Generación de términos de una secuencia

¿Te has preguntado alguna vez cómo puedes averiguar cuál será tu salario dentro de 5 años si aumenta una cantidad constante cada año? Jake gana un salario anual de 27.000€, llamémoslo "x" y tiene un incremento anual llamémoslo "y". Para averiguar el salario anual de Jake en los próximos 3 años puedes utilizar la expresión x+y, x+2y, x+3y. Este es un ejemplo de secuencia. Puede ser útil entender cómo generar términos de una secuencia por muchas razones de la vida real.

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Índice de temas

    Definición general de una secuencia

    Una secuencia es un conjunto de números que siguen todos un determinado patrón o regla.

    Hay distintos tipos de secuencias, como las aritméticas y las geométricas.

    Una secuencia aritmética es un tipo de secuencia que aumenta o disminuye mediante una suma o resta constante. Esto se conoce como diferencia común.

    Una secuencia geométrica es un tipo de secuencia que aumenta o disminuye por una multiplicación o división constante. Esto se conoce como razón común.

    Generar términos de una secuencia cálculos

    Puede ser útil poder generar términos de una secuencia. Esto puede hacerse utilizando la regla término a término o la regla posición a término.

    Regla término a término

    La regla término a término es una forma de que los términos de una secuencia sean crecientes o decrecientes. Para utilizar esta regla debes hallar la diferencia común o el cociente común, según el tipo de secuencia que tengas. Una vez que sepas cómo hallar la diferencia/cociente común, podrás utilizar la regla término a término para generar términos de una secuencia.

    Secuencias aritméticas

    Para utilizar la regla término a término en una secuencia aritmética, primero tienes que calcular la diferencia común entre un término y el siguiente, lo que suele hacerse restando un término del término anterior.

    Halla la diferencia común de 3, 7, 11, 15, 19...

    Solución:

    Para empezar puedes restar el segundo término del primero, y después comprobar que la diferencia es constante comprobando la diferencia entre cada uno de los términos.

    7-3=4

    11-7=4

    15-11=4

    19-15=4

    Aquí puedes ver que cada uno de los términos tiene una diferencia de 4, por lo que la diferencia común es 4.

    Secuencias geométricas

    Para hallar la regla término a término de una sucesión geométrica necesitas dividir un término por el término anterior.

    Halla el cociente común para 5, 10, 20, 40...

    Solución:

    Para hallar la razón común puedes dividir un término por el término anterior, luego puedes comprobar que la diferencia entre cada término es constante;

    10÷5=2

    20÷10=2

    40÷20=2

    Aquí puedes ver que el cociente común es 2.

    Utilizar la regla término a término para generar términos de una secuencia

    Para utilizar la regla término a término para hallar los siguientes términos de una secuencia, basta con calcular la diferencia común/cociente y utilizar ese número para hallar los siguientes términos.

    Utiliza la regla término a término para hallar los 3 siguientes términos de la siguiente secuencia: 6, 11, 16, 21...

    Solución:

    Halla la diferencia común calculando la diferencia entre cada término para asegurarte de que es constante.

    11-6=5

    16-11=5

    21-16=5

    Aquí puedes ver que la diferencia común es 5. Como ya lo sabes, puedes utilizar esta información para hallar los siguientes términos de la sucesión. Esto se hace sumando 5 al último término para hallar el siguiente.

    21+5=26

    26+5=31

    31+5=36

    Por tanto, para la secuencia 6, 11, 16, 21... la diferencia común es 5 y los tres términos siguientes son 26, 31 y 36.

    Regla de la posición al término

    La regla de posición a término se refiere a la posición en la que se encuentra cada término, ya que cada término tiene su propia posición. Esta regla se puede utilizar para crear una fórmula para una secuencia, que te permitirá generar términos de una secuencia. Dentro de la fórmula, se puede escribir en términos de n. El término enésimo representa un término concreto dentro de una secuencia.

    Cálculo de la regla de posición a término

    Como cada término de una secuencia tiene una posición, puedes calcularla y utilizarla para crear una fórmula para la secuencia.

    Veamos la secuencia; 10, 11, 12, 13, 14...

    Solución:

    Para mostrar visualmente cómo identificar la posición de cada uno de estos términos, los pondremos en una tabla.

    PosiciónTérmino
    110
    211
    312
    413
    514

    Para crear la fórmula, tienes que tener en cuenta cómo llegan los términos desde la posición al término, por ejemplo, para llegar desde la posición 1 al término 10 añades 9. De nuevo, para llegar de la posición 2 al término 11, añades 9 y así sucesivamente. Esto significa que la fórmula se escribirá como

    n+9

    Utilizar la regla de posición a término para generar términos de una secuencia

    Para utilizar la regla de posición a término para generar términos de una secuencia, puedes sustituir el término n-ésimo en la fórmula dada, lo que te dará el término correspondiente a esa posición.

    Encuentra los tres primeros términos de la secuencia donde 2n+6

    Solución:

    Como necesitas hallar los tres primeros términos de la sucesión, sólo tienes que sustituir las posiciones 1, 2 y 3 en la fórmula para hallar el valor de los términos;

    2(1)+6=8

    2(2)+6=10

    2(3)+6=12

    Por tanto, los tres primeros términos de la sucesión 2n+6 son 8, 10, 12.

    Ejemplos generales de términos de una sucesión

    Encuentra los tres primeros términos de la sucesión donde 4n-2 utilizando la regla de posición a término.

    Solución:

    Como necesitas hallar los tres primeros términos de la sucesión, basta con sustituir las posiciones en la fórmula.

    4(1)-2=2

    4(2)-2=6

    4(3)-2=10

    Por tanto, los tres primeros términos de la sucesión 4n-2 son 2, 6, 10.

    Utiliza la regla término a término para hallar los 3 términos siguientes de la sucesión siguiente; 4, 12, 36, 108...

    Solución:

    Empieza por hallar la constante entre cada uno de los términos:

    12÷4=3

    36÷12=3

    108÷36=3

    Aquí puedes ver que el cociente común es 3, ahora que lo sabes puedes utilizar esta información para hallar los siguientes términos de la sucesión. Esto se hace multiplicando el último término por 3 para hallar el siguiente término;

    108×3=324

    324×3=972

    972×3=2916

    Por tanto, los 3 siguientes términos de la sucesión son 324, 972 y 2916.

    Generar términos de una secuencia - Puntos clave

    • Una secuencia es un conjunto de números que siguen un determinado patrón o regla.
    • Para generar términos dentro de una secuencia puedes utilizar la regla término a término o la regla posición a término.
    • La regla término a término es una forma de describir el modo en que los términos de una secuencia son crecientes o decrecientes. Para generar el siguiente término de una secuencia, puedes sumar, restar, dividir o multiplicar el último término por la regla término a término.
    • La regla de posición a término se refiere a la posición en la que se encuentra cada término y puede ayudarte a generar una fórmula que te permita generar términos de una secuencia.
    Preguntas frecuentes sobre Generación de términos de una secuencia
    ¿Qué es una secuencia en matemáticas?
    Una secuencia es una lista ordenada de números que sigue un patrón específico.
    ¿Cómo se encuentra el término general de una secuencia?
    El término general se encuentra mediante una fórmula que representa el patrón de la secuencia.
    ¿Qué es una secuencia aritmética?
    Una secuencia aritmética es aquella en la que la diferencia entre términos consecutivos es constante.
    ¿Qué es una secuencia geométrica?
    Una secuencia geométrica es aquella en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante.

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