Irracionales

Las surdas son expresiones que contienen una raíz cuadrada, una raíz cúbica u otras raíces. Son raíces de números que producen como resultado un número irracional, con infinitos decimales. Por tanto, se dejan en su forma de raíz para representarlas más exactamente. Por ejemplo, \(\sqrt2, \sqrt 3, \sqrt5, \sqrt 6, \sqrt 7, 2\sqrt 2\).

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Índice de temas

    Recuerda que un número irracional es un tipo de número que no puede representarse como fracción.

    Simplificar los surds

    Para simplificar surds, necesitas recordar las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos. Si el número dentro de la raíz de una surd tiene un número cuadrado como factor, entonces se puede simplificar.

    \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt 4 \cdot \sqrt 3 = 2 \cdot \sqrt 3 = 2\sqrt3\)

    Los pasos a seguir para simplificar surds son:

    • Escribe el número dentro de la raíz como la multiplicación de sus factores. Uno de los factores debe ser un número cuadrado.

    \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3}\)

    • Divide los factores en raíces separadas

    \(cuadrado 4 = cuadrado 4 = cuadrado 3)

    • Simplifica los términos

    \(\sqrt 4 \cdot \sqrt 3 = 2 \cdot \sqrt 3\)

    • Elimina el símbolo de multiplicación

    \(2 \cdot \sqrt 3 = 2\sqrt3\)

    ¿Cuáles son las normas para utilizar surds?

    Cuando trabajes con surds, debes recordar las siguientes reglas:

    • Multiplicar surds:Siempre que el índice de las raíces sea el mismo,puedes multiplicar sur ds con distintos números dentro de la raíz simplemente combinándolas en una raíz y multiplicando los números dentro de la raíz. Del mismo modo, puedes dividir una raíz en raíces separadas utilizando factores.

    \(\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{a \cdot b}\)

    \(cuadrado 2 en lugar de cuadrado 5 = cuadrado 2 en lugar de 5 = cuadrado 10)

    • Dividir surdos: Del mismo modo, siempre que el índice de las raíces sea el mismo, puedes dividir sur ds con números diferentes dentro de la raíz combinándolos en una raíz y dividiendo los números dentro de la raíz.

    \(\frac {cuadrado a} {cuadrado b} = \cuadrado {cuadrado a} {cuadrado b})

    \(\frac {cuadrado 10}} {cuadrado 2} = \cuadrado {cuadrado 10} {2} = \cuadrado 5)

    • Multiplicar una raíz cuadrada por sí misma: Si multiplicas la raíz cuadrada de un número por sí misma, obtendrás el valor original.

    \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a\)

    \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3\)

    • Multiplicar un número por un surd: Al multiplicar un número por un surd, el orden de los factores no importa, y el resultado debe ser el número seguido del surd.

    \(a \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b} \cdot a = a\sqrt{b}\)

    \(3\cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot 3 = 3\sqrt{2}\)

    • Sumar o restar surdos: Para sumar o restar surds, el número dentro de las raíces debe ser el mismo. Sumas o restas los números que están fuera de la raíz.

    \(a+b) = (a+b). = (a+b)-cuadrt{x})

    \(a/cuadrado x - b = (a-b)x)

    \(5\icrt{3} + 2\icrt{3} = (5+2)|cuadrado{3} = 7\3)

    \(5\3} - 2\sqrt{3} = (5-2)\2sqrt{3} = 3\3qrt}\3)

    Para sumar o restar surdos, puede que primero tengas que simplificarlos para encontrar términos semejantes.

    No puedes sumar \(\sqrt{2} + \sqrt{8}\), pero antes puedes simplificar \(\sqrt{8}\),

    \(\sqrt 8 = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt2\)

    Entonces puedes resolver \(\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)

    • Multiplicar paréntesis que contienen surdos: Para multiplicar paréntesis que contienen surdos, cada término del primer paréntesis debe multiplicarse por cada término del segundo paréntesis. Luego puedes combinar términos similares.

    \(\begin{align} 2 +qsqrt{3})(5 +qsqrt{3}) &= 2 \cdot 5 + 2 +qsqrt{3} + 5 \icuadro{3} + (\sqrt3)^2 |=10 +7\sqrt3+3 |=13 +7\sqrt3 |end{align}\})

    Racionalizar el denominador de fracciones que contienen surds

    El objetivo de racionalizar el denominador de fracciones que contienen surdos es eliminar el surdo del denominador. La estrategia para hacerlo es multiplicar el numerador y el denominador por el surd.

    • Si el denominador sólo contiene un surd:

    Racionaliza el denominador en la siguiente expresión: \(\frac{5}{\sqrt3}\)

    Utilizando las reglas: \(a \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b} \cdot a = a\sqrt b\) y \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a\)

    \frac{5} {\sqrt3} = \frac{5} {\sqrt3} \cdot \frac{5\sqrt3}{\sqrt3} = \frac{5\sqrt3}{(\sqrt3)^2} = \frac{5\sqrt3}{3})

    • Si el denominador contiene un surd y un número racional: En este caso, tienes que multiplicar el numerador y el denominador por la expresión del denominador, pero con el signo del medio cambiado, es decir, si es (+) cámbialo por ( -) y viceversa. Esta expresión se llama conjugada.

    Racionaliza el denominador en la siguiente expresión: \(\frac{(\sqrt6 + 3)}{(\sqrt6 -2)}\)

    El conjugado de \ ((\sqrt6 - 2)\) es ((\sqrt6 + 2)\)

    Multiplicando los paréntesis y combinando los términos semejantes, puedes ver que los sumandos del denominador se anulan entre sí.

    \(\frac{(\sqrt6 + 3)}{(\sqrt6 -2)} \cdot \frac{(\sqrt6 + 2)}{(\sqrt6 +2)} = \frac{6 +2sqrt6+3sqrt6 +6}{6 +\cancel{2sqrt6 -2sqrt6}-4} = \frac{12 +5sqrt6}{2}\)

    Surds - Puntos clave

    • Las surdas son expresiones que contienen una raíz cuadrada, una raíz cúbica u otras raíces, que dan como resultado un número irracional, con infinitos decimales. Se dejan en su forma de raíz para representarlas con mayor precisión.

    • Para multiplicar y dividir surds con números diferentes dentro de la raíz, el índice de las raíces debe ser el mismo.

    • Para sumar o restar surdos, el número del interior de las raíces debe ser el mismo.

    • Para sumar o restar surdos, es posible que primero haya que simplificarlos.

    • Si el número que hay dentro de la raíz de una surd tiene como factor un número cuadrado, entonces se puede simplificar.

    • El objetivo de racionalizar el denominador de las fracciones que contienen surds es eliminar el surd del denominador.

    Preguntas frecuentes sobre Irracionales
    ¿Qué son los números irracionales?
    Los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como una fracción exacta de dos enteros.
    ¿Cuál es un ejemplo de un número irracional?
    Un ejemplo de un número irracional es el número pi (π), que no tiene una representación exacta como fracción.
    ¿Cómo se reconocen los números irracionales?
    Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales no repetitivas, como la raíz cuadrada de 2.
    ¿Son los números irracionales útiles en la vida real?
    Sí, los números irracionales se utilizan en cálculos de precisión en ingeniería, ciencias y matemáticas.

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    ¿Cuál es la simplificación correcta de \(\sqrt{20}\)?

    ¿Cuál de ellas es equivalente a \(7\sqrt{2}\)?

    ¿Cómo racionalizarías la fracción \[ \frac{4}{\sqrt{2}}?

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