Teorema de Lado-Ángulo-Lado

Teorema de congruencia SAS

El teorema de congruencia SAS da la relación de congruencia entre dos triángulos. Cuando todos los ángulos correspondientes son congruentes entre sí y todos los lados correspondientes son congruentes en dos triángulos, se dice que esos triángulos son congruentes. Pero con el teorema de congruencia SAS, sólo consideramos dos lados y un ángulo para establecer la congruencia entre los triángulos.

Aquí, como su nombre indica, SAS significa Lado-Ángulo-Lado. Al utilizar el teorema de congruencia SAS, consideramos dos lados adyacentes correspondientes y el ángulo incluido entre esos dos lados.

Matemáticamente lo representamos como, si $AB=XY,\angle A=\angle X,AC=XZ,$ entonces $△ABC\cong △XYZ.$

Triángulos congruentes SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Si el teorema de congruencia SAS se cumple para dos triángulos cualesquiera, entonces podemos decir directamente que todos los lados y ángulos de un triángulo serán iguales a los del otro triángulo respectivamente.

Teorema de semejanza SAS

Podemos concluir que dos triángulos son semejantes utilizando el teorema de semejanza SAS. Normalmente, necesitamos información sobre todos los lados y ángulos de ambos triángulos para demostrar que son semejantes. Pero con la ayuda del teorema de semejanza SAS, sólo consideramos dos lados y un ángulo correspondientes de estos triángulos.

Como los triángulos SAS tienen dos lados, podemos tomar la proporción de estos lados para demostrar la semejanza entre los dos triángulos.

Matemáticamente decimos que, si $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$ y $\angle B=\angle E,$ entonces $△ABC~△DEF.$

Teorema de semejanza SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Prueba del teorema SAS

Veamos la demostración del teorema SAS tanto de congruencia como de semejanza.

Demostración del teorema de congruencia SAS

Vamos a realizar una actividad para demostrar el teorema de congruencia SAS. Del enunciado del teorema de congruencia SAS se deduce que $AB=XY,AC=XZ,$ y $\angle A=\angle X.$

Teorema de congruencia SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Para demostrarlo: $△ABC\cong △XYZ$

Tomamos un triángulo $△XYZ$ y lo colocamos sobre el otro triángulo $△ABC.$ Ahora se ve que B coincide con Y como $AB=XY.$ Como $\angle A=\angle X$ y cuando ambos triángulos se coloquen uno sobre otro, AC y XZ caerán uno al lado del otro. Como $AC=XZ,$ el punto C coincide con Z, también BC e YZ coincidirán entre sí.

Por tanto, es evidente que ambos triángulos $△ABC$ y $△XYZ$ coinciden entre sí. Por tanto, $△ABC\cong △XYZ$.

Demostración del teorema de semejanza de ASA

Del enunciado del teorema de semejanza se deduce que $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$ y $\angle B=\angle E.$

Para demostrar: $△ABC~△DEF$

Triángulo de semejanza SAS con la recta construida PQ, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Considera un punto P en DE a una distancia tal que $AB=EP.$ Entonces une un segmento de recta de P a EF en el punto Q tal que $PQ\parallel DF.$ Como $PQ\parallel DF,$ obtenemos que $△PEQ~△DEF.$

Entonces, por el Teorema Básico de Proporcionalidad,

$\frac{EP}{DE}=\frac{EQ}{EF}\left(1\right)$

Eso ya lo sabemos,

$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}\left(2\right)$

Como $AB=EP$ y de la ecuación (1) y la ecuación (2),

$$\begin{gathered} \frac{EP}{DE}=\frac{AB}{DE}=\frac{EQ}{EF}=\frac{BC}{EF} \\ \Rightarrow EQ=BC \end{gathered}$$

Y también tenemos que $\angle B=\angle E.$

Así que utilizando el teorema de congruencia de SAS a partir de la información anterior obtenemos que $△ABC\cong △PEQ.$

$\Rightarrow △ABC~△PEQ$

Ya tenemos que $△PEQ~△DEF.$ Así que a partir de la semejanza obtenida de ambas obtenemos que $△ABC~△DEF.$

Fórmula del teorema SAS

El teorema SAS no sólo se utiliza para demostrar la congruencia y semejanza entre dos triángulos, sino que de él obtenemos la fórmula del teorema SAS. Esta fórmula SAS puede ser muy útil en trigonometría para calcular el área de un triángulo. Esta fórmula utiliza las reglas de la trigonometría para hallar el área del triángulo.

La fórmula del teorema SAS para el triángulo se expresa como :

Área del triángulo$=\frac{1}{2}\times a\times b\times \sin x,$ donde a y b son los dos lados del triángulo SAS y x es la medida del ángulo incluido.

Triángulo SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Derivemos la fórmula del teorema SAS. En el SAS $△ABC$ construye una perpendicular desde el punto A hasta la recta BC en D. Ahora bien, como $△ABD$ forma un triángulo rectángulo, podemos utilizar las razones trigonométricas con $\angle B$ como ángulo.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \sin x=\frac{AD}{AB} \\ \Rightarrow p=a\times \sin x\left(1\right) \end{gathered}$$

Además, sabemos que la fórmula general para calcular cualquier triángulo es

Área $=\frac{1}{2}\times base\times height$

Ahora en el $△ABC,$ b es la base y p es la altura. Entonces sustituyendo este valor en la fórmula de son obtenemos

Área $=\frac{1}{2}\times b\times p\left(2\right)$

A partir de la ecuación (1) conocemos el valor de p, así que lo sustituimos en la ecuación (2) del área obtenida anteriormente.

Área $=\frac{1}{2}\times b\times a\times \sin x$

Por tanto, la fórmula del área del triángulo utilizando el teorema SAS es $\mathit{A}\mathit{r}\mathit{e}\mathit{a}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\mathit{a}\mathbf{\times }\mathit{b}\mathbf{\times }\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{}\mathit{x}.$

Ejemplos del teorema SAS

Aquí tienes algunos ejemplos del teorema SAS para comprender mejor el concepto.