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Factorización de ecuaciones cuadráticas

La factorización consiste en determinar los términos que deben multiplicarse para obtener una expresión matemática. Por ejemplo, observa la siguiente expresión cuadrática:

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Última actualización: 01.01.1970
Tiempo de lectura: 7 min

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$x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$

En este ejemplo $x^{2} - 16$ se ha factorizado, ya que hemos determinado los términos que hay que multiplicar para obtener esta expresión: $(x + 4) (x - 4)$ .

La factorización es un método que puede utilizarse para resolver ecuaciones cuadráticas. Veamos cómo hacerlo continuando con el ejemplo anterior:

$x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4) = 0 x_{1} = 4 a n d x_{2} = - 4$

Determinar el valor de estos intersticios x es lo que resuelve la ecuación. Son las raíces de la ecuación, que es cuando la ecuación = 0.

¿Cómo se factorizan las ecuaciones cuadráticas?

Podemos factorizar ecuaciones cuadráticas de una de las siguientes maneras:

Tomando el máximo común divisor (MCD)

Tomar el máximo común divisor es cuando determinamos el Máximo Común Factor que divide por igual a todos los demás términos. Para dominar este método de factorización, primero tienes que entender la propiedad distributiva, que es cuando resolvemos expresiones en forma de a(b+c) en ab+ac. Por ejemplo, mira cómo se utiliza este método con la expresión cuadrática que aparece a continuación:

$8 x^{2} (4 x + 5) = 8 x^{2} \cdot 4 x + 8 x^{2} \cdot 5 = 32 x^{3} + 40 x^{2}$

Ahora que ya hemos visto las propiedades distributivas, utilicemos el ejemplo y los pasos siguientes para ver cómo podemos factorizar tomando el máximo común divisor:

$12 x^{2} + 8 x = 0$

Paso 1: Encuentra el máximo común divisor identificando los números y variables que cada término tiene en común.

12 x^{2} = 4 \cdot 3 \cdot x \cdot x 8 x = 4 \cdot 2 \cdot x

Los números y variables que más aparecen son 4 y x, por lo que nuestro FVCM=4x. Paso 2 : Escribe cada término como producto del mayor factor común y otro factor, es decir, las dos partes del término. Puedes determinar el otro factor dividiendo tu término por tu FGC.

\frac{12 x^{2}}{4 x} = 3 x ∴ 12 x^{2} = 4 x \cdot 3 x \frac{8 x}{4 x} = 2 ∴ 8 x = 4 x \cdot 2

Paso3: Una vez reescritos tus términos, reescribe tu ecuación cuadrática de la siguiente forma:

a b + a c = 0 12 x^{2} + 8 x = 4 x (3 x) + 4 x (2) = 0

Paso 4 : Aplica la ley de la propiedad distributiva y factoriza tu mayor factor común.

4 x (3 x) + 4 x (2) = 4 x (3 x + 2) = 0

Paso 5 (resolver la ecuación cuadrática): Iguala la expresión factorizada a 0 y resuelve las intersecciones x.

x_{1} : 4 x = 0 x_{1} = 0 x_{2} : 3 x + 2 = 0 x_{2} = \frac{- 2}{3}

También se puede utilizar la factorización mediante la eliminación de los factores comunes. Este método es similar a la agrupación para resolver Ecuaciones cuadráticas, con un coeficiente principal igual a 1.

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Paso 1: Enumera los valores de a, b y c.

$a = 1 b = - 6 c = 8$

Paso2 : Encuentra dos números que sean producto de la constante (c) y sumen el coeficiente x (-6).

1 \times 8 = 8 2 \times 4 = 8 - 2 \times - 4 = 8

Los dos números son -2 y -4, ya que se pueden utilizar para sumar a -6, es decir, teniendo -2 y -4. 1 y 8 no se pueden ordenar de ninguna manera que los haga iguales a 8. Paso 3: Resta estos números de x y forma dos Factores binomiales. Si fueran -2 y +4, por ejemplo, restarías 2 a x y sumarías 4 a x.

x^{2} - 6 x + 8 = (x - 2) (x - 4)

Paso 4 (resolver la ecuación cuadrática): Iguala los Factores binomiales a 0 y resuelve las intersecciones de x.

x_{1} : x - 2 = 0 x = 2 x_{2} : x - 4 = 0 x = 4

Método del cuadrado perfecto

Utilizar el método del cuadrado perfecto para factorizar es cuando transformamos un trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ o $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ en un binomio cuadrado perfecto, ${(a + b)}^{2} o r {(a - b)}^{2}$ . Todos los trinomios cuadrados perfectos con una variable tienen una raíz.

$x^{2} + 14 x + 49$ es un trinomio cuadrado perfecto que se transformaría en el binomio cuadrado perfecto de ${(x + 7)}^{2}$ . Su raíz en este trinomio será x=-7. La gráfica de este trinomio sería así:

Factorización de ecuaciones cuadráticas cuadrado perfecto trinomio parábola StudySmarter Parábola de un trinomio cuadrado perfecto, Nicole Moyo-StudySmarter Originals

Veamos cómo aplicar el método del cuadrado perfecto:

$x^{2} - 10 x + 25 = 0$

Paso 1: Transforma tu ecuación de la forma estándar $a x^{2} - b x + c = 0$ en un trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

$x^{2} - 10 x + 25 = x^{2} - 2 (x) (5) + 5^{2}$

Paso 2: Transforma el trinomio cuadrado perfecto en un binomio cuadrado perfecto , ${(a - b)}^{2}$ .

$x^{2} - 2 (x) (5) + 5^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Paso 3 (resolver la ecuación cuadrática): Calcula el valor de la intersección x igualando el binomio cuadrado perfecto a 0 y resolviendo para x.

${(x - 5)}^{2} = 0 \sqrt{{(x - 5)}^{2}} = \pm \sqrt{0} x - 5 = 0 x = 5$ Como puedes ver, tiene una raíz y se representaría gráficamente así:

Factorización de ecuaciones cuadráticas solución gráfica StudySmarter Solución gráfica de un trinomio cuadrado perfecto, Nicole Moyo-StudySmarter Originals

Agrupación

Agrupar es cuando agrupamos términos que tienen un factor común antes de factorizarlos. Este método se suele utilizar para factorizar Ecuaciones cuadráticas con un coeficiente principal (a) mayor que 1. La agrupación se puede hacer siguiendo los pasos que se indican a continuación:

$3 x^{2} + 10 x - 8$

Paso1: Enumera los valores de a, b y c.

a = 3 b = 10 c = - 8

Paso 2: Encuentra los dos números tales que su producto sea igual a ac y la suma sea igual a b.

$a c = - 24 b = 10 1 \cdot 24 = 24 2 \cdot 12 = 24 - 2 + 12 = 10$ Los dos números son -2 y 12, ya que se pueden utilizar para sumar a 10, es decir, teniendo -2 y +12. 1 y 24 no se pueden ordenar de ninguna manera que los haga iguales a 10.

Paso3: Utiliza estos factores para separar el término x (bx) en la expresión/ecuación original.

$3 x^{2} + 10 x - 8 = 3 x^{2} - 2 x + 12 x - 8$

Paso 4: Utiliza la agrupación para factorizar la expresión.

$(3 x^{2} - 2 x) + (12 x - 8) = x (3 x - 2) + 4 (3 x - 2) = (x + 4) (3 x - 2)$

Paso 5 (cómo resolver la ecuación cuadrática): Iguala la expresión factorizada a 0 y resuelve para x.

$(x + 4) (3 x - 2) = 0 x_{1} : x + 4 = 0 x = - 4 x_{2} : 3 x - 2 = 0 x = \frac{2}{3}$

Factorización de ecuaciones cuadráticas - Puntos clave

Factorizar es determinar qué términos deben multiplicarse entre sí para obtener una expresión matemática.
Tomar el máximo común divisor es un método de factorización en el que determinamos el máximo común divisor que divide por igual a todos los demás términos.
Utilizar el método del cuadrado perfecto es otra forma de factorizar, en la que transformamos un trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} o r a^{2} - 2 a b + b^{2}$ en un binomio cuadrado perfecto, ${(a + b)}^{2} o r {(a - b)}^{2}$ .
La agrupación también es un método de factorización en el que agrupamos los términos que tienen un factor común antes de factorizar.

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Preguntas frecuentes sobre Factorización de ecuaciones cuadráticas

¿Qué es la factorización de ecuaciones cuadráticas?

La factorización de ecuaciones cuadráticas es el proceso de encontrar dos binomios que, multiplicados entre sí, producen la ecuación cuadrática original.

¿Cómo se factoriza una ecuación cuadrática?

Para factorizar una ecuación cuadrática, busca dos números que multipliquen el término constante y sumen el coeficiente del término lineal.

¿Cuándo es posible factorizar una ecuación cuadrática?

Es posible factorizar una ecuación cuadrática cuando existe un par de números que cumplen con las condiciones para crear dos binomios que igualen la ecuación.

¿Qué son las raíces de una ecuación cuadrática?

Las raíces de una ecuación cuadrática son los valores de la variable que hacen que la ecuación sea igual a cero.

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