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¿Qué es el método de prueba por agotamiento?
La prueba por agotamiento es un método directo de prueba. Puede llevar mucho tiempo completarla, ya que puede haber muchos casos que comprobar. Es posible dividir los casos, por ejemplo, números pares e impares.
La prueba por agotamiento es diferente de otros métodos directos de prueba, ya que no necesitamos elaborar argumentos lógicos. Basta con demostrar que "ninguno de los casos refuta la conjetura; por tanto, la conjetura es cierta". La única vez que utilizamos la prueba por agotamiento es cuando hay un número finito de casos.
¿Cómo se demuestra por agotamiento?
Podemos generalizar el método de prueba por agotamiento utilizando dos pasos.
Paso 1: Establece los casos que se aplican a la afirmación.
Paso 2: Demuestra que la afirmación es cierta en cada caso.
Cada caso de la afirmación debe probarse por separado, uno por uno. Tenemos que agotar todos los casos para verificar la afirmación.
Si alguno de los casos identificados puede refutarse, toda la conjetura puede considerarse refutada. Puedes consultar Refutación por contraejemplo para profundizar en este concepto.
Veamos un ejemplo para comprender cómo aplicar los pasos anteriores.
Demuestra que \(n^2-1\) es múltiplo de 3 si n no es múltiplo de 3.
Solución:
Paso 1: Si n no es múltiplo de 3, es uno o dos más que múltiplo de 3. Por tanto, podemos escribir \(n = 3k + 1\) o \(n = 3k + 2\), siendo k un número entero cualquiera.
Paso 2: Demuestra ahora que la afirmación es cierta en cada caso.
Caso 1: Demuestra que si \(n = 3k + 1\), entonces \(n^2-1\) es múltiplo de 3.
\(\begin{align} n^2-1 &= (3k + 1)^2 -1 \\\ {align} &= (3k)^2 + 6k +1-1 \ {align} &=9k^2 +6k \ {align} &=3(3k^2 + 2k) \end{align}\ {align})
Como \(3 (3k^2 + 2k)\) es 3 veces \((3k² + 2k)\), podemos concluir que \(3 (3k^2 + 2k)\) es múltiplo de 3.
Así pues, \(n^2 -1\) es múltiplo de 3 para \(n = 3k + 1\).
Ahora, comprobemos el segundo caso.
Caso 2: Comprobar si \(n = 3k + 2\), entonces \(n^2 -1\) es múltiplo de 3.
\(\begin{align} n^2-1 &= (3k+2)^2 -1 \\\ {align} &= (3k)^2 + 2(3k)(2) + 2^2-1 \ {align} &= 9k^2 +12k + 3 \ {align} &= 3(3k^2 + 4k + 1) \end{align}\ {align})
La expresión resultante \(3 (3k^2 + 4k + 1)\) también es múltiplo de 3 para cualquier valor de k. Por tanto, \(n^2 -1\) es múltiplo de 3 para \(n = 3k + 2\).
Como ambos casos satisfacen la afirmación, hemos demostrado que la afirmación dada es correcta.
Cuándo debes utilizar la prueba por agotamiento
La prueba por agotamiento sólo es posible cuando podemos reducir la conjetura a un número finito de casos. Por ejemplo, en el ejemplo anterior hemos reducido la conjetura a dos casos posibles. Supongamos que, en lugar de eso, intentáramos resolverla mediante la prueba por agotamiento para todos los valores posibles de n. Eso sería un proceso interminable, ya que el dominio de n es ilimitado, es decir, n puede tomar un número infinito de valores.
Si podemos reducir la conjetura dada a un pequeño número de casos posibles, cada uno de los cuales puede demostrarse (o refutarse), entonces podría ser bueno utilizar la prueba por agotamiento. Para un número muy grande de casos, la prueba por agotamiento no suele ser un método muy eficaz.
Ejemplos de pruebas por agotamiento
Ejemplo 1: Demuestra que \(p = n^2 + 2\) no es múltiplo de 4, siendo n un número entero, \(2 \leq n \leq 7\).
Solución:
Paso 1: Divide el enunciado en un número finito de casos.
Se da que \(2 \leq n \leq 7\) y para cada valor de n, tenemos que comprobar si \(p = n^2 +2\) es múltiplo de 4 o no.
Tendremos seis casos, como se muestra.
Caso 1: n = 2
Caso 2: n = 3
Caso 3: n = 4
Caso 4: n = 5
Caso 5: n = 6
Caso 6: n = 7
Paso 2: Demostrar que la afirmación es cierta en cada caso.
Demostremos cada caso uno por uno.
Caso 1: n = 2
Sustituye n = 2 en \(p = n^2 +2\) y comprueba si el valor obtenido es múltiplo de 4 o no.
\(p = (2)^2 + 2 = 6\)
Como 6 no es divisible por 4, podemos concluir que p no es múltiplo de 4.
Caso 2: n = 3
Sustituye n = 3 en \(p = n^2 +2\) y comprueba si el valor obtenido es múltiplo de 4 o no.
\(p = (3)^2 + 2 =11\)
Como 11 no es divisible por 4, podemos concluir que p no es múltiplo de 4.
Caso 3: n = 4
Sustituye n = 4 en \(p = n^2 +2\) y comprueba si el valor obtenido es múltiplo de 4 o no.
\(p = (4)^2 + 2 = 18\)
Como 18 no es divisible por 4, podemos concluir que p no es múltiplo de 4.
Caso 4: n = 5
Sustituye n = 5 en \(p = n^2 +2\) y comprueba si el valor obtenido es múltiplo de 4 o no.
\(p = (5)^2 + 2 = 27\)
Como 27 no es divisible por 4, podemos concluir que p no es múltiplo de 4.
Caso 5: n = 6
Sustituye n = 6 en \(p = n^2+2\) y comprueba si el valor obtenido es múltiplo de 4 o no.
\(p = (6)^2 + 2 = 38\)
Como 38 no es divisible por 4, podemos concluir que p no es múltiplo de 4.
Caso 6: n = 7
Sustituye n = 7 en \(p = n^2 +2\) y comprueba si el valor obtenido es múltiplo de 4 o no.
\(p = (7)^2 + 2 = 51\)
Como 51 no es divisible por 4, podemos concluir que p no es múltiplo de 4.
Como todos los casos satisfacen la afirmación. La afirmación, \(p = n + 2\) no es múltiplo de 4 cuando n es un número entero, y \ (2 \leq n \leq 7\) es correcta.
Ejemplo 2: Si p es un número primo tal que \(3 <p <25\), demuestra por agotamiento que \((p - 1) (p + 1)\) es múltiplo de 12.
Solución:
Paso 1: Divide el enunciado en un número finito de casos.
Se da que p es un número primo tal que \(3 <p <25\), y para cada p, tenemos que comprobar si \((p - 1) (p + 1)\) es múltiplo de 12 o no.
Los números primos entre 3 y 25 son 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Tendremos siete casos, como se muestra.
Caso 1: p = 5
Caso 2: p = 7
Caso 3: p = 11
Caso 4: p = 13
Caso 5: p = 17
Caso 6: p = 19
Caso 7: p = 23
Paso 2: Demostrar que la afirmación es cierta en cada caso.
Demostremos cada caso uno por uno.
Caso 1: Comprobar si \((p - 1) (p + 1)\ es múltiplo de 12 cuando p = 5.
\(\begin{align} (p - 1) (p + 1) &= (5-1) (5 + 1) \&= (4) (6) \\\= 24 \\\= 2(12) \end{align}\)
\((p-1) (p + 1)\) es múltiplo de 12 cuando p = 5.
Caso 2: Comprobar si \((p - 1) (p + 1)\) es múltiplo de 12 cuando p = 7.
\(\begin{align} (p - 1) (p + 1) &= (7-1) (7 + 1) \\\\= (6) (8) \\\= 48 \\= 4 (12) \end{align}\)
\((p-1) (p + 1)\) es múltiplo de 12 cuando p = 7.
Caso 3: Comprobar si \((p - 1) (p + 1)\) es múltiplo de 12 cuando p = 11.
\( \begin{align} (p-1) (p + 1) &= (11-1) (11 + 1) \\=(10)(12) \\= 120 \\= 10 (12) \end{align}\)
\((p-1) (p + 1)\) es múltiplo de 12 cuando p = 11.
Caso 4: Comprobar si (p - 1) (p + 1) es múltiplo de 12 cuando p = 13.
\(\begin{align} (p - 1) (p + 1) &= (13-1) (13 + 1) \\\= (12) (14) \\\= 168 \\= 14 (12) \end{align}\)
\((p-1) (p + 1)\) es múltiplo de 12 cuando p = 13.
Caso 5: Comprobar si (p - 1) (p + 1) es múltiplo de 12 cuando p = 17.
\(\begin{align} (p - 1) (p + 1) &= (17-1) (17 + 1) \\\\= (16) (18) \\\= 288 \\= 24 (12) \end{align}\)
\((p-1) (p + 1)\) es múltiplo de 12 cuando p = 17.
Caso 6: Comprobar si \((p - 1) (p + 1)\) es múltiplo de 12 cuando p = 19.
\( \begin{align} (p - 1) (p + 1) &= (19-1) (19 + 1) \\ {align} &= (18) (20) \ {align} &= 360 \ {align} &= 30 (12) \end{align} \)
\((p-1) (p + 1)\) es múltiplo de 12 cuando p = 19.
Caso 7: Comprobar si \((p - 1) (p + 1)\) es múltiplo de 12 cuando p = 23.
\( \begin{align} (p - 1) (p + 1) &= (19-1) (19 + 1) \\\= (18) (20) \&= 360 \\&= 30 (12) \end{align} \)
\((p-1) (p + 1)\) es múltiplo de 12 cuando p = 23.
Por tanto, todos los casos satisfacen la afirmación. Por tanto, la afirmación, si p es un número primo tal que \(3 <p <25\), entonces \((p - 1) (p + 1)\) es múltiplo de 12, es correcta.
Ejemplo 3: Si n es un número entero positivo, entonces \(n^7-n\) es divisible por 7.
Solución:
Paso 1: Divide el enunciado en un número finito de casos.
Se da que n es un número entero, y para cada n, tenemos que comprobar si \(n^7-n\) es divisible por 7 o no.
Tendremos siete casos, como se muestra.
Caso 1: n múltiplo de 7. Entonces, \(n = 7q\), donde q es un número entero.
Caso 2: n uno más que el múltiplo de 7. Entonces, \(n = 7q + 1\), donde q es un número entero.
Caso 3: n dos más que el múltiplo de 7. Entonces, \(n = 7q + 2\), donde q es un número entero.
Caso 4: n tres más que el múltiplo de 7. Entonces, \(n = 7q + 3\), donde q es un número entero.
Caso 5: n cuatro más que el múltiplo de 7. Entonces, \(n = 7q + 4\), donde q es un número entero.
Caso 6: n cinco más que el múltiplo de 7. Entonces, \(n = 7q + 5\), donde q es un número entero.
Caso 7: n seis más que el múltiplo de 7. Entonces, \(n = 7q + 6\), donde q es un número entero.
Paso 2: Demostrar que la afirmación es cierta para cada caso.
Primero factoricemos la expresión \(n^7 -n\) y demostremos cada caso uno por uno.
\(n^7-n = n(n^6-1) = n((n^3)^2-1) = n(n^3+1)(n^3-1)\)Puesto que \(x^2 -y^(x+y)(x-y)\):
\(n(n+1)(n^2-n+1)(n-1)(n^2+n+1)\)
Puesto que \(x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)\) y \(x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)\)
Entonces, \(n^7-n = n(n-1)(n+1)(n^2-n+1)(n^2+n+1)\)
Ahora, comprobemos cada caso uno por uno.
Caso 1: Comprobar que \(n^7-n\) es divisible por 7 para, \(n = 7q\), donde q es un número entero.
\(n^7-n\) tiene un factor \(n = 7q\).
Por tanto, la expresión es divisible por 7.
Caso 2: Comprobar que \(n^7-n\)es divisible por 7 para, \(n = 7q + 1\), donde q es un número entero.
\(n^7-n\) tiene un factor \(n-1 = 7q + 1-1 = 7q\).
Por tanto, la expresión es divisible por 7.
Caso 3: Comprobar que \(n^7-n\) es divisible por 7 para, \(n = 7q + 2\), donde q es un número entero.
\(n^7-n\) tiene un factor
\(\begin{align} n^2+n+1 &= (7q+2)^2 + 7q +2 +1 \\begin{align} &=49q^2 +28q + 4+ 7q+2+1 \begin{align} &=49q^2 +35 q+ 7 \begin{align} &=7(7q^2 + 5q +1) \end{align}\)
Por tanto, la expresión es divisible por 7.
Caso 4: Para comprobar que \(n^7-n\) es divisible por 7 para, \(n = 7q + 3\), donde q es un número entero.
\(n^7-n\) tiene un factor
\(\begin{align} n^2-n + 1 &= (7q+3)^2 -(7q+3) +1 \begin{align} &= 49q^2 + 42q + 9-7q-3 + 1 \begin{align} &= 49q^2 + 35q + 7 \begin{align} &= 7 (7q^2 + 5q + 1) \end{align}\)
Por tanto, la expresión es divisible por 7.
Caso 5: Para comprobar que \(n^7-n\) es divisible por 7 para, \(n = 7q + 4\), donde q es un número entero.
\(n^7-n\) tiene un factor
\(\begin{align} n^2 + n + 1 &= (7q+5)^2 - (7q+5)+1 \begin{align} &= 49q^2 + 56q +16 +7q+4 +1 \begin{align} &= 49q^2 + 63q+21 \begin{align} &=7(7q^2 +9q+3) \end{align})
Por tanto, la expresión es divisible por 7.
Caso 6: Para comprobar que \(n^7-n\) es divisible por 7 para, \(n = 7q + 5\) donde q es un número entero.
\(n^7-n\) tiene un factor
\(\begin{align} n^2-n+1 &= (7q +5)^2 -(7q+5) +1 \\q &= 49q^2 + 70q+25 -7q-5 +1 \q &= 49q² + 63q + 21 \q &= 7(7q^2 + 9q+3) \end{align}\)
Por tanto, la expresión es divisible por 7.
Caso 7: Comprobar que \(n^7-n\) es divisible por 7 para \(n = 7q + 6\), donde q es un número entero.
\(n^7-n\) tiene un factor \(n + 1 = 7q + 6 + 1 = 7q + 7 = 7 (q + 1)\).
Por tanto, la expresión es divisible por 7.
Por tanto, todos los casos satisfacen la afirmación. Por tanto, si n es un número entero positivo, entonces \(n^7-n\) es divisible por 7.
Prueba por agotamiento - Puntos clave
La prueba por agotamiento se utiliza cuando hay un número finito de casos.
Primero debemos encontrar los casos y luego probar cada uno de los casos para demostrar que se cumple.
La prueba se completa si todos los valores son verdaderos.
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