Ecuaciones e Identidades: 'Álgebra', 'Soluciones'

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Expresiones, ecuaciones, identidades y fórmulas

Esta sección constará de muchas definiciones y ejemplos. Sin embargo, es importante que entiendas cada uno de los términos clave, ya que es posible que en tu examen de GCSE te den un ejemplo concreto y te pidan que determines si se trata de una expresión, una ecuación, una identidad o una fórmula. Vamos allá...

Definición de expresiones

Una expresión es un conjunto de términos matemáticos, relacionados mediante operaciones matemáticas. Un término matemático es un único número o letra matemática, por ejemplo, x o 3. También podríamos tener ^3x2, donde 3 se conoce como el coeficiente de x.

Los siguientes son ejemplos de expresiones matemáticas:

$5 x + 1$
$3 x^{2} - 9 x + 1$
$7 x + 2 y + z$
$a x^{2} + 1$
$6 x^{8} + 7 y^{5} + 2 z^{3} - 1$
$7 k$

Definición de ecuaciones

Una vez que tenemos claro qué son las expresiones matemáticas, podemos empezar a establecer conexiones entre ellas, para poder compararlas.

Si descomponemos la palabra ecuación obtenemos 'equa-ción'. Ahora bien, "equa" suena muy parecido a "igual", lo cual no es casual: una ecuación es una afirmación de que dos expresiones matemáticas serán iguales.

Una ecuación es una afirmación de que dos expresiones matemáticas serán iguales.

Una ecuación se expresa con un signo igual $=$ entre dos expresiones matemáticas. La palabra elegante para el signo igual es el símbolo de igualdad.

En pocas palabras, cualquier cosa con un signo igual es una ecuación. Suena sencillo, ¿verdad? Aquí tienes algunos ejemplos de ecuaciones:

$x = 2$
$a + b = c$
$x^{2} + y = 2$
$y - 2 = 5 y + 1$
$a^{2} - 5 a - 2 = 0$
$e^{πi} + 1 = 0$

Solución de una ecuación

Es importante señalar aquí que dos expresiones sólo pueden ser iguales en determinadas condiciones. Por ejemplo, si nos dicen $x - 2 = 0$ sabemos que se trata de una ecuación porque hay un símbolo de igualdad. Sin embargo, utilizando las reglas básicas de la suma, sabemos que la ecuación sólo puede ser cierta si $x = 2$ . Esto se llama la solución de la ecuación.

La solución de una ecuación es el conjunto de todos los valores que, cuando se sustituyen por las variables de la ecuación, hacen que la ecuación sea verdadera.

Definición de identidades

Algunas expresiones son siempre iguales entre sí, independientemente de los valores de las variables que contengan. En este caso se habla de identidad matemática:

Una identidad matemática es cuando dos expresiones matemáticas son siempre idénticas. Una identidad se expresa mediante el símbolo de identidad $\equiv$ que se parece un poco a un signo igual con una línea de más.

$2 x + 4 x \equiv 6 x$
$2 a^{2} + 3 a^{2} \equiv 5 a^{2}$
$11 x - 3 x \equiv 8 x$
$2 y + 3 y \equiv 5 y$
$9 p + p \equiv 10 p$

Diferencias entre identidades y ecuaciones

A menudo, uno de los mayores retos es determinar si algo es una ecuación o una identidad. En este apartado, hablaremos de cómo establecer si algo es una ecuación o una identidad y señalaremos la diferencia clave entre ambas.

Como se ha establecido, una ecuación muestra que dos expresiones son iguales. Sin embargo, puede que sólo sean iguales para un valor concreto. Por ejemplo, si tenemos $2 x + 1 = 5$ , esta ecuación sólo es cierta cuando $x = 2$ . En cambio, las identidades demuestran que dos expresiones son siempre idénticas. Por ejemplo, podríamos decir que $6 x^{2} + 2 x^{2} \equiv 8 x^{2}$ ya que, sea cual sea el valor de $x$ las dos expresiones son siempre iguales.

Si afirmamos la identidad $a x^{2} + b x \equiv 2 x^{2} + 3 x$ sabemos que el lado izquierdo es igual al lado derecho para todos los valores de $x$ porque tenemos un símbolo de identidad. Sin embargo, la única forma de que esto sea posible es si $a = 2$ y $b = 3$ . En este caso, tendríamos $2 x^{2} + 3 x \equiv 2 x^{2} + 3 x$ que sabemos que es cierto para todos los valores de $x$ .

Podríamos decir que, como las identidades muestran la igualdad entre expresiones, todas las identidades son ecuaciones. Sin embargo, no todas las ecuaciones son identidades, por lo que es importante que conozcas la diferencia clave entre ambas.

He aquí de nuevo el punto principal: Las ecuaciones muestran la igualdad bajo al menos una condición, las identidades muestran la igualdad bajo todas las condiciones.

Definición de fórmulas

Tenemos una cuarta cosa que considerar, y es una fórmula. Ya que estamos aquí, vale la pena mencionar que el plural de fórmula es fórmulas. Ahora, más definiciones y ejemplos...

Una fórmula es un tipo especial de ecuación que representa un hecho o una regla general con la que se puede trabajar.

Una fórmula matemática es un tipo de ecuación, ya que todas las fórmulas tienen un signo igual. Sin embargo, son ecuaciones con una finalidad concreta. Nos dan una forma de resolver algo. Por ejemplo, si quisiéramos convertir grados Fahrenheit a grados Celsius, podríamos utilizar una fórmula. Hay muchas fórmulas que son específicamente útiles para las matemáticas de GCSE, como la fórmula cuadrática, las fórmulas trigonométricas y también la fórmula de la velocidad, la distancia y el tiempo. En el siguiente ejemplo veremos algunas fórmulas concretas.

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Posiblemente se trate de una de las fórmulas más emblemáticas de las matemáticas de GCSE: la fórmula cuadrática. Este artículo no trata específicamente de la fórmula cuadrática, por lo que no hablaremos de ella con demasiada profundidad. Sin embargo, es sólo un recordatorio amistoso de que probablemente deberías aprenderla.

$m a s s = v o l u m e \times d e n s i t y$

De nuevo, este artículo no trata específicamente del volumen, la masa y la densidad, por lo que no necesitamos hablar de ello con demasiada profundidad. Sin embargo, ¡en algún momento tendrás que aprenderte esta fórmula! Significa que si tienes la densidad de un objeto y el volumen, puedes calcular la masa. Es muy útil.

$s p e e d = \frac{d i s \tan c e}{t i m e}$

Este es otro clásico. Velocidad, distancia y tiempo. Es necesario conocer esta fórmula, no sólo para las matemáticas de GCSE, sino también para la física. Pero una vez que la conoces, puedes calcular la velocidad de cualquier objeto en movimiento dada la distancia y el tiempo.

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Es el Teorema de Pitágoras. Sin embargo, por definición, también es una fórmula, ya que nos permite calcular una incógnita que, en este caso, es el lado que falta de un triángulo rectángulo. Necesitas saberlo para tus exámenes GCSE.

$v = u + a t$

Es una fórmula que relaciona la velocidad final de un objeto en movimiento con la velocidad inicial, el tiempo y la aceleración. Es una de las fórmulas del SUVAT con las que te puedes encontrar si estudias Matemáticas de nivel A. No es necesario que conozcas específicamente esta fórmula, basta con que sepas que es una fórmula, ya que nos permite calcular algo concreto (por ejemplo, la velocidad inicial, la velocidad final, la aceleración o el tiempo).

$E = m c^{2}$

Es posible que hayas visto esta fórmula antes. Es una de las fórmulas más famosas de Einstein que relaciona la masa con la energía y la velocidad de la luz. Es muy famosa, pero no es necesario que la conozcas para el GCSE de matemáticas. Simplemente tienes que saber que es una fórmula, ya que nos permite calcular algo.

Estos son sólo algunos ejemplos de algunas fórmulas que puedes o no necesitar conocer para tus exámenes de matemáticas de GCSE. Hay otras, pero en este artículo no se trata de repasarlas todas. Se trata, más bien, de ser capaz de ver una fórmula y, posteriormente, ser capaz de afirmar que se trata de una fórmula, en contraposición a una ecuación, identidad o expresión.

A continuación veremos algunos ejemplos relevantes para este tema. Necesitarás conocer las diferencias entre una expresión, una identidad, una ecuación y una fórmula, así que vamos a recapitular rápidamente las diferencias entre estas cuatro cosas.

Una expresión es un conjunto de términos matemáticos.
Una ecuación es cualquier cosa con un signo igual, de ahí 'equa' 'tión'.
Una identidad es cuando dos expresiones matemáticas son idénticas, lo que se denota con un símbolo de identidad, $\equiv$ .
Una fórmula es un tipo de ecuación en la que calculamos algo concreto, por ejemplo, la masa de un objeto.

Ejemplos de identidades y ecuaciones

Ahora que ya hemos definido en detalle algunos términos matemáticos, vamos a repasar algunas preguntas que te puedes encontrar en tu examen GCSE.

Etiqueta lo siguiente como identidad, ecuación, expresión o fórmula:

$A = {πr}^{2}$
$9 x + 8$
$x^{2} + 4 x + 3 = 0$
$4 x + x = 5 x$

Solución:

1. es la fórmula del área de un círculo. Nos permite calcular el área a partir del radio. Por tanto, la primera es una fórmula.

2. no tiene signo de igualdad, y es simplemente un conjunto de términos matemáticos unidos por un símbolo de suma. Por tanto, es una expresión.

3. tiene un signo de igualdad, y por tanto es una ecuación. Sólo es cierta para determinados valores de $x$ , ( $x = - 3, x = - 1$ ), por lo que no es una identidad.

4. tiene un signo igual y, por tanto, es una ecuación. Sin embargo, esta ecuación es cierta para todos los valores de $x$ por lo que es una identidad y puede expresarse mediante el símbolo de identidad $\equiv$ .

Para la siguiente identidad, calcula los valores de $a$ y $b$ :

$a x^{2} + b x^{2} + a x \equiv 5 x^{2} + 3 x$

Solución:

Sabemos que es una identidad, por lo que el lado izquierdo debe ser igual al lado derecho. El coeficiente de $x$ en el lado derecho es $3$ por lo que el coeficiente del lado izquierdo también debe ser $3$ . Por tanto, $a = 3$ .

En el lado izquierdo, podríamos agrupar los coeficientes de $x^{2}$ de la siguiente manera:

$(a + b) x^{2} + 3 x \equiv 5 x^{2} + 3 x$ . Por tanto, podríamos decir que $a + b = 5$ ya que el coeficiente de $x^{2}$ en ambos lados debe ser el mismo. Como ya sabemos que $a = 3$ podemos decir que $3 + b = 5$ y por tanto $b = 2$ . Por tanto $a = 3$ y $b = 2$ .

Ecuaciones e identidades - Puntos clave

Una expresión es un conjunto de términos matemáticos, relacionados mediante operaciones matemáticas.
Una ecuación es cualquier relación matemática expresada con un signo igual.
Una identidad es cuando dos expresiones matemáticas son siempre idénticas.
Una fórmula es una ecuación que nos permite resolver algo concreto.
Las identidades se expresan mediante el símbolo $\equiv$ que es como un signo igual con una línea más.
La diferencia entre una ecuación y una identidad es que las ecuaciones afirman la igualdad bajo una condición concreta, mientras que las identidades demuestran que dos expresiones son siempre iguales.

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Preguntas frecuentes sobre Ecuaciones e Identidades

¿Qué es una ecuación en matemáticas?

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se cumple para ciertos valores de las variables.

¿Qué es una identidad matemática?

Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores posibles de las variables involucradas.

¿Cuál es la diferencia entre una ecuación y una identidad?

La diferencia es que una ecuación se cumple solo para ciertos valores de las variables, mientras que una identidad se cumple para todos los valores posibles.

¿Cómo se resuelve una ecuación?

Para resolver una ecuación, se deben encontrar los valores de las variables que hacen que la igualdad sea cierta.

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