Derivación de ecuaciones: Conceptos, Ejemplos

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La razón de resolver una ecuación es intentar resolver algo. En las preguntas, esta "cosa" que intentas averiguar suele estar representada por una variable como $x$ o $y$ . Sin embargo, no es más que una abreviatura de una cantidad desconocida. $x$ Puede representar el coste de las manzanas en un supermercado, la edad de la hermana de Jack o incluso un ángulo desconocido en una forma. En este artículo, no sólo resolveremos ecuaciones, sino que formaremos ecuaciones para mostrarnos lo útil que puede ser resolver ecuaciones. El proceso de formar una ecuación se llama derivar una ecuación.

Significado de derivar ecuaciones

Resolvemos ecuaciones a menudo, pero ¿qué es realmente una ecuación? Si descomponemos la palabra, obtenemos equa+tion... 'Equa' se parece un poco a igual. Así pues, una ecuación es esencialmente cualquier cosa con un signo igual ; es una declaración de igualdad entre dos variables. Así pues, si nos plantean una pregunta con palabras que implique la igualdad de determinadas variables, podemos formar y resolver una ecuación.

En matemáticas, el proceso de formar una ecuación o fórmula matemática se llama derivar. Decimos que derivamos una ecuación para que nos ayude a resolver algo. En la sección siguiente, derivaremos ecuaciones y las resolveremos para calcular una cantidad desconocida.

Una variable es una letra o símbolo que representa un valor desconocido. A menudo definimos $x$ y $y$ para las variables, pero puede ser cualquier letra o símbolo que represente una cantidad desconocida.

Métodos para deducir una ecuación

1. Definir variables

Para deducir una ecuación, define primero las variables desconocidas para establecer lo que realmente intentas averiguar. Por ejemplo, si la pregunta te pide que calcules la edad de alguien, define la edad de la persona como una letra, por ejemplo $x$ . Si la pregunta te pide que calcules el coste de algo, define el coste como una variable del tipo $c$ .

2. Identificar cantidades iguales

El siguiente paso es averiguar dónde va el signo igual. Esto puede indicarse explícitamente en la pregunta, por ejemplo, "la suma de las edades del chico es igual a 30." o "el coste de tres manzanas es de $30 p$ ". Sin embargo, a veces es menos obvio y tienes que usar un poco la imaginación. Por ejemplo, si tenemos tres ángulos desconocidos en una recta, ¿qué sabemos? La suma de ángulos en una recta es igual a 180 grados, así que podríamos utilizar esto. Si tenemos un cuadrado o un rectángulo, sabemos que los lados paralelos son iguales, por lo que también podríamos utilizar esto. En los ejemplos de las preguntas siguientes, repasaremos muchos tipos habituales de preguntas que implican derivar ecuaciones.

Ejemplos de derivación de ecuaciones

En este apartado veremos distintos tipos de preguntas que implican derivar ecuaciones. Si sigues el ejemplo, practicarás mucho la derivación de ecuaciones.

Encontrar longitudes y ángulos que faltan

En la recta de abajo, calcula el valor del ángulo DBC.

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Solución:

Aquí tenemos una recta a la que le faltan ángulos. Ahora bien, sabemos que la suma de los ángulos de una recta es igual a 180 grados. Por tanto, podemos decir $2 a + 3 + 90 + 6 a - 1 = 180$ . Juntando términos semejantes, podemos simplificarlo a $8 a + 92 = 180$ . Así pues, ¡acabamos de obtener una ecuación! Ahora podemos resolver esta ecuación para calcular el valor de a, e introducirlo en los ángulos que faltan para identificar el tamaño de cada uno de los ángulos.

Restando 92 a ambos lados, obtenemos $8 a = 88$ . Finalmente, dividiendo ambos lados por 8, obtenemos $a = 11 .$

Por tanto, el ángulo ABE= $2 \times 11 + 3 = 25 °$ , el ángulo EBD ya sabemos que es de 90 grados, y el ángulo DBC= $6 \times 11 - 1 = 65 °$ . Respondiendo a la pregunta original, el ángulo DBC es de 65 grados.

A continuación se muestra un rectángulo. Calcula el área y el perímetro de este rectángulo.

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Solución:

Como tenemos un rectángulo, sabemos que los dos lados paralelos son iguales. Así, podríamos decir que AB es igual a DC y por tanto $2 x + 15 = 7 x + 5$ . Por tanto, hemos obtenido de nuevo otra ecuación. Para resolver esta ecuación, resta primero $2 x$ de ambos lados para obtener $15 = 5 x + 5$ . Luego resta cinco a ambos lados para obtener $10 = 5 x$ . Por último, divide ambos lados por 5 para obtener $x = 2$ .

Ahora que conocemos el valor de $x$ podemos calcular las longitudes de cada uno de los lados del rectángulo sustituyendo $x$ en cada uno de los lados. Obtenemos que las medidas de AB y DC son $2 \times 2 + 15 = 19 c m,$ y las longitudes de AD y BC son $3 \times 2 = 6 c m .$ Como el perímetro es la suma de todas las medidas, el perímetro es $19 + 19 + 6 + 6 = 50 c m .$ Como el área es $b a s e \times h e i g h t$ obtenemos que el área es $19 \times 6 = 114 c m^{2}$ .

La altura del triángulo ABC es $(4 x) c m$ , y la base es $(5 x) c m$ . El área es $200 c m^{2}$ . Calcula el valor de $x$ .

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Solución:

Como la altura es $4 x$ y la base es $5 x$ el área es $\frac{1}{2} \times 5 x \times 4 x = 10 x^{2}$ . Ahora sabemos que el área es $200 c m^{2}$ . Por tanto $10 x^{2} = 200$ y por tanto $x^{2} = 20$ y así $x = \sqrt{20} = 4.47 c m$

Calcula la medida del ángulo mayor del triángulo siguiente.

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Solución:

Como los ángulos de un triángulo suman 180 grados, tenemos $3 x + 5 + 6 x + 7 + 8 x - 2 = 180^{°}$ . Simplificando, podríamos decir $17 x + 10 = 180^{°}$ . Por tanto, hemos obtenido otra ecuación, y ahora sólo tenemos que resolverla para calcular x.

Restando diez a ambos lados, obtenemos $17 x = 170^{°} .$ Finalmente, dividiendo ambos lados por 17, obtenemos $x = 10^{°}$ .

Como ya hemos hallado x, podemos sustituirla en cada ángulo para hallar el ángulo mayor.

Ángulo BAC= $6 \times 10 + 7 = 67 °$

Ángulo ACB= $8 \times 10 - 2 = 78 °$

Ángulo CBA= $3 \times 10 + 5 = 35 °$

Así pues, el ángulo ACB es el mayor y mide 78 grados.

Calcula a continuación la medida del ángulo ABD.

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Solución:

Como los ángulos opuestos son iguales, sabemos que $11 x + 2 = 13 x - 2$

Para resolverlo, primero resta $11 x$ de ambos lados para obtener $2 = 2 x - 2$ . Luego suma 2 a ambos lados para obtener $4 = 2 x$ . Por último, divide ambos lados por 2 para obtener $x = 2$ .

Sustituyendo $x = 2$ de nuevo en los ángulos, tenemos que el ángulo ABD= $11 \times 2 + 2 = 24 °$ . Como los ángulos de una recta suman 180, también obtenemos que el ángulo ABC= $180 - 24 = 156 °$

En el diagrama siguiente, el cuadrado tiene un perímetro dos veces mayor que el del triángulo. Calcula el área del cuadrado.

Derivar ecuaciones, Derivar ecuación en un triángulo y un cuadrado, Jordan Madge

Derivación de ecuaciones Ejemplos- perímetro del triángulo y del cuadrado, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solución:

El perímetro del triángulo es $2 x + 3 x + 2 x + 3$ que puede simplificarse a $7 x + 3$ . Todos los lados del cuadrado son iguales, por lo que el perímetro es $5 x + 5 x + 5 x + 5 x = 20 x .$ Como el perímetro del cuadrado es el doble que el del triángulo, tenemos $2 (7 x + 3) = 20 x$ . Si expandimos los paréntesis, obtenemos $14 x + 6 = 20 x$ . Si restamos $14 x$ de ambos lados, obtenemos $6 = 6 x$ y dividiendo ambos lados por seis obtenemos finalmente $x = 1$ . Por tanto, la longitud del cuadrado es cinco unidades y el área del cuadrado es $5 \times 5 = 25 u n i t^{2}$

Ecuaciones de palabras

Catherine tiene 27 años. Su amiga Katie tiene tres años más que su amiga Sophie. Su amigo Jake tiene el doble de años que Sophie. La suma de sus edades es 90. Calcula la edad de Katie.

Solución:

Lo primero que hay que reconocer es que esta pregunta no tiene muchas aplicaciones en la vida real, y es más un acertijo que otra cosa. Podrías preguntar a cada uno de los amigos de Catherine qué edad tienen en la vida real, pero eso sería mucho menos divertido. Lo que sí nos proporciona es algo de práctica con la formación y resolución de ecuaciones, así que empecemos definiendo la edad de Sophie como $x$ .

Si Sophie tiene $x$ años, Katie debe tener $x + 3$ años, ya que es tres años mayor que Sophie. Jake debe tener $2 x$ años, ya que tiene el doble de la edad de Sophie. Ahora bien, como todas las sumas de sus edades a $90$ tenemos $27 + x + x + 3 + 2 x = 90$ . Simplificando, obtenemos $4 x + 30 = 90$ . Restando 30 a ambos lados, obtenemos $4 x = 60$ y dividiendo ambos lados por cuatro, obtenemos $x = 15$ .

Así pues, Sophie tiene 15 años, por lo que Katie debe tener $15 + 3 = 18$ años.

El coste de una tableta es $£ x$ . Un ordenador cuesta $£ 200$ más que una tablet. El precio de la tableta y el ordenador es $£ 2000$ . Calcula el coste de la tableta y el ordenador.

Solución:

En primer lugar, ya se ha definido que la tableta cuesta $x$ libras. El coste del ordenador es $x + 200$ . Como el coste de la tableta y el ordenador es $£ 2000$ podemos decir que $x + x + 200 = 2000$ . Simplificando, obtenemos $2 x + 200 = 2000$ . Así podemos resolverlo para hallar el precio de la tableta.

Restando $200$ de ambos lados, obtenemos $2 x = 1800$ y dividiendo ambos lados por dos $x = 900 .$ Por tanto, la tableta cuesta $£ 900$ y el ordenador cuesta $900 + 200 = £ 1100$ .

Annabelle, Bella y Carman juegan cada una unas partidas de dominó. Annabelle ganó 2 partidas más que Carman. Bella ganó 2 partidas más que Annabelle. En total, jugaron 12 partidas, y hubo un ganador en cada partida. ¿Cuántas partidas ganó cada uno?

Solución:

De nuevo, podríamos mirar la hoja de resultados en la vida real. Sin embargo, para este ejercicio, formaremos y resolveremos una ecuación...

Define que el número de partidos ganados por Carman es $x$ . Así, Annabelle ganó $x + 2$ partidos, y Bella ganó $x + 2 + 2$ juegos. Así que Bella ganó $x + 4$ juegos. En total jugaron $12$ juegos, y hubo un ganador en cada juego, así $x + x + 2 + x + 4 = 12$ . Simplificando, obtenemos $3 x + 6 = 12$ . Restando 6 a ambos lados $3 x = 6$ y dividiendo ambos lados por 3, obtenemos $x = 2$ . Por tanto, Annabelle ganó 4 juegos, Bella ganó 6 juegos y Carman ganó 2 juegos.

Derivación de ecuaciones - Puntos clave

Una ecuación es un enunciado con un signo igual.
En matemáticas, formar una ecuación o fórmula matemática se llama derivar.
Podemos derivar ecuaciones cuando sabemos que dos cantidades son iguales.
Una vez que hemos derivado una ecuación, podemos resolverla para hallar una variable desconocida.

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Preguntas frecuentes sobre Derivación de ecuaciones

¿Qué es la derivada de una función?

La derivada de una función mide la tasa de cambio instantánea de la función con respecto a una de sus variables.

¿Cómo se calcula la derivada?

La derivada se calcula aplicando reglas como la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la cadena, y utilizando límites.

¿Para qué se usa la derivada?

La derivada se utiliza para encontrar pendientes de tangentes, optimización de funciones y resolver problemas de velocidad y aceleración.

¿Qué significa la notación f'(x)?

La notación f'(x) representa la derivada de la función f con respecto a x.

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