Segmento de un círculo

Unidades para el ángulo del segmento de una circunferencia

Al calcular el área o la circunferencia de un segmento de una circunferencia, el ángulo en el centro de la circunferencia que define el segmento puede expresarse en radianes o en grados.

• Los grados son denotados por ${}^{\circ }$ . En grados, una rotación completa equivale a ${360}^{\circ }$.
• Los radianes son otro tipo de unidad para los ángulos. Se definen por la relación entre el radio del círculo y la longitud del arco del círculo y se denotan por ${}^r$. En radianes, una rotación completa es igual a $2{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{r}}$.

Hallar el área de un segmento de una circunferencia cuando el área está en radianes

Para hallar el área de un segmento de una circunferencia (la parte azul), necesitas conocer el ángulo en el centro donde los radios cortan la cuerda (x) y el radio:

Triángulo formado por el ángulo que define el segmento - StudySmarter Originals

Fórmulas para hallar el área de un segmento de circunferencia cuando el ángulo está en radianes

Para hallar el área de un segmento menor de una circunferencia cuando el ángulo en el centro (x) está en radianes, la fórmula es:

$Minorsegment=\frac{1}{2}\times r^2\times (x-\sin (x\left)\right)$

Para hallar el área de un segmento mayor de una circunferencia cuando el ángulo en el centro está en radianes, la fórmula es:

$Majorsegment=(\mathrm{\pi }\times {\mathrm{r}}^2)-[\frac{1}{2}\times {\mathrm{r}}^2\times (\mathrm{x}-\sin \left(\mathrm{x}\right)\left)\right]$

El círculo A tiene un segmento menor resaltado en rosa.

1. Halla el área del segmento menor.
2. Halla el área del segmento mayor.

a. Encontrar el segmento menor

1. Empieza por definir las características del segmento: $Radius=9;Angle=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$
2. Sustitúyelo en la fórmula:

$Minorsegment=\frac{1}{2}\times r^2\times (x-\sin (x\left)\right)$$Minorsegment=\frac{1}{2}\times 9^2\times (\frac{\mathrm{\pi }}{3}-Sin(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\left)\right)$

Segmento menor = 7,64 unidades cuadradas (3 pies cuadrados)

b. Hallar el área del segmento mayor

• Para hallar el segmento mayor, resta el segmento menor del área del círculo.

$Majorsegment=(\mathrm{\pi }\times {\mathrm{r}}^2)-[\frac{1}{2}\times {\mathrm{r}}^2\times (\mathrm{x}-\mathrm{Sin}\left(\mathrm{x}\right)\left)\right]$

$MajorSegment=(\mathrm{\pi }\times 9^2)-[\frac{1}{2}\times 9^2\times (\frac{\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{Sin}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)\left)\right]$

Segmento mayor = 247 unidades cuadradas (3 pies cuadrados)

Hallar el área de un segmento de una circunferencia cuando el ángulo está en grados

Sigues necesitando conocer el radio y el centro del círculo, pero ahora existe una fórmula diferente.

Fórmulas para hallar el área de un segmento de una circunferencia cuando el ángulo está en grados

La fórmula para hallar el segmento menor de una circunferencia, cuando el ángulo en el centro (x) está en grados:

$Minorsegment=\left(\frac{x\times \mathrm{\pi }}{360}-\frac{\sin \left(x\right)}{2}\right)\times r^2$

Para hallar el segmento mayor de una circunferencia cuando el ángulo en el centro (x) está en grados, la fórmula es:

$Majorsegment=(\mathrm{\pi }\times {\mathrm{r}}^2)-\left[\left(\frac{\mathrm{x}\times \mathrm{\pi }}{360}-\frac{\sin \left(\mathrm{x}\right)}{2}\right)\times {\mathrm{r}}^2\right]$

Utiliza el mismo principio que cuando el ángulo está en radianes: tienes que restar el segmento menor de toda el área del círculo.

Longitudes de arco

El método para calcular la longitud de arco de un segmento es el mismo que para calcular la longitud de arco de un sector.

• Para hallar la longitud de arco cuando el ángulo en el centro (x) que define el segmento está en radianes:

$ArcLength=r\times x$

• Para hallar la longitud del arco cuando el ángulo en el centro (x) que define el segmento está en grados:

$ArcLength=x\times r\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}$