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¿Cuál es la explicación de los números primos?
Los números primos son números naturales mayores que \(1\) que sólo puede dividirse por sí mismo y uno que son todos los números impares excepto \(2\).
Esto significa que un número primo no tiene más factor que él y \(1\).
Realmente genial, ¿verdad? Porque nada puede dividirlo o repartirlo en números enteros más pequeños, excepto \(1\) y él mismo.
En general, los números enteros mayores que \(1\) se dividen en números primos y números compuestos. Los números mayores que \(1\) que no son números primos se denominan números compuestos.
Además, los números primos son números enteros positivos (números enteros positivos), lo que significa que los números negativos no se clasifican como números primos.
¿Qué son los números primos pares?
Los números primos pares son números primos que son números pares. El único número primo par es \(2\) porque \(2\) es factor de todos los números pares existentes. \(2\) también se considera el Número primo más pequeño.
Sin embargo, el mayor Número primo actual es \( 2^{82589933} - 1\\).
Mientras tanto, existen otras categorías de números primos que se analizarán a continuación.
Números primos gemelos
Son dos números primos que tienen un único número compuesto entre ellos. Por ejemplo, \(3\) y \(5\) son números primos gemelos porque sólo tienen \(4\) entre ellos, mientras que \(7\) y \(11\) no son números primos gemelos porque entre \(7\) y \(11\) hay tres números compuestos, como \(8\), \(9\) y \(10\).
Números primos repdígitos
Son números primos repdígitos. Un número repdígito es un número de dos o más cifras que tiene las mismas cifras repetidas, por ejemplo: \(11\), \(22\), \(33\), \(777\), \(5555555\), \(444\), etc. El único repdígito que es un número primo es \(11\).
Números primos retorcidos
Se trata de un par de números primos de dos cifras que son iguales cuando se invierten. Por ejemplo, hay cuatro números primos torcidos, como son: \(13\) y \(31\), \(17\) y \(71\), \(37\) y \(73\), y \(79\) y \(97\).
¿Cuáles son las propiedades de los números primos?
Los números primos tienen las siguientes propiedades
a) Todos son indivisibles por cualquier número excepto por \(1\) y por sí mismo.
b) Todos son mayores que \(1\), siendo \(2\) el menor de todos ellos.
c) Son coprimas entre sí, lo que significa que \(1\) es el único factor de dos números primos cualesquiera que sean factores entre sí. Por ejemplo, \(3\) no es factor de \(5\).
Los números coprimos son dos números que no tienen factores comunes excepto \(1\). Por ejemplo, \(4\) y \(9\) son un par coprimo porque \(1\) es el único factor común entre ambos.
d) No hay repdígitos entre los números primos, excepto \(11\).
e) Todo número positivo igual o mayor que \(3\) es suma de dos números primos semejantes o distintos. Por ejemplo, \(50\) es una suma de números primos \(37\) y \(13\); del mismo modo, \(99\) es una suma de números primos \(97\) y \(2\).
f) Todos los números compuestos pueden expresarse (factorizarse) como un producto de números primos que se denominan factores primos. Por ejemplo, \(26\) puede expresarse como:
$$26=2 veces 13$$
Del mismo modo, \(54\) puede expresarse como:
$$54=2 veces 3 veces 3 veces 3$$
g) Todos los números primos son impares, excepto \(2\), porque \(2\) es factor primo de todos los números pares.
¿Cuál es la fórmula de los números primos?
Hay dos fórmulas que se utilizan habitualmente para obtener los números primos.
La primera fórmula de los números primos
La primera fórmula utilizada es
$$\text{Número primo}=6n\pm 1$$
Donde \(n\) es \(1, 2, 3, 4,...,n\). Mientras tanto, esta fórmula sólo funciona cuando el valor no es múltiplo de un número primo. Si el valor de \(n\) es múltiplo de un número primo, por ejemplo, cuando \(n\) es \(4\) obtenemos
$$(6 veces 4)+1=25$$
\(25\) no es un número primo, ya que tiene un factor \(5\) distinto de \(1\) y \(25\).
En consecuencia, al aplicar esta fórmula, haz bien en confirmar si el valor es efectivamente múltiplo de otros números primos.
Utilizando la primera fórmula, encuentra números primos para los valores de \(n\) de \(2\), \(3\) y \(9\) y confirma que son números primos.
Solución:
Utilizando la primera fórmula en la que \(n\) es \(2\)
$$\text{Número primo}=6n\pm 1$$
$$n=2$$
$$(6 veces 2)+1=13$$
$$(6 veces 2)-1=11$$
Cuando \(n\) es \(2\), obtenemos \(11\) y \(13\), ambos son números primos.
Utilizando la fórmula en la que \(n\) es \(3\)
$$\text{Número primo}=6n\pm 1$$
$$n=3$$
$$(6 veces 3)+1=19$$
$$(6 veces 3)-1=17$$
Cuando \(n\) es \(3\), obtenemos \(19\) y \(17\), ambos son números primos.
Utilizando la fórmula en la que \(n\) es \(9\)
$$\text{Número primo}=6n\pm 1$$
$$n=9$$
$$(6 veces 9)+1=55$$
$$(6 veces 9)-1=53$$
Cuando \(n\) es \(9\), obtenemos \(55\) y \(53\). \(53\) es un número primo, pero \(55\) no lo es porque \(11\) y \(5\) son factores primos de \(55\).
Segunda fórmula de los números primos
La segunda fórmula utilizada sólo es aplicable a los números primos mayores que \(40\). La fórmula utilizada es
$$\text{Prime number}=n^2+n+41$$
Donde \(n\) es \(0, 1, 2, 3, 4,...,n\).
Para los valores \(n\) de \(1\) y \(3\), halla los números primos utilizando la segunda fórmula de los números primos.
Solución:
Utilizando la fórmula cuando \(n\) es \(1\)
$$\text{Prime number}=n^2+n+41$$
$$n=1$$
$$1^2+1+41=43$$
Utilizando la fórmula cuando \(n\) es \(3\)
$$\text{Prime number}=n^2+n+41$$
$$n=3$$
$$3^2+3+41=53$$
Ejemplos de números primos
Entre los números \(1\) a \(20\), ¿cuáles son los siguientes presentes
a. Números primos.
b. Una torsión de números primos.
c. Números primos repdígitos.
d. Números primos gemelos.
Solución:
a) Utilizando la fórmula
$$6n\pm 1$$
podríamos encontrar números primos como \(5, 7, 11, 13, 17\), y \(19\). Mientras tanto, el rango va de \(1\) a \(20\). Sabemos que \(2\) y \(3\) son números primos, pero la fórmula no tiene en cuenta los números primos menores que \(5\). Por tanto, los números primos desde \(1\) hasta \(20\) son: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17\), y \(19\). Con esta información, podemos hallar la respuesta a las preguntas restantes.
b) Números primos entre sí: Los números primos gemelos entre \(1\) y \(20\) son \(13\) y \(17\), porque al invertir las cifras de ambos se obtienen números primos como \(31\) y \(71\) respectivamente.
c) Números primos repdígitos: El único número primo repdígito entre \(1\) y \(20\) es \(11\).
d) Números primos gemelos: Los números primos gemelos entre \(1\) y \(20\) son; \(3\) y \(5\), \(5\) y \(7\), \(11\) y \(13\), y \(17\) y \(19\).
Números primos - Puntos clave
- Los números primos son números naturales mayores que \(1\) que sólo pueden dividirse por sí mismos y uno que son todos los números impares excepto \(2\).
- Los números primos pares son números pares con \(2\) como único número primo par.
- Los números primos tienen varias propiedades.
- A menudo se utilizan dos fórmulas para calcular los números primos:$$6n\pm 1$$donde \(n\) es \(1, 2, 3, 4,...,n\)y$$n^2+n+41$$donde \(n\) es \(0, 1, 2, 3,...,n\).
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