Reglas del Seno y del Coseno

La regla del seno

Para un triángulo con la forma anterior, la fórmula de la regla del seno se define como

$\frac{\sin \left(A\right)}{a}=\frac{\sin \left(B\right)}{b}=\frac{\sin \left(C\right)}{c}$También podemos escribirla como:

$\frac{a}{\sin \left(A\right)}=\frac{b}{\sin \left(C\right)}=\frac{c}{\sin \left(C\right)}$

• Cuando hay dos ángulos y un lado dados, y necesitamos hallar la longitud de otro lado.
• Cuando hay dos longitudes y un ángulo dados, y necesitamos hallar otro ángulo.

La regla del coseno

Utilizando el mismo ejemplo, la fórmula de la regla del coseno se define como: a² = b² + c²-2bc - cos (A)

Si reordenamos esto para dar A, obtenemos: $A=arc\cos \left(\frac{c²+b²-a²}{2bc}\right)$Utilizamos la regla del coseno cuando intervienen tres longitudes y un ángulo. Las preguntas nos darán tres lados y tendremos que hallar un ángulo, o nos darán dos lados y un ángulo, y tendremos que hallar la longitud del lado.

¿Cómo se derivan las reglas del seno y del coseno?

Ahora que hemos visto qué es cada regla y cómo funcionan, veremos cómo llegamos a cada una de ellas derivándolas a partir de los primeros principios. Al principio pueden parecer complicadas, pero utilizaremos algo de trigonometría y el teorema de Pitágoras.

Derivación de la regla del seno

Empecemos con un triángulo como el anterior, pero tracemos una línea hacia abajo desde el ángulo superior, de modo que ahora tengamos dos triángulos rectángulos, y llamemos a esta línea h, como se muestra a continuación.

Utilizando la trigonometría, tenemos que sin (A) = h / c, y sin (C) = h / a. Ahora podemos reordenarlos para h y obtener h = c sin (A) y h = a sin (C). Hazlos iguales entre sí para obtener c sen (A) = a sen (C). Ahora se reordenan en $\frac{\sin \left(A\right)}{a}=\frac{\sin \left(C\right)}{c}$o lo que es lo mismo $\frac{a}{\sin \left(A\right)}=\frac{c}{\sin \left(C\right)}$. Podemos repetir este método con los otros dos ángulos para obtener los resultados. Así llegamos al resultado deseado de$\frac{\sin \left(A\right)}{a}=\frac{\sin \left(B\right)}{b}=\frac{\sin \left(C\right)}{c}$

Derivación de la regla del coseno

Ahora haremos lo mismo con la regla del coseno. Empezamos con el mismo triángulo, trazamos la misma recta hacia abajo para crear dos triángulos rectángulos, y llamamos a esta recta h. Llamamos D al punto que esta recta toca por abajo y afirmamos que un lado de la recta tiene longitud x, y el otro $b-x$como se muestra a continuación.

Por el teorema de Pitágoras sobre el triángulo de la izquierda, obtenemos x² + h² = c², y lo reordenaremos de la siguiente manera

x² = c²-h²......... (1) Haciendo lo mismo con el triángulo rectángulo, obtenemos $(b-x)²+h²=a²$y lo expandiremos a b²-2bx + x² + h² = a²....... ... (2) Si tomamos el coseno del ángulo A, obtenemos cos (A) = x / c, que se reordena a

$c\times \cos \left(A\right)=x$..........(3). Ahora sustituiremos (1) y (3) en (2), utilizando (1) para deshacernos de la x², y (3) para sustituir la x en 2bx. Sustituyendo en: b² -2b (c - cos (A)) + c²-h² + h² = a². Podemos simplificarlo a a² = b² + c²-2bc - cos (A), que es nuestro resultado deseado.