversa de una matriz de 3 x 3.

    PASO 3: Multiplica por \(A^{-1}\) a la izquierda de ambos lados de la ecuación.

    \[\frac{1}{13} \in{bmatrix}7 & 5 & 4 \-5 & 2 & -1 \-1 & 3 & 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -1 & -1 \ 2 & 3 & -1 \-1 & -2 & 3 \\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \ y \ z \end{bmatrix} =\frac{1}{13} \7 & 5 & 4-5 & 2 & -1-1 & 3 & 5\end{bmatrix} \4 \ 2 \ -3\end{bmatrix}\]

    PASO 4: Simplifica.

    \[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \ y \ z \end{bmatrix}= \frac{1}{13} \Inicio de la matriz26 -13 -12 Fin de la matriz

    \[\begin{bmatrix}x \ y\\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}\]

    \(por tanto, \cuadrado x = 2,\cuadrado y = -1\cuadrado) y \(\cuadrado z = -1\).

    Aunque es posible resolver tres incógnitas utilizando matrices inversas (como se muestra más arriba), no se recomienda este método, ya que rápidamente se vuelve tedioso y demasiado complicado. Es mejor utilizar la reducción de filas, que se tratará en detalle en el siguiente apartado.

    Resolver ecuaciones simultáneas mediante la reducción de filas

    La reducción defilas es otro método para resolver ecuaciones simultáneas utilizando matrices. También conocida como eliminación gaussiana, la reducción de filas utiliza cálculos de filas dentro de una matriz aumentada para resolver las incógnitas de un conjunto de ecuaciones simultáneas.

    Quieres obtener una fila con dos ceros para poder calcular el valor de una de las variables, y luego quieres una fila con un cero para poder calcular el valor de la segunda variable.

    Hay algunas cosas importantes que debes recordar al realizar estos cálculos de filas:

    • El segundo cero que calcules debe estar siempre en la misma columna que el primer cero, y debe estar directamente encima o debajo del primer cero;

    • Siempre debes utilizar las filas que ya contienen ceros para calcular el tercer cero;

    • Los ceros que calcules deben estar en las tres primeras columnas de la matriz aumentada. Un cero en la cuarta columna no ayuda a resolver ninguna de las incógnitas;

    • Los cálculos de fila se aplican a toda la fila, incluida la cuarta columna.

    El ejemplo siguiente muestra cómo hacerlo.

    Utiliza la reducción de filas para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

    \[\begin{align}2x + y - 3z = -11 \x - 2y + z = -3 \-3x + 4y - 2z = 9 \end{align}\qquad \quad \quad \begin{matrix}(1) \ (2) \ (3) \end{matrix}\]

    Solución

    PASO 1: Escribe la matriz aumentada de estas ecuaciones. Debe tener el siguiente aspecto

    \[\left[\begin{array}{rrr|r}2 & 1 & -3 & -11 \ 1 & -2 & 1 & -3 \ -3 & 4 & -2 & 9\end{array}\right]\qquad \quad \quad \begin{array}{r}(1) \ (2) \ (3)\end{array}\]

    PASO 2: Realiza los cálculos de las filas.

    Primero, escribe tu matriz aumentada.

    \[\left[\begin{array}{rrr|r}2 & 1 & -3 & -11 \ 1 & -2 & 1 & -3 \-3 & 4 & -2 & 9\end{array}\right]\]

    ¿Qué cálculo podemos hacer para obtener nuestro primer cero?

    \[\left[\begin{array}{rrr|r}5 & 0 & -5 & -25 \ 1 & -2 & 1 & -3 \-3 & 4 & -2 & 9\end{array}\right]\quad \begin{array}{r}2 \times R_{1} + R_{2} \a R_{1} \\ 1cm \hspace{1cm}\end{array}\]

    Siempre escribimos los cálculos de fila que estamos haciendo junto a la matriz.

    El segundo cero debe estar en la misma columna que el primero.

    \[\left[\begin{array}{rrr|r}5 & 0 & -5 & -25 \ -1 & 0 & 0 & 3 \-3 & 4 & -2 & 9\end{array}\right]\quad \begin{array}{r}\hspace{1cm} \\ 2 veces R_{2} + R_{3} \a R_{2} \hspace{1cm}\end{array}\]

    Dio la casualidad de que tanto el segundo como el tercer cero se obtuvieron mediante este cálculo de la segunda fila. No siempre es así, y a menudo tendrás que realizar un cálculo de tercera fila para obtener el tercer cero.

    PASO 3: Calcula los valores de las incógnitas.

    De la fila 2:

    \[\begin{align}-x & = 3 \\qquad x & = -3 \end{align}\]

    De la Fila 1 (sustituye \(x\) en):

    \[\begin{align}5x - 5z & = -25 \5(-3) - 5z & = -25 \-5z & = -10 \\therefore \qquad z & = 2\end{align}\]

    De la Fila 3 (sustituye \(x\) y \(z\) en):

    \[\begin{align}-3x + 4y - 2z & = 9 \\-3(-3) + 4y - 2(2) & = 9 \\4y & = 4 \ por tanto \qquad y & = 1 \end{align}\]

    \(por tanto \qquad x = -3; \; y = 1\) y \(z = 2\)

    Hay muchas formas distintas de resolver ecuaciones simultáneas utilizando la reducción de filas, y los cálculos de filas que elijas hacer pueden ser distintos de los utilizados aquí.

    Ejemplos de resolución de ecuaciones simultáneas utilizando matrices de 2x2

    Los siguientes ejemplos se centran en la resolución de ecuaciones simultáneas de orden 2, lo que significa que tendrás que utilizar matrices de 2 x 2.

    Resuelve \(x\) y \(y\) utilizando matrices inversas.

    \[\begin{align}6x - 5y & = 7 \12x + 20y & = -4 \end{align}\]

    Solución

    En primer lugar, debemos reescribir las ecuaciones en forma matricial.

    \[\begin{bmatrix}6 & -5 \\ 12 & 20 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7 \\ -4\end{bmatrix}\]

    A continuación, tenemos que calcular la inversa de la matriz de coeficientes

    \[\begin{align}\begin{vmatrix}6 & -5 \ 12 & 20\end{vmatrix}= (6)(20) - (-5)(12)= 180 \\hspace{1cm} \\\qquad \begin{bmatrix}6 & -5 \ 12 & 20 \end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{180}\begin{bmatrix}20 & 5 \ -12 & 6\end{bmatrix}\end{align}\]

    Multiplica por la matriz inversa a la izquierda de ambos lados de la ecuación para obtener:

    \[\begin{bmatrix}1 & 0 \\\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \ y \end{bmatrix}= \frac{1}{180} \inicio{matriz}20 & 5 -12 & 6 fin{matriz} inicio{matriz}7 -4 fin{matriz}]

    Simplifica aún más para obtener el resultado final:

    \[\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=\frac{1}{180}\begin{bmatrix}120 \ -108\end{bmatrix}\]

    \(por tanto, \qquad x = \frac {2} {3}; \text {y}; y = -\frac {3} {5})

    También es posible resolver un conjunto de simultáneas con sólo 2 incógnitas utilizando la reducción de filas. El siguiente ejemplo muestra cómo se hace.

    Resuelve \(x\) y \(y\) utilizando la reducción de filas.

    \[\begin{align}8x - 3y & = 6 \-16x + y & = -\frac{31}{3}\end{align}\]

    Solución

    Escribe la matriz aumentada del sistema.

    \[\left[\begin{array}{rr|r}8 & -3 & 6 \\ -16 & 1 & -\frac{31}{3}\end{array}\right]\]

    A continuación, realiza las operaciones de fila hasta obtener un cero en una de las filas. Como sólo hay dos variables para resolver, sólo necesitamos un cero, ya que nos permitirá calcular el valor de una de las variables. Luego podemos utilizar la variable calculada para hallar el valor de la otra incógnita sustituyéndola de nuevo en la ecuación.

    \[\left[\begin{array}{rr|r}8 & -3 & 6 \\ 0 & -5 & \frac{5}{3}\end{array}\right]\qquad\begin{matrix}\hspace{1cm} \\ R_{2} + 2R_{1} \a R_{2}\end{matrix}\]

    Resuelve para \(x\) y \(y\).

    \[\begin{align}-5y & = \frac{5}{3} \\y & = -\frac{1}{3} \\hspace{1cm} \\\qquad8x - 3y & = 68x - 3(-\frac{1}{3}) & = 6x & = \frac{5}{8}\end{align}\]

    Ejemplos de resolución de ecuaciones simultáneas con matrices de 3x3

    En algunos casos, es imposible evitar hacer cálculos que den como resultado números grandes. El siguiente ejemplo lo ilustra.

    Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando la reducción de filas:

    \[\begin{align}-4x - 5y +3z & = 7\-2x + 3y - z & = -25 \3x - 2y - 4z & = -6\end{align}\]

    Solución

    PASO 1: Escribe la matriz aumentada.

    \[\left[\begin{array}{rrr|r}-4 & - 5 & 3 & 7 \ -2 & 3 & -1 & -25 \ 3 & -2 & -4 & -6 \end{array}\right]\]

    PASO 2: Realiza los cálculos de las filas.

    \[\left[\begin{array}{rrr|r}-10 & 4 & 0 & -68 \ -2 & 3 & -1 & -25 \ 3 & -2 & -4 & -6\end{array}\right]\quad\begin{array}{r}R_{1} + 3R_{2} \a R_{1} \\hspace{1cm} \\\hspace{1cm}\end{array}\]\[\left[\begin{array}{rrr|r}-10 & 4 & 0 & -68 \11 & 14 & 0 & -94 \ 3 & -2 & -4 & -6\end{array}\right]\quad\begin{array}{r}4R_{2} - R_{3} \a R_{2}\end{array}\]\[\left[\begin{array}{rrr|r}-48 & 0 & 0 & -288 \11 & 14 & 0 & -94 \ 3 & -2 & -4 & -6\end{array}\right]\quad\begin{array}{r}7R_{1} - 2R_{2} \a R_{1} \\hspace{1cm} \\\hspace{1cm}\end{array}\]

    PASO 3: Calcula los valores de las variables.

    \[\begin{align}-48x & = - 288 \x & = 6\end{align}\]

    \[\begin{align}-11x + 14y & = -94 \\qquad -11(6) + 14y & = -94 \14y & = -28 \y & = -2\end{align}\]

    \[\begin{align}3x - 2y - 4z & = -6 \3(6) - 2(-2) - 4z & = -6 \-4z & = -28 \z &= 7\end{align}\]

    \(por tanto \qquad x = 6, \; y = -2\) y \(z = 7\)

    Algunas ecuaciones pueden contener sólo dos variables. En estos casos, basta con utilizar el cero como coeficiente de la variable que falta.

    Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas utilizando la reducción de filas:

    \[\begin{align}2b + c & = - 8 \a - 2b - 3c & = 0 \-a + b + 2c & = 3\end{align}\]

    Solución

    PASO 1: Escribe la matriz aumentada.

    \(2b + c= - 8\) es lo mismo que decir \(0a + 2b + c\) por lo que decimos que el coeficiente de \(a\) es 0 para la ecuación 1.

    \[\left[\begin{array}{rrr|r}0 & 2 & 1 & -8 \\ 1 & -2 & -3 & 0 \ -1 & 1 & 2 & 3\end{array}\right]\]

    PASO 2: Realiza los cálculos de las filas.

    En realidad, el cero facilita la resolución del sistema de ecuaciones, ya que se necesitan menos pasos para obtener los tres ceros necesarios.

    \[\left[\begin{array}{rrr|r}0 & 2 & 1 & -8 \ 0 & -1 & -1 & 3 \ -1 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right]\quad\begin{array}{r}\hspace{1cm} \\R_{2} + R_{3} \a R_{2} \\hspace{1cm}\end{array}\]\[\left[\begin{array}{rrr|r}0 & 1 & 0 & -5 \ 0 & -1 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3\end{array}\right]\quad\begin{array}{r}R_{1} + R_{2} \a R_{1} \\hspace{1cm} \\\hspace{1cm}\end{array}\]

    PASO 3: Calcula los valores de las variables.

    \[\begin{align}b & = -5 \end{align}\]

    \[\begin{align}-b - c & = 3 \-(-5) - c & = 3 \c & = 2 \end{align}\]

    \[\begin{align}-a + b + 2c & = 3-a + (-5) + 2(2) & = 3a & = -4 \end{align}\]

    \( \qquad a = -4, \; b = -5\) y \(c = 2\)

    Resolución de ecuaciones simultáneas mediante matrices - Puntos clave

    • Para escribir ecuaciones simultáneas en forma matricial, debes escribir primero la matriz cuadrada que contiene los coeficientes, seguida de la matriz variable y, a la derecha del signo igual, debes escribir la matriz constante.
    • Las matrices aumentadas sólo contienen los coeficientes y las constantes.
    • Las matrices inversas pueden utilizarse para resolver ecuaciones simultáneas multiplicando la matriz inversa de coeficientes a la izquierda de ambos lados de la ecuación matricial y simplificando.
    • La reducción de filas es el método preferido para resolver ecuaciones simultáneas con tres incógnitas, e implica el uso de operaciones de fila para calcular los valores de las variables.
    • Las ecuaciones pueden tener infinitas soluciones, ninguna solución y una solución única, y todas ellas pueden modelizarse mediante planos.
    Preguntas frecuentes sobre Resolución de ecuaciones simultáneas usando matrices
    ¿Qué son las ecuaciones simultáneas?
    Las ecuaciones simultáneas son un sistema de dos o más ecuaciones que se resuelven juntos para encontrar valores comunes de sus variables.
    ¿Cómo se utilizan las matrices en la resolución de ecuaciones simultáneas?
    Las matrices se utilizan en la resolución de ecuaciones simultáneas mediante la representación del sistema como una matriz y aplicando operaciones matriciales.
    ¿Qué es la matriz inversa?
    La matriz inversa de una matriz cuadrada es otra matriz que, cuando se multiplica con la original, resulta en la matriz identidad.
    ¿Cuál es el método de eliminación de Gauss?
    El método de eliminación de Gauss es un procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones lineales transformándolos en una forma triangular superior.

    Pon a prueba tus conocimientos con tarjetas de opción múltiple

    Las ecuaciones simultáneas con dos ecuaciones y dos incógnitas no pueden resolverse mediante la reducción de filas.

    Los cálculos de fila no se aplican a la columna final de la matriz aumentada.

    El orden de las variables en un conjunto de ecuaciones simultáneas es importante.

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