Fracciones, Decimales y Porcentajes

\(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{8}) son todas fracciones propias.

\(\frac{3}{2}, \frac{3}{3}, \frac{8}{3}) son todas fracciones impropias.

Convierte lo siguiente en fracciones mixtas.

a. $\frac{5}{3}$

b. \(\frac{27}{6}})

Solución

a. Convertir \(\frac{5}{3}}) en fracción mixta.

Paso 1: Divide el numerador por el denominador.

$$5÷3=1r2$$

donde $r$ significa "resto".

Paso 2: como tu número entero es $1$ y tu resto es $2$, puedes colocar $1$ a la izquierda. Entonces $2$ se convierte en el nuevo numerador, mientras que $3$ se mantiene como denominador, de modo que tienes

$$\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$$

Paso 3: Comprueba que no hay ningún factor común entre el nuevo numerador y el denominador. $2$ y $3$ son ambos números primos, por tanto, sin factor común.

Por tanto, la fracción impropia, \(\frac{5}{3}}), tiene la fracción mixta, \(1\frac{2}{3}}).

b. Convertir \(\frac{27}{6}}) en fracción mixta.

Paso 1: Divide el numerador por el denominador.

$$27÷6=4r3$$

donde $r$ significa "resto".

Paso 2: como tu número entero es $4$ y tu resto es $3$, puedes colocar $4$ a la izquierda. Entonces $3$ se convierte en el nuevo numerador, mientras que $6$ se mantiene como denominador, de modo que tienes

$$\frac{27}{6}=4\frac{3}{6}$$

Paso 3: Comprueba que no hay ningún factor común entre el nuevo numerador y el denominador. Entre el numerador, $3$, y el denominador, $6$, hay un factor común que es $3$. Por tanto, simplifica $\frac{3}{6}$ dividiendo por $3$ para llegar a

\[4+frac{3\div 3}{6\div 3}=4\frac{1}{2}\}].

Como el numerador y el denominador actuales no pueden dividirse más, por tanto, la fracción impropia, $\frac{27}{6}$, tiene la fracción mixta, $4\frac{1}{2}$.

0,5, 2,46 y 0,0057 son números decimales.

En el decimal 2,46, 2 es un número entero y es un número entero, mientras que 0,4 (4 décimas) y 0,06 (6 centésimas) son no enteros porque son sólo partes de un número entero.

$50\mathrm{\%}$, $40\mathrm{\%}$, $13\mathrm{\%}$ son ejemplos de porcentajes.

En realidad $50\mathrm{\%}$ significa

$$50\mathrm{\%}=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$$

Del mismo modo, $40\mathrm{\%}$ significa

$$40\mathrm{\%}=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$$

y $13$ significa

$$13\mathrm{\%}=\frac{13}{100}$$

Convierte las siguientes fracciones en porcentajes:

a) \(\frac{1}{4}\})

b) \(2 \cdot \frac{1}{5}})

Solución

a) Paso 1: Multiplica la fracción por 100%.

$$\frac{1}{4}\cdot 100\mathrm{\%}$$

b) Paso 2: Simplifica el resultado anterior, dividiéndolo por 4

$$\frac{1}{4}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{100}{4}\mathrm{\%}=\frac{cancelar100}{cancelar4}\mathrm{\%}=25\mathrm{\%}$$

b) Cuando debas convertir una fracción mixta en un porcentaje, tienes un paso adicional. En primer lugar, convierte la fracción mixta en fracción impropia:

\frac{1}{5} = \frac{(2 \cdot 5) +1}{5} = \frac{11}{5}].

Pasemos ahora a los pasos.

Paso1: Multiplica la fracción impropia por 100%; $\frac{11}{5}\cdot 100\mathrm{\%}$

Paso 2: Simplifica dividiendo por 5;

\(\frac{11}{{cancel{5}}\cdot \cancel{100}\% = 11 \cdot 20\%= 220\%)

Convierte los siguientes porcentajes en fracciones:

a) 40%

b) 120%

Solución

a) Paso 1: Divide el porcentaje por 100%.

$\frac{40\mathrm{\%}}{100\mathrm{\%}}$

Paso 2: Simplifica hasta que no puedas dividir más.

\(\frac{{cancelar{40\%}}{{cancelar{100\%}} = \frac{4}{10} = \frac{cancelar{4}}{{cancelar{10}} = \frac{2}{5})

b) Paso 1: Divide el porcentaje por 100%.

$\frac{120\mathrm{\%}}{100\mathrm{\%}}$

Paso 2: Simplifica hasta que no puedas dividir más.

\(\frac{{cancel{120\%}}{\frac{100\%}} = \frac{12}{10} = \frac{{cancel{12}} {\frac{100\%}} {\cancel{10}} = \frac{6}{5} = 1 \cdot \frac{1}{5}\)

Convierte lo siguiente a decimal:

a) \(\frac{1}{5}\})

b) \(\frac{1}{8}})

Solución

a)\(\frac{1}{5}})

El numerador 1 es menor que el denominador 5. Así que añades un 0 delante del 1 convirtiéndolo en 10, pero colocas un 0 y un punto decimal después encima de la fracción, como se ve a continuación,

$$0,\frac{10}{5}$$

Ahora el numerador es lo suficientemente grande como para dividirlo por el denominador, por lo que puedes dividir;

\[0,\frac{10}{5} = \frac{\cancel{10}}{\cancel{5}}].

Coloca tu respuesta después del punto decimal. Continúa dividiendo si hay un resto; pero en este caso, no hay resto. Por tanto:

\[0,2 \frac{1}{5}\}]

Así que nuestra respuesta es 0,2.

b) $\frac{1}{8}$

El numerador 1 es menor que el denominador 5. Así que añades un 0 delante de 1, convirtiéndolo en 10, pero colocas un 0 y un punto decimal después, encima de la fracción, como se ve a continuación;

$$0,\frac{10}{8}$$

10 dividido por 8 es 1 resto 2; escribe el 1 después del punto decimal y deja el resto encima de 10.

$$0.1\frac{\cancel{{10}^2}}{\cancel{8}}$$

A continuación, divides el resto 2 entre 8, 2 es menor que 8, así que le añades otro 0 al lado para que sea 20 y lo divides entre 8;

$$0.1\frac{\cancel{{20}^4}}{\cancel{8}}$$

A continuación, divides el resto 4 entre 8, 4 es menos que 8, así que añades otro 0 al lado para que sea 40 y divides entre 8;

$0.12\frac{\cancel{40}}{\cancel{8}}$

Ya no queda resto, por tanto

\[\frac{1}{8} = 0,125\}].

Así que nuestra respuesta es 0,125.

Convierte lo siguiente a fracción:

a) 0.2

b) 0.125

Solución

a) Paso 1 : Determina cuántos decimales tiene; el p.d. de 0,2 es 1 porque sólo hay un número que viene después del punto decimal.

Paso 2: Como tiene 1 p.d., significa que se divide con 10.

Paso 3: Quita la coma decimal y divide el número entre 10, 100, 1000, etc., dependiendo de la p.d.; cuando quitas la coma decimal, el número que tienes es 02, pero en realidad se omite el 0, por lo que tienes 2. Ahora divide 2 entre 10:

\(\frac{2}{10}= \frac{\cancel{2}}{\cancel{10}} = \frac{1}{5}})

b) Paso 1 : Determina cuántos decimales tiene; el p.d. de 0,125 es 3 porque hay tres números que vienen después del punto decimal.

Paso 2: Como tiene 3 p.d., significa que 1000 es el divisor.

Paso3: Elimina la coma decimal y divide el número entre 10, 100, 1000, etc., dependiendo de la p.d.; cuando eliminas la coma decimal, el número que tienes es 0125, pero en realidad se omite el 0, por lo que tienes 125. Ahora divide 125 entre 1000;

$\frac{125}{1000}$

Divide por 5:

$\frac{\cancel{125}}{\cancel{1000}}=\frac{25}{200}$

Continúa dividiendo hasta que ya no puedas dividir más:

\(\frac{cancel{125}}{\frac{cancel{1000}}=\frac{25}{200} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8})

Convierte lo siguiente a porcentaje:

a) 0.7

b) 1.6

Solución

a) Multiplica el decimal por 100%:

$0,7\cdot 100\mathrm{\%}=70\mathrm{\%}$

b) Multiplica el decimal por 100%:

$1,6\cdot 100\mathrm{\%}=160\mathrm{\%}$

Convierte lo siguiente a decimales:

a) 70%

b) 160%

Solución

a) Divide por 100%:

$\frac{70\mathrm{\%}}{100\mathrm{\%}}=\frac{\cancel{70\mathrm{\%}}}{\cancel{100\mathrm{\%}}}=\frac{7}{10}$

Convierte la fracción a decimal siguiendo los pasos explicados anteriormente;

\(\frac{7}{10} = 0,70,7\})

b) Divide por 100%:

$\frac{160\mathrm{\%}}{100\mathrm{\%}}=\frac{160\mathrm{\%}}{cancel100\mathrm{\%}}=\frac{16}{10}=\frac{8}{5}$

Convierte la fracción a decimal siguiendo los pasos explicados anteriormente:

\(\frac{8}{5} = 1,6\})

Un hombre gana 1000€ y gasta 400€ en alojamiento.

a) Determina la fracción que gasta en alojamiento.

b) Expresa en decimales la fracción que gasta en comestibles si gasta 100 £ en ello.

c) Determina el porcentaje que dona de sus ingresos si da limosna por valor de 50 £.

Solución

a) La fracción que gasta en alojamiento se calcula como

\(\frac{400}{1000} = \frac{cancel{400}}{cancel{1000}} = \frac{4}{10}=\frac{2}{5})

b) La parte gastada en comestibles en decimales es

\(\frac{100}{1000} = \frac{cancel{100}}{cancel{1000}} = \frac{1}{10}})

Siguiendo los pasos explicados anteriormente, la fracción se convierte en

\(\frac{1}{10} = 0,10,1\})

c) el porcentaje que da a los pobres es

$\frac{50}{1000}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{50}{10\cancel{00}}\cdot \cancel{100}\mathrm{\%}=\frac{5}{10}\mathrm{\%}=\frac{1}{2}\mathrm{\%}=\frac{1}{5}\mathrm{\%}$

o puede expresarse como porcentaje decimal convirtiendo la parte fraccionaria en decimal

$\frac{1}{5}\mathrm{\%}=0,2\mathrm{\%}$