Factorización de expresiones

En un evento universitario muy celebrado llamado "día del trapo", yo y mi amigo Biodun nos disfrazamos con trajes diferentes. Sin embargo, la gente que nos vio dijo que éramos hermanos porque, aunque llevábamos disfraces distintos, los dos éramos de artes marciales. Aquí aprenderás a factorizar expresiones, un concepto que utilizaban inconscientemente nuestros observadores.

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    ¿Qué es factorizar expresiones?

    Factorizar expresiones es el proceso de simplificación de expresiones que da lugar al máximo común divisor (MCD) fuera del paréntesis y al resultado dentro del paréntesis.

    Una expansión entre el MCD y el resultado reproduciría la expresión original.

    Recordemos que, al principio de este estudio, yo y mi amigo Biodun nos habíamos disfrazado y se pensaba que estábamos emparentados. En realidad, nos factorizaron porque los observadores vieron lo que había de parecido entre nosotros.

    En expresiones como las comentadas aquí, las semejanzas se determinan hallando el mayor factor común. Por ejemplo, los números 6 y 4 tienen un número común entre ambos. Este número debe poder dividir tanto al 6 como al 4 sin que quede resto, ese número es el 2.

    Del mismo modo, 12 y 8 tienen 2 como divisor, sin embargo, 4 también es un divisor. En este caso, elegimos el 4 porque es un número mayor que el 2 y reduciría el 8 y el 12 a los resultados más pequeños.

    Cuando 2 divide a 12 y 8 el resultado es 6 y 4 respectivamente. Mientras, 4 dividiría 12 y 8 en 3 y 2 respectivamente.

    ¿Cómo se calcula la factorización de expresiones sencillas?

    Para factorizar expresiones sencillas, debes seguir los siguientes pasos:

    1. Reordena la expresión cuando sea necesario: esto se hace juntando los términos semejantes.

    2. Encuentra el máximo común divisor (MCD) entre los términos de la expresión.

    3. Divide los términos por el MCD.

    4. Abre un paréntesis.

    5. Coloca el MCD fuera del paréntesis y el resultado de la división dentro del paréntesis.

    Por tanto, tu expresión factorizada debe tener la forma

    a(x±y)

    Donde

    a es el DGC

    y x±y es el resultado.

    A menudo me refiero a lo que hay dentro de los corchetes como un macrónimo que significa acrónimo matemático, porque la mayoría de las siglas se encuentran dentro de un corchete

    Factoriza las siguientes expresiones.

    a) 15x + 25y

    b) 2x+ 4xy

    c) 7pq + 2ab-21bq+4ap

    Solución:

    a)

    15x + 25y

    En este caso, no es necesario reordenar la expresión para hallar el DGC. ¿Cuál es el mayor número o expresión que puede dividir 15x y 25y sin que quede resto? El DGC es 5.

    A continuación, divide cada una de las expresiones por 5 para obtener el resultado (macronúmero). Así,

    (15x+25y)5=15x5+25y5(15x+25y)5=3x+5y

    Ahora, abre un paréntesis, coloca el DGC fuera del paréntesis y el resultado (macrónimo) dentro del paréntesis. Deberías llegar a,

    5(3x+5y)

    Esto significa que al factorizar

    15x + 25y=5(3x+5y)

    b)

    2x+ 4xy

    En este caso, no es necesario reordenar la expresión para hallar el DGC. ¿Cuál es el mayor número o expresión que puede dividir 2x y 4xy sin que quede resto? El DGC es 2x.

    A continuación, divide cada una de las expresiones por 2x para obtener el resultado (macronúmero). Así,

    (2x+4xy)2x=2x2x+4xy2x(2x+4xy)2x=1+2y

    Ahora, abre un paréntesis, coloca el DGC fuera del paréntesis y el resultado (macrónimo) dentro del paréntesis. Deberías llegar a,

    2x(1+2y)

    Esto implica que al factorizar

    2x+4xy=2x(1+2y)

    c)

    7pq + 2ab-21bq+4ap

    Lo primero que hay que hacer es reordenar la expresión juntando los términos semejantes. Utiliza el mejor camino posible para conseguirlo. Por ejemplo, 2ab y -21bq pueden agruparse, pero sólo b es el DGC entre los términos de ese par, en comparación con cuando se agrupan 2ab y 4ap, lo que puede hacerse como se indica a continuación,

    7pq + 2ab-21bq+4ap=7pq-21bq+2ab+4ap

    Lo siguiente es separar los pares con paréntesis para ver fácilmente qué grupos estás factorizando, asegúrate de que tienes un signo más entre paréntesis.

    7pq-21bq+2ab+4ap=(7pq-21bq)+(2ab+4ap)

    Ahora factoriza lo que tienes en el paréntesis por separado siguiendo los pasos explicados anteriormente. Así

    (7pq-21bq)7q=7pq7q-21bq7q(7pq-21bq)7q=p-3b7pq-21bq=7q(p-3b)

    Del mismo modo, para el otro par, tenemos

    (2ab+4ap)2a=2ab2a+4ap2a(2ab+4ap)2a=b+2p2ab+4ap=2a(b+2p)

    Ahora que has factorizado con éxito los pares, vuelve a juntarlos pero esta vez en sus formas factorizadas. Así

    7q(p-3b)+2a(b+2p)

    Esto implica que

    7pq + 2ab-21bq+4ap=7q(p-3b)+2a(b+2p)

    ¿Cómo factorizar y expandir expresiones lineales?

    Las expresiones lineales son representaciones algebraicas en las que tanto las constantes como las variables están todas en la primera potencia. Tienen la forma

    3x+y-6

    sin embargo, la expresión

    3x+y2-6

    no es una expresión lineal porque y está en la segunda potencia.

    Al factorizar expresiones lineales, se siguen aplicando los pasos descritos anteriormente.

    Factoriza lo siguiente.

    a) 4x+2y-10

    b) 3x+y-9

    Solución:

    a)

    4x+2y-10

    Halla el DGC, el DGC aquí es 2, divide por 2 siguiendo los mismos pasos explicados en los ejemplos anteriores y obtendrás,

    4x+2y-10=2(2x+y-5)

    b)

    3x+y-9

    Aquí no hay un factor común entre los tres términos, sin embargo, hay un factor común entre dos de los términos. Esto significa que puedes agruparlos para llegar a,

    3x+y-9=3x-9+y

    Ahora, pon un paréntesis separando los términos que vas a factorizar con un factor común de los que no se pueden dividir por el factor común.

    3x-9+y=(3x-9)+y

    Ahora puedes factorizar lo que está en el paréntesis por el DGC, que es 3. Evita manipular el otro término o términos fuera del paréntesis.

    (3x-9)3=3x3-933x3-93=x-3

    Así que has factorizado para obtener,

    3x-9=3(x-3)

    Ahora puedes volver a sumar los otros términos fuera del paréntesis para completar la expresión.

    3x+y-9=3(x-3)+y

    Observa que al expandir la expresión factorizada se obtendría la expresión original. Si intentas expandirla y no obtienes la expresión original, eso indica que te has equivocado en uno o varios pasos. Por tanto, te aconsejamos que refactorices la expresión hasta que lo consigas.

    ¿Cómo se factorizan las expresiones cuadráticas?

    Las expresiones cuadráticas son expresiones de la forma

    ax2+bx+c

    donde a, b y c son números distintos de cero.

    Las expresiones cuadráticas se factorizan mediante la regla de la suma y el producto.

    Regla de la suma y el producto para factorizar expresiones cuadráticas

    La regla de la suma de expresiones cuadráticas establece que la suma de los dos factores de la ecuación cuadrática es igual al coeficiente de bx en la ecuación,

    ax2+bx+c

    que es b. Si los factores de la ecuación cuadrática son α y β, entonces:

    α+β=b

    Mientras tanto, la regla del producto establece que cuando esos dos factores se multiplican, el producto es igual al coeficiente de acx2. Por tanto,

    αβ=ac

    Por tanto, al hallar los factores de una ecuación cuadrática debes asegurarte de que los factores hallados cumplen la regla de la suma y del producto.

    Factoriza las siguientes expresiones.

    a) x2-5x+6

    b) 2x2+9x+4

    Solución:

    a)

    x2-5x+6

    Lo primero que hay que hacer es multiplicar la constante 6 por x2 para obtener 6x2. Recuerda que la regla del producto dice,

    αβ=ac

    ac es el coeficiente de x2 y en este caso es 6.

    Ahora, escribe el producto factorial de 6 considerando tanto los números positivos como los negativos. Esto incluye:

    2×3=6,

    -2×(-3)=6,

    1×6=6

    y

    -1×(-6)=6

    Ahora que tienes posibles factores, necesitas saber qué par cumpliría la regla de la suma. Recuerda que:

    α+β=b

    Por tanto, buscamos la suma de los factores que daría el coeficiente de x que es -5 de esta pregunta. Veamos la suma de los pares.

    2+3=5-2+(-3)=-51+6=7-1+(-6)=-7

    Esto significa que nuestro par de factores correcto es -2 y -3.

    Lo siguiente es sustituir -5x por nuestros factores sabiéndolo,

    -5x=-2x+(-3x)-5x=-2x-3x

    Por tanto,

    x2-5x+6=x2-2x-3x+6

    Ahora sólo tienes que seguir los pasos explicados anteriormente y factorizar colocando primero los paréntesis y poniendo un signo más para separar ambos paréntesis.

    x2-2x-3x+6=(x2-2x)+(-3x+6)

    Luego factoriza con el DGC de cada expresión entre paréntesis.

    (x2-2x)+(-3x+6)=x(x-2)-3(x-2)

    Al factorizar ecuaciones cuadráticas, debes asegurarte de que los resultados (macronimos) son los mismos en ambos paréntesis. En este caso, tenemos (x-2) en ambos paréntesis.

    El siguiente paso es bastante interesante, suma los factores fuera del paréntesis y ponlos dentro de un paréntesis, y elimina uno de los paréntesis semejantes de modo que tengas dos paréntesis separados sin signo entre los paréntesis. Haz esto y tendrás

    (x-3)(x-2)

    Por tanto

    x2-5x+6=(x-3)(x-2)

    b)

    2x2+9x+4

    Lo primero que hay que hacer es multiplicar la constante 4 por 2x2 para obtener 8x2. Recuerda que la regla del producto dice

    αβ=ac

    ac es el coeficiente de x2 y, en este caso, es 8.

    Ahora, escribe el producto factorial de 8 considerando tanto los números positivos como los negativos. Esto incluye:

    2×4=8,

    -2×(-4)=8,

    1×8=8

    y

    -1×(-8)=8

    Ahora que tienes los posibles factores, necesitas saber qué par cumpliría la regla de la suma. Recuerda que:

    α+β=b

    Por tanto, buscamos la suma de los factores que daría el coeficiente de x, que en esta pregunta es 9. Veamos la suma de los pares.

    2+4=6-2+(-4)=-61+8=9-1+(-8)=-9

    Esto significa que nuestro par de factores correcto es 1 y 8.

    Lo siguiente es sustituir 9x por nuestros factores sabiéndolo,

    9x=x+8x

    Por tanto,

    2x2+9x+4=2x2+x+8x+4

    Ahora sólo tienes que seguir los pasos explicados anteriormente y factorizar colocando primero los paréntesis y poniendo un signo más para separar ambos paréntesis.

    2x2+x+8x+4=(2x2+x)+(8x+4)

    Luego factoriza con el DGC de cada expresión entre paréntesis.

    (2x2+x)+(8x+4)=x(2x+1)+4(2x+1)

    Al factorizar ecuaciones cuadráticas, debes asegurarte de que los resultados (macronimos) son los mismos en ambos paréntesis. En este caso, tenemos (2x+1) en ambos paréntesis.

    El siguiente paso es bastante interesante, suma los factores fuera del paréntesis y ponlos dentro de un paréntesis, y elimina uno de los paréntesis semejantes de modo que tengas dos paréntesis separados sin signo entre los paréntesis. Haz esto y tendrás

    (x+4)(2x+1)

    Por tanto,

    2x2+9x+4=(x+4)(2x+1)

    Cabe señalar que se puede llegar a los factores de una expresión cuadrática utilizando otros métodos, como el método de completar el cuadrado, la fórmula del todopoderoso y el método gráfico.

    Otros ejemplos de factorización de expresiones

    Se puede lograr una mejor comprensión de las expresiones practicando tantos problemas como sea posible.

    Resuelve lo siguiente.

    14(k+1)2+21(k+1)

    Solución:

    Para factorizar

    14(k+1)2+21(k+1)

    tienes que expandir la expresión. Así,

    14(k+1)2+21(k+1)=14(k+1)(k+1)+21k+21(k+1)(k+1)=k2+2k+114(k+1)(k+1)+21k+21=14(k2+2k+1)+21k+2114(k2+2k+1)+21k+21=14k2+28k+14+21k+21

    Junta los términos semejantes.

    14k2+28k+14+21k+21=14k2+28k+21k+14+2114k2+28k+21k+14+21=14k2+49k+35

    Observando la expresión14k2+49k+35puedes ver que hay un factor común que es 7. Aplica los pasos explicados anteriormente y llegarás a

    14k2+49k+35=7(2k2+7k+5)

    Ahora, la expresión7(2k2+7k+5)puede factorizarse aún más factorizando (2k2+7k+5)que es una expresión cuadrática. Pon a prueba lo que has aprendido hasta ahora sobre la factorización de la expresión 2k2+7k+5 y llegarás a

    2k2+7k+5=(2k+5)(k+1)

    No olvides que tienes un 7 multiplicando por la expresión, por lo que la expresión factorizada es,

    7(2k2+7k+5)=7(2k+5)(k+1)14(k+1)2+21(k+1)=7(2k+5)(k+1)

    A Finicky le dieron 7 naranjas y 4 peras, mientras que a Indodo le dieron 3 naranjas y 11 peras. Expresa la suma de sus frutos en una expresión factorizada.

    Solución:

    Sean las naranjas x y las peras y. Así, las frutas recibidas por Finicky pueden expresarse como

    7x+4y

    mientras que los frutos recibidos por Indodo pueden expresarse como,

    3x+11y

    La suma de las frutas de Finicky y de Indodo sería:

    (7x+4y)+(3x+11y)=7x+3x+4y+11y7x+3x+4y+11y=10x+15y

    Ahora que ya tienes la suma, factoriza la expresión.

    10x+15y=5(2x+3y)

    Factorizar expresiones - Puntos clave

    • Factorizar expresiones es el proceso de simplificación de expresiones que da lugar al máximo común divisor (MCD) fuera del paréntesis y al resultado dentro del paréntesis.
    • Para factorizar expresiones sencillas, debes seguir algunos pasos.
    • Las expresiones lineales son representaciones algebraicas en las que tanto las constantes como las variables están todas en la primera potencia.
    • Las expresiones cuadráticas se factorizan aplicando la regla de la suma y el producto.
    Preguntas frecuentes sobre Factorización de expresiones
    ¿Qué es la factorización en matemáticas?
    La factorización en matemáticas es descomponer una expresión en un producto de factores más simples.
    ¿Cuál es el propósito de factorizar una expresión?
    El propósito de factorizar es simplificar una expresión, identificar raíces o resolver ecuaciones más fácilmente.
    ¿Cuáles son los métodos comunes de factorización?
    Los métodos comunes incluyen el uso de factores comunes, trinomios cuadrados perfectos y diferencias de cuadrados.
    ¿Cómo se factoriza un trinomio cuadrado?
    Para factorizar un trinomio cuadrado, se buscan dos números que multiplicados den el término constante y sumados den el coeficiente del término lineal.

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