Teorema de Lado-Ángulo-Lado

Generalmente, en el estudio de los triángulos, necesitamos información sobre todos sus lados y ángulos para hallar la congruencia entre dos triángulos. Pero, ¿es posible obtener la relación de congruencia y semejanza de dos triángulos sin todos los lados y ángulos? El teorema SAS puede ser muy útil en este tipo de situaciones. El teorema SAS también puede ser útil para calcular el área de triángulos.

Pruéablo tú mismo Regístrate gratis
Teorema de Lado-Ángulo-Lado Teorema de Lado-Ángulo-Lado

Crea materiales de aprendizaje sobre Teorema de Lado-Ángulo-Lado con nuestra app gratuita de aprendizaje!

  • Acceso instantáneo a millones de materiales de aprendizaje
  • Tarjetas de estudio, notas, exámenes de simulacro y más
  • Todo lo que necesitas para sobresalir en tus exámenes
Regístrate gratis

Convierte documentos en tarjetas de estudio gratis con IA.

Tarjetas de estudio
Índice de temas

    En esta sección, comprenderemos el teorema SAS y sus enunciados importantes. También veremos cómo podemos hallar el área de un triángulo dado utilizando el teorema SAS.

    Teorema de congruencia SAS

    El teorema de congruencia SAS da la relación de congruencia entre dos triángulos. Cuando todos los ángulos correspondientes son congruentes entre sí y todos los lados correspondientes son congruentes en dos triángulos, se dice que esos triángulos son congruentes. Pero con el teorema de congruencia SAS, sólo consideramos dos lados y un ángulo para establecer la congruencia entre los triángulos.

    Aquí, como su nombre indica, SAS significa Lado-Ángulo-Lado. Al utilizar el teorema de congruencia SAS, consideramos dos lados adyacentes correspondientes y el ángulo incluido entre esos dos lados.

    Siempre hay que tener en cuenta que el ángulo debe ser el incluido y no cualquier otro, ya que entonces no cumpliría el criterio SAS.

    Teorema de congruencia SAS : Se dice que dos triángulos son congruentes si los dos lados correspondientes y el ángulo incluido a dichos lados de un triángulo son iguales a los lados correspondientes y al ángulo incluido del otro triángulo.

    Matemáticamente lo representamos como, si AB=XY, A=X, AC=XZ, entonces ABCXYZ.

    Teorema SAS, triángulos congruentes SAS, StudySmarterTriángulos congruentes SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

    Si el teorema de congruencia SAS se cumple para dos triángulos cualesquiera, entonces podemos decir directamente que todos los lados y ángulos de un triángulo serán iguales a los del otro triángulo respectivamente.

    Teorema de semejanza SAS

    Podemos concluir que dos triángulos son semejantes utilizando el teorema de semejanza SAS. Normalmente, necesitamos información sobre todos los lados y ángulos de ambos triángulos para demostrar que son semejantes. Pero con la ayuda del teorema de semejanza SAS, sólo consideramos dos lados y un ángulo correspondientes de estos triángulos.

    Como los triángulos SAS tienen dos lados, podemos tomar la proporción de estos lados para demostrar la semejanza entre los dos triángulos.

    Teorema de semejanza SAS : Dos triángulos son semejantes si los dos lados adyacentes de un triángulo son proporcionales a los dos lados adyacentes de otro triángulo y los ángulos incluidos de ambos triángulos son iguales.

    Matemáticamente decimos que, si ABDE=BCEF y B=E, entonces ABC~DEF.

    Teorema SAS, Teorema de similitud SAS, StudySmarterTeorema de semejanza SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

    Prueba del teorema SAS

    Veamos la demostración del teorema SAS tanto de congruencia como de semejanza.

    Demostración del teorema de congruencia SAS

    Vamos a realizar una actividad para demostrar el teorema de congruencia SAS. Del enunciado del teorema de congruencia SAS se deduce que AB=XY, AC=XZ, y A=X.

    Teorema SAS, Teorema de congruencia SAS, StudySmarterTeorema de congruencia SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

    Para demostrarlo: ABCXYZ

    Tomamos un triángulo XYZ y lo colocamos sobre el otro triángulo ABC. Ahora se ve que B coincide con Y como AB=XY. Como A=X y cuando ambos triángulos se coloquen uno sobre otro, AC y XZ caerán uno al lado del otro. Como AC=XZ, el punto C coincide con Z, también BC e YZ coincidirán entre sí.

    Por tanto, es evidente que ambos triángulos ABC y XYZ coinciden entre sí. Por tanto, ABCXYZ.

    Demostración del teorema de semejanza de ASA

    Del enunciado del teorema de semejanza se deduce que ABDE=BCEF y B=E.

    Para demostrar: ABC~DEF

    Teorema SAS, Teorema de similitud SAS, StudySmarterTriángulo de semejanza SAS con la recta construida PQ, Mouli Javia - StudySmarter Originals

    Considera un punto P en DE a una distancia tal que AB=EP. Entonces une un segmento de recta de P a EF en el punto Q tal que PQDF. Como PQDF, obtenemos que PEQ~DEF.

    Entonces, por el Teorema Básico de Proporcionalidad,

    EPDE=EQEF (1)

    Teorema básico de proporcionalidad : Si una recta es paralela a un lado de un triángulo y si esa recta corta a los otros dos lados en dos puntos distintos del triángulo, entonces esos lados están en proporción.

    Eso ya lo sabemos,

    ABDE=BCEF (2)

    Como AB=EP y de la ecuación (1) y la ecuación (2),

    EPDE=ABDE=EQEF=BCEF EQ=BC

    Y también tenemos que B=E.

    Así que utilizando el teorema de congruencia de SAS a partir de la información anterior obtenemos que ABCPEQ.

    ABC~PEQ

    Ya tenemos que PEQ~DEF. Así que a partir de la semejanza obtenida de ambas obtenemos que ABC~DEF.

    Fórmula del teorema SAS

    El teorema SAS no sólo se utiliza para demostrar la congruencia y semejanza entre dos triángulos, sino que de él obtenemos la fórmula del teorema SAS. Esta fórmula SAS puede ser muy útil en trigonometría para calcular el área de un triángulo. Esta fórmula utiliza las reglas de la trigonometría para hallar el área del triángulo.

    La fórmula del teorema SAS para el triángulo se expresa como :

    Área del triángulo=12×a×b×sin x, donde a y b son los dos lados del triángulo SAS y x es la medida del ángulo incluido.

    Teorema SAS, triángulos SAS, StudySmarterTriángulo SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

    Derivemos la fórmula del teorema SAS. En el SAS ABC construye una perpendicular desde el punto A hasta la recta BC en D. Ahora bien, como ABD forma un triángulo rectángulo, podemos utilizar las razones trigonométricas con B como ángulo.

    sin x=ADAB p=a×sin x (1)

    Además, sabemos que la fórmula general para calcular cualquier triángulo es

    Área =12×base×height

    Ahora en el ABC, b es la base y p es la altura. Entonces sustituyendo este valor en la fórmula de son obtenemos

    Área =12×b×p (2)

    A partir de la ecuación (1) conocemos el valor de p, así que lo sustituimos en la ecuación (2) del área obtenida anteriormente.

    Área =12×b×a×sin x

    Por tanto, la fórmula del área del triángulo utilizando el teorema SAS es Area=12×a×b×sin x.

    Ejemplos del teorema SAS

    Aquí tienes algunos ejemplos del teorema SAS para comprender mejor el concepto.

    Determina si los triángulos dados son semejantes o no.

    Teorema SAS, Teorema de similitud SAS, StudySmarterEjemplo de triángulos semejantes, www.ck12.org

    Solución:

    A partir de la figura, podemos ver que se proporcionan dos lados y una medida de ángulo para cada triángulo. Y los da son adyacentes y el ángulo es el ángulo incluido de ambos lados. por lo que el triángulo dado puede considerarse como el triángulo SAS.

    Aquí tenemos que determinar la semejanza entre ABC y XYZ. Pero para ello necesitamos verificar el teorema de semejanza SAS.

    Como B y Z son ambos triángulos rectángulos. Por tanto, implica que BZ.

    También tenemos que comprobar la proporción entre los lados dados.

    XZAB=1015=23,YZBC=2436=23 ABXZ=BCYZ

    Así pues, de lo anterior se deduce que ambos lados y un ángulo cumplen la condición del teorema de semejanza de SAS. Por tanto, ambos triángulos ABC y XYZ son triángulos semejantes.

    Halla el área del triángulo dadoDEF utilizando la fórmula del teorema de SAS, si EF=12 cm, DF=10 cm, y F=30°.

    Teorema SAS, triángulos SAS, StudySmarterTriángulo SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

    Solución:

    Aquí se nos da que EF=12 cm, DF=10 cm, F=30°. Así que considera a=10 cm, b=12 cm, x=30°.

    Entonces el Área del triángulo anterior utilizando la fórmula del teorema SAS es

    Área =12×a×b×sin x

    =12×10×12×sin30°=12×10×12×12=5×6

    Area=30 cm2

    Por tanto, el área del triángulo utilizando la fórmula del teorema SAS es 30 cm2

    Teorema SAS - Puntos clave

    • Teorema de congruencia SAS : Se dice que dos triángulos son congruentes si los dos lados correspondientes y el ángulo incluido a dichos lados de un triángulo son iguales a los lados correspondientes y al ángulo incluido del otro triángulo.
    • Teorema de semejanza SAS : Dos triángulos son semejantes si los dos lados adyacentes de un triángulo son proporcionales a los dos lados adyacentes de otro triángulo y los ángulos incluidos de ambos triángulos son iguales.
    • Área de un triángulo mediante el teorema SAS =12×a×b×sin x, donde a y b son los dos lados del triángulo SAS y x es la medida del ángulo incluido.

    Preguntas frecuentes sobre Teorema de Lado-Ángulo-Lado
    ¿Qué es el Teorema de Lado-Ángulo-Lado?
    El Teorema de Lado-Ángulo-Lado establece que dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido iguales.
    ¿Cómo se puede usar el Teorema de Lado-Ángulo-Lado?
    Para usar el Teorema, identifica dos lados correspondientes y el ángulo entre ellos en ambos triángulos.
    ¿Por qué es importante el Teorema de Lado-Ángulo-Lado?
    Es importante porque permite demostrar que dos triángulos son congruentes, simplificando muchos problemas geométricos.
    ¿Cuál es la diferencia entre Teorema Lado-Ángulo-Lado y Lado-Lado-Lado?
    Lado-Ángulo-Lado requiere un ángulo entre dos lados, mientras que Lado-Lado-Lado considera tres lados correspondientes.

    Descubre materiales de aprendizaje con la aplicación gratuita StudySmarter

    Regístrate gratis
    1
    Acerca de StudySmarter

    StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.

    Aprende más
    Equipo editorial StudySmarter

    Equipo de profesores de Matemáticas

    • Tiempo de lectura de 8 minutos
    • Revisado por el equipo editorial de StudySmarter
    Guardar explicación Guardar explicación

    Guardar explicación

    Sign-up for free

    Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.

    Únete a más de 22 millones de estudiantes que aprenden con nuestra app StudySmarter.

    La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.

    • Tarjetas y cuestionarios
    • Asistente de Estudio con IA
    • Planificador de estudio
    • Exámenes simulados
    • Toma de notas inteligente
    Únete a más de 22 millones de estudiantes que aprenden con nuestra app StudySmarter.

    Consigue acceso ilimitado con una cuenta gratuita de StudySmarter.

    • Acceso instantáneo a millones de materiales de aprendizaje.
    • Tarjetas de estudio, notas, exámenes de simulacro, herramientas de AI y más.
    • Todo lo que necesitas para sobresalir en tus exámenes.
    Second Popup Banner