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La Geometría de Coordenadas es un estudio muy importante, ya que nos permite desarrollar representaciones gráficas de distintas cosas, como rectas paralelas y perpendiculares y curvas que normalmente no podríamos representar gráficamente.
Dividimos la Geometría de Coordenadas en tres secciones clave:
- GRÁFICOS DE LÍNEAS RECTAS - Comprender cómo funcionan los gradientes y cómo podemos utilizarlos en la modelización. También comprendemos los gradientes de las rectas paralelas y perpendiculares.
- CÍRCULOS - Comprender cómo los métodos algebraicos, como completar el cuadrado, pueden ayudarnos a hallar el radio y el centro de un círculo. Comprender también cómo hallar una tangente a un círculo utilizando métodos adoptados de los gráficos de rectas.
- ECUACIONES PARAMÉTRICAS - Comprender cómo podemos utilizar una variable para describir lo que hacen dos variables y comprender cómo podemos encontrar ecuaciones para gráficas que normalmente no podríamos encontrar con sólo mirar la gráfica.
Veámoslas con más detalle.
Gráficas de líneas rectas
Para comprender la geometría de coordenadas, estudiaremos con mucho detalle las gráficas de rectas, empezando por el cálculo de gradientes e interceptos. Luego pasaremos a las rectas paralelas y perpendiculares. Por último, empezaremos a modelizar utilizando gráficas de rectas.
Aquí tienes un ejemplo de pregunta sobre gráficas de rectas. En esta pregunta tendrás que calcular el gradiente.
La cantidad de dinero que gana una furgoneta de helados en un día puede modelarse como \(y = 5s-12\). Donde s es la cantidad de helados vendidos e y es la cantidad de dinero ganada en libras.
Halla el precio de cada helado.
Calcula la cantidad de helados que hay que vender para que la furgoneta de los helados no tenga pérdidas.
SOLUCIÓN: 1. La pendiente de esta recta es el dinero ganado con las ventas. Recuerda que, en una gráfica, m es el gradiente.
\(y = mx+c\)Por tanto, el gradiente de esta gráfica es 5. Así que cada venta son 5 £. Para no tener pérdidas \(5s-12 \geq 0\) Podemos resolverlo diciendo \(5s \geq 12\)
Círculos
Los círculos son una parte importante de la geometría de coordenadas. Podemos utilizar la información sobre los círculos junto con otras teorías de la geometría de coordenadas para resolver problemas más complicados.
Recuerda que un círculo de radio r y centro (a, b) tiene una ecuación \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)
Un círculo tiene una ecuación \((x-2)^2 + (y-4)^2 = 25 \qquad (5,8)\)
SOLUCIÓN: En primer lugar, tenemos que hallar la ecuación del radio. El centro de la circunferencia es (2, 4), el punto que nos interesa es. Halla el gradiente:\(\frac{8-4}{5-2} = \frac{4}{3}\)Así que la ecuación general del radio es \(y = \frac{4}{3}x +c\) . Por tanto, donde c es alguna constante es la ecuación del radio. Ahora utilizamos el hecho de que la tangente es perpendicular al radio. Cuando dos rectas son perpendiculares sus gradientes producen -1 . Así que el gradiente del radio y el gradiente de la tangente deben multiplicarse para dar -1 . Por tanto, si llamamos al gradiente de la tangente p\(\frac{4}{3}p = -1p = -\frac{3}{4}\)Entonces nuestra ecuación es:\(y = -\frac{3}{4}x+c\)Para hallar nuestra constante c basta con sustituir los valores \(x =5 \text{ e }y = 8\)\(8 = -\frac{3}{4}(5)+c8 = -\frac{15}{4} + cc = 11,75\})Así que nuestra respuesta final es:\(y = -\frac{3}{4}x + 11,75\)Esta es una representación gráfica de la circunferencia y la recta perpendicular:
Ecuaciones paramétricas
Las ecuaciones paramétricas representan todo en términos de una variable. La variable que se utiliza normalmente es t.
Esto se debe a que hay muchas ecuaciones más complicadas en las que es mejor representar cada x e y en términos de la misma variable.
He aquí un ejemplo de un conjunto de ecuaciones paramétricas.
\(x = 2\cos(t); \espacio y = 2\sin(t)\)Esta es la parametrización de un círculo como:
\(x^2+y^2 = (2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 = 4 \cos^2(t) + 4 \sin^2(t) = 4(\sin^2(t) + \cos^2(t)) = 4(1)= 4\)
A continuación tienes un ejemplo de pregunta de ecuaciones paramétricas.
Una curva C contiene las siguientes ecuaciones paramétricas.
\(x = 4\cos(t+\frac{\pi}{6}); \espacio y = 2\sin(t)\)Demuestra que \(x + y = 2\sqrt3 \cos(t)\)
Demuestra que la ecuación cartesiana de C es \((x+y)^2 +ay^2 = b\) donde a y b son constantes a hallar.
SOLUCIÓN:
Pues \(x+y = 4\cos(t+\frac{\pi}{6}) + 2\sin t\).
Por la fórmula de adición
\4cos(t+frac(pi) = 4cos(t)-4sin(t)-4cos(t+frac(pi) = 4cos(t+frac(pi) = 4cos(t+frac(pi) = 4cos(t+frac(t)) \2\sin(t) 4\cos(t + \frac{pi}{6}) = 2\sqrt{3} \cos(t)-2\sin(t)4\cos(t+\frac{pi}{6}) +2\sin(t) = 2\sqrt3 \cos(t) - 2\sin(t)+2\sin(t) = 2\sqrt3 \cos(t)\)
2.
((x+y)^2 = (2\sqrt3 \cos(t))^2 = 12 \cos^2{t}y^2 = 4\sin^2{t} 12\sqrt3 \cos^2{t}+4a(\sin^2{t}) = b\)
Por \(\sin^2{t} + \cos^2{t} = 1\):
\(12\cos^2{t}+12\sin^2{t} = 124a = 12 \rightarrow a = 3b =12\\)
Geometría de coordenadas - Puntos clave
Las gráficas de rectas se deciden por un gradiente y la intersección y.
Las rectas paralelas y perpendiculares se deciden por los gradientes.
Las rectas paralelas tienen el mismo gradiente.
Las rectas perpendiculares tienen gradientes producto -1.
Los teoremas del círculo pueden utilizarse para hallar ecuaciones de rectas en un plano cartesiano.
La geometría de coordenadas une los conceptos geométricos y las reglas de las rectas en coordenadas cartesianas.
Las ecuaciones paramétricas implican escribir todo en términos de una variable.
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