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Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales en las que intervienen las mismas variables. No hay límite en el número de ecuaciones que puede tener un sistema lineal.
Estos sistemas lineales son un aspecto importante de las matemáticas, que pueden utilizarse para describir situaciones del mundo real, así como problemas más abstractos, como en álgebra lineal. En este artículo aprenderás a utilizar las ecuaciones lineales para construir sistemas lineales, y a resolver dichos sistemas.
Consideremos las ecuaciones yjuntas forman un sistema lineal. Trazando cada ecuación en un gráfico, podemos obtener una visión general del sistema lineal en su conjunto.
Ejemplo de un sistema lineal, John Hannah - StudySmarter Originals
Cómo construir un sistema lineal
A menudo, se nos puede presentar un problema o un escenario del mundo real que en realidad es un sistema lineal. Si somos capaces de reconocer que se está describiendo un sistema lineal y disponemos de la información correcta, podemos construirlo expresándolo algebraicamente. Veamos un ejemplo para ver cómo se hace esto.
Una mujer compra entradas para un concierto para sus tres hijos y una entrada de adulto para ella. El coste total de sus entradas es de 1.000 euros. Su amigo compra una entrada cada uno para él y su cónyuge para el mismo concierto, así como dos entradas para sus hijos. Su amigo pagó en total por sus entradas.
Solución:
En primer lugar, ¿cómo podemos reconocer que se trata de un sistema lineal? Bueno, el observador puede darse cuenta de que hay dos variables en el escenario, comunes a ambos compradores: el coste de la entrada de un niño y el coste de la entrada de un adulto. Al fin y al cabo, un sistema lineal no es más que un grupo de ecuaciones lineales en las que intervienen las mismas variables.
Ahora bien, ¿cómo construimos realmente nuestro sistema lineal a partir de esta información? Empezamos por etiquetar cada variable que hemos discernido. Digamos que x es el coste del billete de un niño, y es el coste de la entrada de un adulto. A partir de aquí, simplemente construimos dos ecuaciones a partir de la información anterior.
La información que se nos da dice que tres entradas de niño y una de adulto cuestan en total, por tanto...
Del mismo modo, nos dicen que dos entradas de niño y 2 de adulto cuestan en total, por tanto...
Y con esas ecuaciones, ¡acabamos de construir nuestro primer sistema lineal!
Cómo resolver sistemas lineales
Los sistemas lineales son útiles porque se pueden resolver. Por ejemplo, estas soluciones pueden servir para saber cuándo un corredor de una carrera puede adelantar al otro, o cuánto se pagó cada uno por una manzana y un plátano en la tienda.
La solución de un sistema lineal es la asignación de valores a cada variable de forma que todas las ecuaciones del sistema se cumplan. Visualizado en un gráfico, es el punto donde se cruzan las rectas de todas las ecuaciones.
Consideremos el sistema lineal que acabamos de construir relativo a las entradas de los conciertos de adultos y niños.
La solución de este sistema, presentada como un par ordenado, es comunica que la entrada de un niño cuesta y la de un adulto cuesta Prueba a introducir estos valores para y para demostrar que las ecuaciones se cumplen.
Tipos de sistemas lineales
Cualquier sistema lineal puede clasificarse en uno de dos tipos según el número de soluciones que posea; se dice que es consistente o inconsistente.
Se dice que un sistema lineal es consistente si tiene una o más soluciones. Además, un sistema lineal dependiente tiene infinitas soluciones, y un sistema independiente tiene una solución única.
Se dice que el siguiente sistema lineal es coherente e independiente porque tiene una solución única, que es (1, 3). Podemos decir que este sistema tiene solución porque vemos claramente que hay un punto en el que se cruzan las tres rectas.
Gráfica de un sistema lineal consistente e independiente, John Hannah - StudySmarter Originals
Se dice que el siguiente sistema lineal es coherente y dependiente, ya que tiene un número infinito de soluciones. Cuando se representa gráficamente aparece como una sola recta, sin embargo, hay dos ecuaciones en este sistema y son iguales en todos los puntos.
Gráfica de un sistema lineal consistente y dependiente, John Hannah - StudySmarter
Se dice que un sistema lineal es inconsistente si no tiene soluciones.
Se dice que el siguiente sistema lineal es incoherente porque no tiene solución. Podemos decir que este sistema no tiene solución porque vemos claramente que no hay ningún punto en el que se crucen las tres rectas. Esto se debe a que no hay valores dey para los que se cumplan las tres ecuaciones.
Gráfica de un sistema lineal inconsistente, John Hannah - StudySmarter Originals
Ejemplos de sistemas lineales
¿Cuáles de los siguientes son sistemas lineales?
(a)
(b)
(c)
(d)
Solución:
(a) Sistema no lineal (b ) Sistema lineal (c ) Sistema lineal ( d) Sistema lineal
Clasifica los siguientes sistemas lineales como dependientes coherentes, independientes coherentes o incoherentes.
(a)
Tipos de sistemas lineales ejemplo, John Hannah - StudySmarter Originals
(b)
Tipos de sistemas lineales ejemplo, John Hannah - StudySmarter Originals
(c)
Tipos de sistemas lineales ejemplo, John Hannah - StudySmarter Originals
Soluciones:
(a) Inconsistente (b ) Consistente, Independiente (c ) Consistente, dependiente
Sistemas lineales - Puntos clave
- Los sistemas lineales son conjuntos de ecuaciones lineales que comparten las mismas variables.
- No hay límite al número de ecuaciones o variables que pueden contener estos sistemas lineales.
- Dada la información suficiente, es posible construir un sistema lineal a partir de un escenario del mundo real.
- La solución de un sistema lineal es la asignación de valores a cada variable de modo que se cumplan todas las ecuaciones del sistema.
- Un sistema lineal puede tener una solución, un número infinito de soluciones o ninguna solución.
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