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Este artículo explora las Ecuaciones diferenciales. Primero veremos la definición de una ecuación diferencial y cómo verificar una solución. Después veremos cómo resolver una ecuación diferencial ordinaria de primer orden separable, esbozar familias de soluciones y modelizar con una ecuación diferencial.
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Equipo de profesores de Ecuaciones Diferenciales
Cuando tenemos una ecuación que implica una serie de derivadas, la llamamos ecuación diferencial. Cuando las derivadas son de una función de una variable, la llamamos ecuación diferencial ordinaria (EDO). Cuando hablamos de una ecuación diferencial, solemos hablar de su orden. Por orden se entiende la derivada más alta que está presente en la ecuación. Por ejemplo, la ecuación 
es de orden dos, ya que la derivada de mayor orden en la ecuación es de segundo orden.
Al resolver una ecuación diferencial, el objetivo es encontrar una función que satisfaga la ecuación. Esta solución no será única, ya que con una derivada se puede añadir una constante que cambie la función pero siga satisfaciendo la ecuación. La única forma de encontrar el valor de esta constante es añadiendo una condición de contorno.
En una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, sólo necesitamos una condición de contorno para satisfacer la incógnita. En general, para una ecuación diferencial ordinaria de orden, necesitamos n condiciones de contorno. Una condición de contorno especifica el valor de la función en un punto determinado. Esto te permite calcular el valor de los coeficientes desconocidos.
Ante una ecuación diferencial, si nos dan una solución potencial, podemos comprobar si es válida o no. Para ello hay que calcular todas las derivadas utilizadas y rellenarlas para ver si la solución potencial es adecuada para satisfacer la ecuación.
Comprueba que 
es una solución de 
. (Observa aquí que utilizamos para representar 
, y para representar 
).
Utilizando la Regla del Producto, hallemos la primera y la segunda derivada de y con respecto a x.
Entonces
Ahora podemos completar los valores para obtener
Por tanto, se verifica la solución.
En el nivel A, sólo necesitamos saber resolver Ecuaciones diferenciales ordinarias separables de primer orden. Separable se refiere al hecho de que las dos variables (normalmente x e y) pueden separarse y luego dividirse para resolverlas.
La forma de una ecuación diferencial separable (para las variables y y x, donde y es una función de x) es 
. Podemos reordenarla para obtener
, e integrarla para obtener
. Una vez integrada, ésta es nuestra solución general para la ecuación diferencial. Si es necesario, podemos aplicar condiciones de contorno para encontrar una solución específica.
Cabe señalar que, estrictamente hablando, no podemos manipular
de esta forma, ya que no es una fracción, sino una Notación para la derivada. Sin embargo, en este caso podemos tratarla como una fracción.
Encuentra la solución general de
.
Ésta es de la forma 
, lo que significa que la solución es de la forma 
. Esto significa que podemos rellenar las dos Funciones para llegar a 
. Integrando el lado derecho, obtenemos 
. En el lado izquierdo, se trata de una integral estándar, dada como 
.
Esto también se puede conseguir utilizando la sustitución 
Esto significa que nuestra solución es 
. Observa que aquí hemos combinado ambas constantes en una. Podemos simplificarlo aún más para obtener
.
Encuentra la solución de 
, con
.
En primer lugar, separemos esta ecuación para obtener 
.
El lado izquierdo se integra en
, y el lado derecho se integra en
.
Se combinan para dar
. Esto puede simplificarse aún más para obtener
.
Sabemos que
, así que podemos completarlo para obtener
.
Esto da C = 1, y nuestra solución es
.
Cuando buscamos una solución general para una ecuación diferencial, nos quedan constantes en la ecuación general. Estas constantes pueden tener cualquier valor, y seguirían satisfaciendo la ecuación diferencial. La familia de curvas solución es la colección de las Funciones con diversos valores para las constantes.
Encuentra la solución general de 
, y dibuja una gráfica que lo muestre con cuatro soluciones particulares diferentes.
A continuación se muestra una gráfica que muestra cuándo C = -1, 0, 1, 2
Una familia de soluciones, con C = 2 verde, C = 1 azul, C = 0 rojo y C = -1 morado, Tom Maloy - StudySmarter Originals
La razón por la que estudiamos ecuaciones diferenciales es la posibilidad de utilizarlas en situaciones de la vida real. Para ilustrarlo, veamos un ejemplo.
Supongamos un depósito cilíndrico de agua de radio 5 m. La altura del agua en el depósito en cualquier punto se indica como
. El agua sale del depósito a un ritmo proporcional a la raíz cuadrada del volumen del depósito. Halla 
.
El volumen del depósito de agua en un punto cualquiera viene dado por
, lo que significa
.
El agua sale a un ritmo proporcional a la raíz cuadrada del volumen, es decir
, donde a es una constante de proporcionalidad.
Podemos utilizar la expresión anterior del volumen para obtener
.
Entonces, por la regla de la cadena,
.
, con solución
.Regístrate gratis para acceder a todas nuestras tarjetas.
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
Conoce a Gabriel Gabriel
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