Expresiones y Fórmulas

Cuando era adolescente, nunca me gustaron los PROBLEMAS DE PALABRAS, no porque fueran difíciles, sino por el nombre PROBLEMA DE PALABRAS. ¿No podría haberse llamado palabra-tarea, palabra-matemáticas, o palabra-cualquier cosa pero no PROBLEMA porque la palabra, PROBLEMA, en sí misma era psicológicamente un problema para mí? Sin embargo, no mucho después, empecé a comprender que, efectivamente, estos PROBLEMAS se abordan mejor cuando se expresan en álgebra, ecuaciones y fórmulas.

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    Por eso, a partir de ahora, aprenderás sobre la evaluación de expresiones y fórmulas algebraicas, sus reglas y pasos, junto con algunos ejemplos fascinantes para hacer malabarismos con tu memoria. ¡Vamos EXPRESIÓN, no PROBLEMA!

    Evaluación de expresiones algebraicas con ejemplos

    Las expresiones son ilustraciones de números, variables y términos que se combinan mediante operaciones como la suma, la resta, la división y la multiplicación. En otras palabras, son frases que utilizan los matemáticos para comunicar sus ideas.

    Tratándose de expresiones algebraicas, se utilizan sobre todo letras para representar números. Estas letras se llaman variables. La combinación de estas letras con números y operaciones matemáticas es lo que se denomina expresión algebraica. Utilizando \(x\) como variable, podemos ver algunos ejemplos de expresiones algebraicas.

    1. \(2x + 1\)
    2. \(23 - 5 + x^2\)
    3. \(x^2+6x+(-3)\)

    ¿Cómo expresaría un matemático este detalle: "Dentro de \(5\) años un padre tendría el doble de la edad actual de su hijo"?

    Solución:

    Sea la edad actual del padre \(f\) y la de su hijo \(s\). Dentro de 5 años la edad del padre sería

    \[f+5\]

    Pero nos dijeron que su edad sería el doble de la de su hijo para entonces, así que esto puede expresarse como:

    \[2s\]

    Si esto se combinara para que tuviera sentido, se convertiría en:

    \[f+5=2s\]

    Esa es la forma en que un matemático representaría esa información.

    Variables, términos y coeficientes

    Las variables son las letras componentes de las expresiones. Son los que distinguen las expresiones de las operaciones aritméticas. Los términos son los componentes de las expresiones que se separan mediante sumas o restas. Los coe ficientes son los factores numéricos que multiplican las variables.

    Por ejemplo, si tuviéramos la expresión \(x^2y^2+6xy+(-3)\), podríamos identificar \(x\) y \(y\) como los componentes variables de la expresión. El número \(6\) se identifica como el coeficiente del término \(6xy\). El número \(-3\) se denomina constante. Los términos identificados aquí son \ (x^2y^2\), \(6xy\) y \(-3\).

    Podemos tomar algunos ejemplos y clasificar sus componentes en variables, coeficientes o términos.

    1. \(\frac{4}{5}y+14x-3\)
    2. \(2^2-4x\)
    3. \(\frac{1}{2}+x^2y^3\)

    Expresiones

    Variables

    Coeficientes

    Constantes

    Términos

    \(\frac{4}{5}y+14x-3\)

    \(x\) y \(y\)

    \(\frac{4}{5}\) y \(14\)

    \(-3\)

    \(\frac{4}{5}y\), \(14x\) y \(-3\)

    \(2^2-4x\)

    \(x\)

    \(-4\)

    \(2^2\)

    \(2^2) y (-4x)

    \(\frac{1}{2}+x^2y^3\)

    \(x\) y \(y\)

    \(1\) (aunque no se muestra, técnicamente es el coeficiente de \(x\) y \(y\))

    \(\frac{1}{2}\})

    \(\frac{1}{2}\), \(x^2y^3)

    Reglas para evaluar expresiones

    Las reglas que se siguen al evaluar expresiones se denominan también leyes de la expresión algebraica.

    Regla de conmutatividad

    La regla de conmutatividad se aplica a las operaciones de suma y multiplicación. Establece que la posición del término (número, variable, etc.) que sufre alguna de estas operaciones (suma o multiplicación) no es determinante del resultado. Esto significa que si vas a hallar la suma entre \(x\) y \(y\) o el producto entre \(x\) y \(y\), el resultado no cambiará aunque \(y\) se sitúe en primer lugar y \(x\) en segundo lugar en la operación.

    Conmutatividad significa:

    \[x+y=y+x\]

    o

    \[x\times y=y\times x\]

    A continuación, prueba los números con esto.

    Demuestra la ley conmutativa con lo siguiente:

    a. \(5+3\)

    b. \(6 veces 11)

    Solución:

    a. Observa que

    \[5+3=8\]

    y

    \[3+5=8\]

    Por tanto

    \[5+3=3+5\]

    Por tanto, la expresión anterior cumple la regla de conmutatividad.

    b. Observa que

    \[6 veces 11=66\]

    y

    \11 veces 6 = 66].

    Por tanto

    \[6\times 11=11\times 6\]

    Por tanto, la expresión anterior cumple la regla de conmutatividad.

    Observa que cuando la regla de conmutatividad implica la suma, se denomina conmutatividad aditiva. En cambio, cuando interviene la multiplicación, se denomina conmutatividad multiplicativa.

    Regla de la asociatividad

    La regla de la asociatividad se aplica tanto a las operaciones de suma como a las de multiplicación. Explica que la segregación o agrupación (mediante paréntesis o corchetes) no afecta al resultado de las sumas o productos. Esto significa que si se segregan \(x\) y \(y\) y se multiplican por separado antes de multiplicar con \(z\), sigue siendo equivalente a multiplicar un segregado de \(y\) y \(z\) antes de multiplicar con \(x\). Esta regla también se aplica a la suma.

    Asociatividad significa

    \[(x+y)+z=x+(y+z)\]

    o

    \[(x\times y)\times z=x\times (y\times z)\].

    Prueba con los números que aparecen a continuación.

    Demuestra la propiedad asociativa utilizando lo siguiente:

    a. \((5+3)+7\)

    b. \((3+2)+4)

    Solución:

    a. Calculando,

    \[(5+3)+7=8+7=15\]

    y

    \[5+(3+7)=5+10=15\]

    Por tanto, la expresión anterior obedece a la regla asociativa.

    b. Calculando

    \[(3 veces 2)\4=6 veces 4=24\]

    y

    \[3 veces (2 veces 4)=3 veces 8=24\].

    En serio, la expresión anterior muestra una propiedad asociativa.

    Observa que cuando la regla de asociatividad implica la suma se denomina asociatividad aditiva. En cambio, cuando interviene la multiplicación, se denomina asociatividad multiplicativa.

    Regla de distributividad

    La ley de distributividad se aplica cuando las operaciones de suma y multiplicación se realizan simultáneamente (al mismo tiempo). Establece que cuando un término se multiplica por un segregado (agrupado entre paréntesis) que opera en adición, el resultado es equivalente a la suma del producto entre ese término y los componentes individuales del segregado. Los componentes individuales del segregado se conocen como sumandos. Esto implica que cuando un determinado término \(x\) se multiplica por una suma segregada de \(y\) y \(z\), es equivalente a la suma de los productos de \(x\) y \(y\), así como de \(x\) y \(z\).

    Distributividad significa:

    \[x\veces (y+z)=xy+xy\]

    donde \(y\) y \(z\) se llaman cada uno el sumando de la suma \((y+z)\).

    Deberías ver el ejemplo siguiente, en el que se utilizan números, para tener una idea más clara.

    Determina la ley distributiva utilizando la expresión siguiente:

    \[5 veces (4+3)|].

    Solución:

    En primer lugar

    \5 veces (4+3)=5 veces 7=35].

    y en el segundo caso

    \5 veces (4+3)=(5 veces 4)+(5 veces 3)=35].

    que es

    \[5veces (4+3)=20+15=35\]

    Por tanto, la expresión \(5+3)\ cumple la regla de distributividad.

    Pasos para evaluar expresiones y fórmulas

    Para evaluar una expresión, debes seguir dos pasos.

    1. Sustituye el valor asignado a cada variable en la expresión. La mejor forma de hacerlo es utilizando paréntesis alrededor de cada valor sustituido.

    2. Realiza operaciones en las expresiones utilizando el Orden de Operaciones.

    Utiliza PEMDAS. Echa un vistazo al artículo Orden de operaciones para entenderlo bien.

    Si \(x = 6\), evalúa \(6+x\).

    Solución:

    Sustituye \(6\),

    \[6 + 6 \]

    \[12\]

    Evalúa la expresión siguiente si \(x = 3\), y \(y = 2\).

    \[6y+4x=?\\]

    Solución:

    \[6(2)+4(3)=?\]

    \[12+12=24\]

    Evalúa \[2x^3-x^2+y\]

    si \(x = 3\), y \(y = -2\).

    Solución:

    \[2x^3-x^2+y\]

    \[2(3)^3-(3)^2+(-2)\]

    \[2(27)-9+(-2)\]

    \[54-9+(-2)\]

    \[43\]

    Evalúa \[y^2-y-6\]

    donde \(y = -4\).

    Solución:

    \[(-4)^2-(-4)-6\]

    \[16+4-6\]

    \[14\]

    Recuerda que restar un negativo es lo mismo que sumar un positivo.

    Reglas de evaluación de fórmulas

    Al igual que las reglas que se han utilizado antes para describir expresiones, las fórmulas se definen mediante las reglas de conmutatividad, asociatividad y distributividad. Sin embargo, en la evaluación de fórmulas es habitual una regla adicional. Se trata de la regla de la función inversa. Esta regla te ayuda a deshacer lo que se ha hecho para conseguir expresar un término de tu elección. En la tabla siguiente se enumeran algunas de las funciones inversas.

    Función (operación)Función inversaEjemplo
    \(+\)\(-\)\(a+b=c\) entonces \(a=c-b\)
    \(-\)\(+\)\(x-y=z\) entonces \(x=z+y\)
    \(\veces \)\(\div \)\(a\times b=ab\) entonces \(ab\div b=a\)
    \(a veces abdiv b=a)\(\times \)\(x\div y=z\) entonces \(x=z\veces y\)
    potenciasraíces\(a^n=b\) entonces \(a=sqrt[n]{b}\)
    raícespotencias\(\sqrt[y]{x}=z) entonces \(x=z^y\)

    ¿Cómo evaluar fórmulas?

    Evaluar fórmulas no es tan distinto de cómo se evalúan las expresiones. Las fórmulas contienen variables, coeficientes, constantes y términos. Basta con sustituir un valor en una fórmula y operar aritméticamente con ellos. Veamos ejemplos de fórmulas y cómo se pueden evaluar.

    Halla la fuerza si la masa de un objeto es \(20\, \text{kg}\) y la aceleración es \(5\, \text{ms}^{-2}\).

    Solución:

    \Fuerza = masa por aceleración].

    Sustituiremos los números en la ecuación.

    \Fuerza = 20 veces 5].

    \[\text{Force}=100\, \text{N}\]

    Evalúa el tiempo que ha tardado un objeto que se ha movido a través de \(3600\, \text{m}) en \(2\, \text{ms}^{-1}}).

    Solución:

    \[\text{Time}=\frac{\text{Distance}}{\text{Speed}}\]

    Según el problema,

    \[\text{Distance}=3600\, \text{m}\]

    \[\text{Speed}=2\,\text{ms}^{-1}\]

    Sustituye los números en la fórmula

    \[\text{Time}=\frac{3600}{2}\]

    \[\text{Time}=1800\, \text{seconds}\]

    Expresiones y fórmulas - Puntos clave

    • Las variables son los componentes de las letras de las expresiones.
    • Los términos son los componentes de las expresiones que se separan por suma o resta.
    • Para evaluar una expresión, sustituye el valor asignado a cada variable en la expresión y realiza operaciones con ellos aritméticamente.
    Preguntas frecuentes sobre Expresiones y Fórmulas
    ¿Qué es una expresión matemática?
    Una expresión matemática es una combinación de números, variables y operadores (como +, -, *, /) que representan un valor.
    ¿Cómo se simplifica una expresión algebraica?
    Simplificar una expresión algebraica implica reducirla a su forma más simple, combinando términos semejantes y realizando operaciones básicas.
    ¿Qué es una fórmula en matemáticas?
    Una fórmula en matemáticas es una regla o ecuación que describe una relación entre diferentes variables.
    ¿Cuál es la diferencia entre una expresión y una ecuación?
    Una expresión representa un valor y no incluye el signo '='; una ecuación establece una igualdad entre dos expresiones.

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