Factorización de expresiones

Factoriza las siguientes expresiones.

a) $15x+25y$

b) $2x+4xy$

c) $7pq+2ab-21bq+4ap$

Solución:

a)

$15x+25y$

En este caso, no es necesario reordenar la expresión para hallar el DGC. ¿Cuál es el mayor número o expresión que puede dividir 15x y 25y sin que quede resto? El DGC es 5.

A continuación, divide cada una de las expresiones por 5 para obtener el resultado (macronúmero). Así,

$$\begin{gathered} \frac{(15x+25y)}{5}=\frac{15x}{5}+\frac{25y}{5} \\ \frac{(15x+25y)}{5}=3x+5y \end{gathered}$$

Ahora, abre un paréntesis, coloca el DGC fuera del paréntesis y el resultado (macrónimo) dentro del paréntesis. Deberías llegar a,

$\mathbf{5}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathit{y}\mathbf{)}$

Esto significa que al factorizar

$\mathbf{15}\mathit{x}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{25}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathit{y}\mathbf{)}$

b)

$2x+4xy$

En este caso, no es necesario reordenar la expresión para hallar el DGC. ¿Cuál es el mayor número o expresión que puede dividir 2x y 4xy sin que quede resto? El DGC es 2x.

A continuación, divide cada una de las expresiones por 2x para obtener el resultado (macronúmero). Así,

$$\begin{gathered} \frac{(2x+4xy)}{2x}=\frac{2x}{2x}+\frac{4xy}{2x} \\ \frac{(2x+4xy)}{2x}=1+2y \end{gathered}$$

Ahora, abre un paréntesis, coloca el DGC fuera del paréntesis y el resultado (macrónimo) dentro del paréntesis. Deberías llegar a,

$\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{y}\mathbf{)}$

Esto implica que al factorizar

$\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathit{x}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{y}\mathbf{)}$

c)

$7pq+2ab-21bq+4ap$

Lo primero que hay que hacer es reordenar la expresión juntando los términos semejantes. Utiliza el mejor camino posible para conseguirlo. Por ejemplo, 2ab y -21bq pueden agruparse, pero sólo b es el DGC entre los términos de ese par, en comparación con cuando se agrupan 2ab y 4ap, lo que puede hacerse como se indica a continuación,

$7pq+2ab-21bq+4ap=7pq-21bq+2ab+4ap$

Lo siguiente es separar los pares con paréntesis para ver fácilmente qué grupos estás factorizando, asegúrate de que tienes un signo más entre paréntesis.

$7pq-21bq+2ab+4ap=(7pq-21bq)+(2ab+4ap)$

Ahora factoriza lo que tienes en el paréntesis por separado siguiendo los pasos explicados anteriormente. Así

$$\begin{gathered} \frac{(7pq-21bq)}{7q}=\frac{7pq}{7q}-\frac{21bq}{7q} \\ \frac{(7pq-21bq)}{7q}=p-3b \\ 7pq-21bq=7q(p-3b) \end{gathered}$$

Del mismo modo, para el otro par, tenemos

$$\begin{gathered} \frac{(2ab+4ap)}{2a}=\frac{2ab}{2a}+\frac{4ap}{2a} \\ \frac{(2ab+4ap)}{2a}=b+2p \\ 2ab+4ap=2a(b+2p) \end{gathered}$$

Ahora que has factorizado con éxito los pares, vuelve a juntarlos pero esta vez en sus formas factorizadas. Así

$\mathbf{7}\mathit{q}\mathbf{(}\mathit{p}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{a}\mathbf{(}\mathit{b}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{p}\mathbf{)}$

Esto implica que

$\mathbf{7}\mathit{p}\mathit{q}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{2}\mathit{a}\mathit{b}\mathbf{-}\mathbf{21}\mathit{b}\mathit{q}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathit{a}\mathit{p}\mathbf{=}\mathbf{7}\mathit{q}\mathbf{(}\mathit{p}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{a}\mathbf{(}\mathit{b}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{p}\mathbf{)}$

Factoriza lo siguiente.

a) $4x+2y-10$

b) $3x+y-9$

Solución:

a)

$4x+2y-10$

Halla el DGC, el DGC aquí es 2, divide por 2 siguiendo los mismos pasos explicados en los ejemplos anteriores y obtendrás,

$4x+2y-10=\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{)}$

b)

$3x+y-9$

Aquí no hay un factor común entre los tres términos, sin embargo, hay un factor común entre dos de los términos. Esto significa que puedes agruparlos para llegar a,

$3x+y-9=3x-9+y$

Ahora, pon un paréntesis separando los términos que vas a factorizar con un factor común de los que no se pueden dividir por el factor común.

$3x-9+y=(3x-9)+y$

Ahora puedes factorizar lo que está en el paréntesis por el DGC, que es 3. Evita manipular el otro término o términos fuera del paréntesis.

$$\begin{gathered} \frac{(3x-9)}{3}=\frac{3x}{3}-\frac{9}{3} \\ \frac{3x}{3}-\frac{9}{3}=x-3 \end{gathered}$$

Así que has factorizado para obtener,

$3x-9=3(x-3)$

Ahora puedes volver a sumar los otros términos fuera del paréntesis para completar la expresión.

$3x+y-9=\mathbf{3}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathit{y}$

Factoriza las siguientes expresiones.

a) $x^2-5x+6$

b) $2x^2+9x+4$

Solución:

a)

$x^2-5x+6$

Lo primero que hay que hacer es multiplicar la constante 6 por ^x2 para obtener ^6x2. Recuerda que la regla del producto dice,

$\alpha \beta =ac$

ac es el coeficiente de ^x2 y en este caso es 6.

Ahora, escribe el producto factorial de 6 considerando tanto los números positivos como los negativos. Esto incluye:

$2\times 3=6$,

$-2\times (-3)=6$,

$1\times 6=6$

y

$-1\times (-6)=6$

Ahora que tienes posibles factores, necesitas saber qué par cumpliría la regla de la suma. Recuerda que:

$\alpha +\beta =b$

Por tanto, buscamos la suma de los factores que daría el coeficiente de x que es -5 de esta pregunta. Veamos la suma de los pares.

$$\begin{gathered} 2+3=5 \\ \mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{5} \\ 1+6=7 \\ -1+(-6)=-7 \end{gathered}$$

Esto significa que nuestro par de factores correcto es -2 y -3.

Lo siguiente es sustituir -5x por nuestros factores sabiéndolo,

$$\begin{gathered} -5x=-2x+(-3x) \\ -5x=-2x-3x \end{gathered}$$

Por tanto,

$x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6$

Ahora sólo tienes que seguir los pasos explicados anteriormente y factorizar colocando primero los paréntesis y poniendo un signo más para separar ambos paréntesis.

$x^2-2x-3x+6=(x^2-2x)+(-3x+6)$

Luego factoriza con el DGC de cada expresión entre paréntesis.

$(x^2-2x)+(-3x+6)=x(x-2)-3(x-2)$

Al factorizar ecuaciones cuadráticas, debes asegurarte de que los resultados (macronimos) son los mismos en ambos paréntesis. En este caso, tenemos (x-2) en ambos paréntesis.

El siguiente paso es bastante interesante, suma los factores fuera del paréntesis y ponlos dentro de un paréntesis, y elimina uno de los paréntesis semejantes de modo que tengas dos paréntesis separados sin signo entre los paréntesis. Haz esto y tendrás

$\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}$

Por tanto

$x^2-5x+6=\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}$

b)

$2x^2+9x+4$

Lo primero que hay que hacer es multiplicar la constante 4 por ^2x2 para obtener ^8x2. Recuerda que la regla del producto dice

$\alpha \beta =ac$

ac es el coeficiente de ^x2 y, en este caso, es 8.

Ahora, escribe el producto factorial de 8 considerando tanto los números positivos como los negativos. Esto incluye:

$2\times 4=8$,

$-2\times (-4)=8$,

$1\times 8=8$

y

$-1\times (-8)=8$

Ahora que tienes los posibles factores, necesitas saber qué par cumpliría la regla de la suma. Recuerda que:

$\alpha +\beta =b$

Por tanto, buscamos la suma de los factores que daría el coeficiente de x, que en esta pregunta es 9. Veamos la suma de los pares.

$$\begin{gathered} 2+4=6 \\ -2+(-4)=-6 \\ \mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{8}\mathbf{=}\mathbf{9} \\ -1+(-8)=-9 \end{gathered}$$

Esto significa que nuestro par de factores correcto es 1 y 8.

Lo siguiente es sustituir 9x por nuestros factores sabiéndolo,

$9x=x+8x$

Por tanto,

$2x^2+9x+4=2x^2+x+8x+4$

Ahora sólo tienes que seguir los pasos explicados anteriormente y factorizar colocando primero los paréntesis y poniendo un signo más para separar ambos paréntesis.

$2x^2+x+8x+4=(2x^2+x)+(8x+4)$

Luego factoriza con el DGC de cada expresión entre paréntesis.

$(2x^2+x)+(8x+4)=x(2x+1)+4(2x+1)$

Al factorizar ecuaciones cuadráticas, debes asegurarte de que los resultados (macronimos) son los mismos en ambos paréntesis. En este caso, tenemos (2x+1) en ambos paréntesis.

El siguiente paso es bastante interesante, suma los factores fuera del paréntesis y ponlos dentro de un paréntesis, y elimina uno de los paréntesis semejantes de modo que tengas dos paréntesis separados sin signo entre los paréntesis. Haz esto y tendrás

$\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}$

Por tanto,

$2x^2+9x+4=\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}$

Resuelve lo siguiente.

$14{(k+1)}^2+21(k+1)$

Solución:

Para factorizar

$14{(k+1)}^2+21(k+1)$

tienes que expandir la expresión. Así,

$$\begin{gathered} 14{(k+1)}^2+21(k+1)=14(k+1)(k+1)+21k+21 \\ (k+1)(k+1)=k^2+2k+1 \\ 14(k+1)(k+1)+21k+21=14(k^2+2k+1)+21k+21 \\ 14(k^2+2k+1)+21k+21=14k^2+28k+14+21k+21 \end{gathered}$$

Junta los términos semejantes.

$$\begin{gathered} 14k^2+28k+14+21k+21=14k^2+28k+21k+14+21 \\ 14k^2+28k+21k+14+21=14k^2+49k+35 \end{gathered}$$

Observando la expresión$14k^2+49k+35$puedes ver que hay un factor común que es 7. Aplica los pasos explicados anteriormente y llegarás a

$14k^2+49k+35=7(2k^2+7k+5)$

Ahora, la expresión$7(2k^2+7k+5)$puede factorizarse aún más factorizando $(2k^2+7k+5)$que es una expresión cuadrática. Pon a prueba lo que has aprendido hasta ahora sobre la factorización de la expresión $2k^2+7k+5$ y llegarás a

$2k^2+7k+5=(2k+5)(k+1)$

No olvides que tienes un 7 multiplicando por la expresión, por lo que la expresión factorizada es,

$$\begin{gathered} 7(2k^2+7k+5)=7(2k+5)(k+1) \\ 14{(k+1)}^2+21(k+1)=7(2k+5)(k+1) \end{gathered}$$

A Finicky le dieron 7 naranjas y 4 peras, mientras que a Indodo le dieron 3 naranjas y 11 peras. Expresa la suma de sus frutos en una expresión factorizada.

Solución:

Sean las naranjas x y las peras y. Así, las frutas recibidas por Finicky pueden expresarse como

$7x+4y$

mientras que los frutos recibidos por Indodo pueden expresarse como,

$3x+11y$

La suma de las frutas de Finicky y de Indodo sería:

$$\begin{gathered} (7x+4y)+(3x+11y)=7x+3x+4y+11y \\ 7x+3x+4y+11y=10x+15y \end{gathered}$$

Ahora que ya tienes la suma, factoriza la expresión.

$10x+15y=\mathbf{5}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{)}$