Funciones de Módulo

Ecuación de las funciones módulo

La ecuación de una función módulo se denota de la siguiente manera:

El dominio de una función módulo es el conjunto de todos los Números Reales, y el rango es el conjunto de todos los Números Reales mayores o iguales que cero. A partir de la ecuación, podemos decir que si el número dentro de la función módulo ya es positivo, lo dejas así, pero si el número es negativo, entonces el resultado será la versión positiva de ese número (como si multiplicaras el número negativo por -1).

Propiedades de las funciones módulo

Las propiedades de las funciones módulo son:

• El módulo o valor absoluto de un número siempre dará un resultado positivo.

• El módulo de un número x dará el mismo resultado que el módulo de -x.

$\left|x\right|=|-x|=x$

• El módulo del producto de dos valores a y b puede dividirse en el producto de dos valores de módulo distintos.

$|axb|=\left|a\right|x\left|b\right|$

• El módulo de la división de dos valores a y b puede dividirse en la división de dos valores de módulo distintos.

$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}$

• El módulo de la suma o resta de dos valores, a y b, no puede dividirse en la suma o resta de dos valores de módulo distintos.

$|a\pm b|\ne \left|a\right|\pm \left|b\right|$

• Al resolver ecuaciones, las funciones de módulo implican un paso extra:

Teniendo en cuenta que el valor de x dentro de una función módulo puede ser positivo o negativo, tienes que resolver la ecuación considerando ambos casos, por lo que obtendrás dos soluciones.

¿Cómo se grafican las funciones módulo?

Para dibujar la gráfica de una función módulo tienes que sustituir los valores de x en $f\left(x\right)=\left|x\right|$para obtener los valores correspondientes de y, como $y=f\left(x\right)$. Obtendrás una tabla de valores de x e y que deberás representar en el plano de coordenadas. Sustituiremos los valores de x de -2 a 2.

Gráfico de la función módulo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Para dibujar la gráfica de la función módulo $y=|ax+b|$tienes que dibujar $y=ax+b$y reflejar en el eje x la parte de la recta que va por debajo del eje x.

Resolución de ecuaciones con funciones módulo

Cuando tengas una ecuación como $|3x-1|=5$puedes utilizar su gráfica para encontrar su solución siguiendo estos pasos:

Resolución de inecuaciones con funciones módulo

Basándonos en el ejemplo anterior, ahora vamos a resolver la desigualdad $|3x-1|>5$. Tienes que proceder del mismo modo que antes para hallar los valores de x en los puntos de intersección A y B, que son $x=2$ y $x=\frac{-4}{3}$.

Inversa de una función módulo

La inversa de una función módulo no es una función, a menos que restrinjas su dominio para que pueda ser una función uno a uno. Para conseguirlo, tenemos que restringir su dominio a sólo una mitad de la gráfica. Puedes elegir cualquiera de las dos mitades si no se especifica en la pregunta.

¿Cómo se diferencia una función módulo?

Para hallar la derivada de la función módulo, tenemos que volver a mirar la ecuación de una función módulo:

Sabemos que $\frac{d}{dx}x=1$por lo que podemos decir lo siguiente

En general $\frac{d}{dx}\left(\right|x\left|\right)=\frac{x}{\left|x\right|}$para todos los valores de x distintos de$x=0$

¿Cómo se integra una función módulo?

Para hallar la integral de una función módulo, podemos proceder como sigue:

Sabemos que la función módulo se define así,

Por tanto, tenemos que calcular las integrales de x y -x.

Utiliza la fórmula de integración: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$