Sector de un círculo

Un sector de una circunferencia es un área de una circunferencia en la que dos de sus lados son radios. A continuación se muestra un ejemplo de sector (en rojo):

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¿Qué es un sector?

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¿Cómo se halla el sector de un círculo?

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Hay dos fórmulas para hallar el área de un sector de una circunferencia. ¿Qué decide cuál utilizas?

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¿Qué es la longitud de un arco?


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El círculo A tiene un diámetro de 10 cm. Un sector del círculo A tiene un ángulo de 120. ¿Cuál es el área de este sector?


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El círculo B tiene un diámetro de 4 cm. Un sector del círculo B tiene un ángulo de 20. ¿Cuál es el área de este sector?


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El círculo D tiene un radio de 10 cm. Un sector del círculo D tiene un ángulo de 60. ¿Cuál es la longitud de arco de este sector?


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El círculo E tiene un diámetro de 15 cm. Un sector del círculo E tiene un ángulo de 90. ¿Cuál es la longitud de arco de este sector?


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¿Qué son los radianes?


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El círculo F tiene un diámetro de 9 cm. Un sector del círculo E tiene un ángulo de 115. ¿Cuál es la longitud de arco de este sector?


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El círculo G tiene un radio de 5 cm. Dentro del círculo G hay un sector con un ángulo de 1,2 radianes. ¿Cuál es el área de este sector?


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    Sector de un círculo diagrama de sector StudySmarterUn sector de un círculo -EstudiarMás Originales

    La longitud de un arco es una parte de la circunferencia (perímetro) del círculo. Para el mismo sector, podríamos tener un arco como el que se muestra en verde:

    Sector de un círculo diagrama de longitud de arco StudySmarterLongitud del arco de un círculo - StudySmarter Originals

    Teoremas del sector del círculo donde el ángulo está en grados

    Puede que ya estés familiarizado con esto, pero vamos a ver cómo calcular el área y la longitud de arco de un sector de círculo cuando el ángulo está dado en grados.

    Cálculo del área de un sector de circunferencia

    La fórmula para calcular el área de un sector con un ángulo \(\theta\) es

    \(\text{Área de un sector} = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\theta}{360}\)

    donde r es el radio del círculo

    El círculo A tiene un diámetro de 10 cm. Un sector del círculo A tiene un ángulo de 50. ¿Cuál es el área de este sector?

    • En primer lugar, tenemos que calcular el radio del círculo. Esto se debe a que la fórmula del área de un sector utiliza este valor en lugar del diámetro.

    \(\text{diámetro = radio} \cdot 2\)

    \(\text{radio} = \frac{text{diámetro}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \space cm)

    • A continuación, sustituye tus valores en la fórmula del área de un sector.
    \(\text{Área de un sector} = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{50}{360} = 10,9 cm^2 (3 \space s.f.)\)

    Cálculo de la longitud de arco de un sector de una circunferencia

    La fórmula para calcular la longitud de arco de un sector con un ángulo \(\eta\) es

    \(\text{Longitud de arco de un sector}: \pi \cdot d \cdot \frac{\theta}{360}\) donde d es el diámetro del círculo:

    El círculo B tiene un radio de 12 cm. Un sector dentro del círculo B tiene un ángulo de 100. ¿Cuál es la longitud del arco de este sector?

    • En primer lugar, la fórmula de la longitud de arco de un sector requiere el diámetro del círculo en lugar del radio.
    \(\text{Diámetro} = r \cdot 2 = 2 \cdot 12 = 24 cm\)
    • A continuación, puedes sustituir tus valores de la pregunta en la fórmula
    \(\text{Longitud de arco de un sector} = \pi \cdot 24 \cdot \frac{100}{360} = 20,9 cm^2 \space (3 s.f.)\)

    Teoremas del sector circular donde el ángulo está en radianes

    • También debes ser capaz de calcular la longitud del arco y el área de un sector de círculo cuyo ángulo esté expresado en radianes.

    • Los radianes son una unidad alternativa a los grados que podemos utilizar para medir un ángulo en el centro del círculo.

    • Para recapitular, algunas conversiones comunes de grados a radianes.

    GradosRadianes
    \(6)

    \(4)

    \(3)

    \(2)

    \(\pi\pi)

    \(\frac{3\pi}{2})

    \(2 \pi\)

    Cálculo del área de un sector de circunferencia

    Para calcular el área de un sector de una circunferencia con un ángulo \(\theta^r\), la fórmula que debes utilizar es

    \(\text{Área de un sector} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \theta\)

    donde r es el radio del círculo.

    El círculo C tiene un radio de 15 cm. Dentro del círculo C hay un sector con un ángulo de 0,5 radianes. ¿Cuál es el área de este sector?

    • Como todas las variables tienen la forma requerida en la fórmula, puedes sustituir sus valores en la fórmula.
    \(\text{Área de un sector} = \frac{ 1}{2} \cdot 15^2 \cdot 0,5 = 56,3 cm^2 \space (3 s.f.)\)

    Cálculo de la longitud de arco de un sector de una circunferencia

    Para calcular la longitud de arco de un sector de una circunferencia con un ángulo \(\theta^r\), la fórmula que debes utilizar es:

    \(\text{Longitud de arco de un sector} = r \cdot \theta\), donde r es el radio del círculo.

    Un sector del círculo D tiene un ángulo de 1,2 radianes. El círculo D tiene un diámetro de 19. ¿Cuál es la longitud de arco de este sector?

    • La fórmula requiere el radio en lugar del diámetro.

    \(\text{Diámetro = Radio} \cdot 2\text{Radio} = \frac{text{Diámetro}}{2} = \frac{19}{2} = 9,5\)

    • A continuación, puedes sustituir estos valores en la fórmula \(\text{Longitud de arco de un sector} = 9,5 \cdot 1,2 = 11,4 \space cm\)

    Sector de un círculo - Puntos clave

    • Un sector de circunferencia es la proporción de una circunferencia en la que dos de sus lados son radios. La longitud del arco del sector es la proporción de la circunferencia que recorre la longitud del sector del círculo.
    • Si el ángulo en el centro del círculo está en grados, la fórmula para hallar el área del sector es \(\text{Área de un sector} = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\theta}{360}\). Para calcular la longitud del arco, la fórmula es

    \(\text{Longitud de arco de un sector} = \pi \cdot d \cdot \frac{\theta}{360}\)

    • Si el ángulo del círculo está en radianes, la fórmula para hallar el área del sector es \(\text{Área de un sector} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \theta). Para calcular la longitud de arco del sector, la fórmula es: \text(\text{Longitud de arco} = r \cdot \theta\)
    Preguntas frecuentes sobre Sector de un círculo
    ¿Qué es un sector de un círculo?
    Un sector de un círculo es una porción del círculo delimitada por dos radios y el arco entre ellos.
    ¿Cómo se calcula el área de un sector circular?
    El área de un sector se calcula con la fórmula: (θ/360) x π x r², donde θ es el ángulo en grados y r el radio.
    ¿Cuál es la fórmula para encontrar la longitud del arco de un sector?
    La longitud del arco en un sector se encuentra con: (θ/360) x 2πr, donde θ es el ángulo y r el radio.
    ¿Qué representa el ángulo central en un sector de un círculo?
    El ángulo central de un sector es el ángulo formado por los dos radios que delimitan el sector.

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