Integración de Funciones Trigonométricas

¿Cómo se integran las funciones trigonométricas?

Cada función trigonométrica tiene su integral definida:

Integral de sen(x)

La integral de \(\sin{x}\) es \(-\cos{x} + c\). Usando la notación integral, \(\int{sin{x}}espacio dx\).

Integral de cos(x)

La integral de \(\cos{x}\) es \(\sin{x} + c\) o \(\int{\cos{x}} dx = \sin{x} + c\).

Integral de tan(x)

La integral de tan(x) es \(ln|cos{x}| + c\) o \(\int{\tan{x} dx} = ln|\cos{x}| + c\).

Veamos la derivación de esto.

Sabemos que \(\tan{x} = \frac {\sin{x}}{cos{x}}), así que podemos sustituirlo por la integral \(\int{\tan{x}} dx} = \int {\frac {\sin{x}}{cos{x}}dx}}.

Para resolverlo, podemos utilizar la sustitución u = cos(x), de modo que \(\frac{du}{dx} = -\sin{x}\) y \(dx = -\frac{1}{\sin{x}} du\).

Nuestra integral tendrá ahora este aspecto \(\int{\frac{\sin{x}}{u}}{\frac{1}{-\sin{x}}} du\)

Podemos anular la \(\sin{x}\}) y obtener \(\int{-\frac{1}{u} du}\}).

Sabemos que la integral de \( \frac{1}{x} = ln(x)\) por tanto, \(\int{-\frac{1}{u} du} = -ln(u) + c\) .

Si volvemos a sustituir \(\cos{x}\), obtenemos \(\-ln \cdot \cos {x}\), que equivale a \(ln|\cos{x}|^{-1}\)

¿Cómo se integran las funciones trigonométricas al cuadrado?

Para integrar funciones trigonométricas al cuadrado, como \(\sin^2{x}\), puedes utilizar las integrales de las funciones trigonométricas que acabas de determinar, y las identidades angulares dobles.

Por ejemplo, para hallar \(\int{{sin^2{x} \space dx}\), puedes utilizar la identidad \(\cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}\).

Si reordenamos esta expresión para hallar \(\sin^2{x}\), se obtiene \(\sin^2{x} = \frac{1}{2} - \frac {\cos{2x}}{2}\).

Ahora podemos sustituir esto en nuestra integral:

\(\int{sin^2{x} \dx} = \int {\frac{1}{2} -frac {cos{2x}} {2} \espacio dx})

Sabemos que la integral de \(\cos{x}\) es \(\sin{x}\) por lo que la integral de \(\cos{2x}\) es \( \frac{1}{2} \sin {2x}\)

Teniendo en cuenta el factor de \(\frac{1}{2}\), obtenemos

\(\int{sin^2{x} \space dx} = \frac {1}{2}x - \frac {1}{4} \sin {2x} + c\)

Integrar funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas, como arcsin, arccos y arctan, no pueden integrarse directamente. Por tanto, utilizamos la integración por partes. Sabemos que \(\int{u \space dv} = uv - \int {v \space du}\), y como no podemos integrar la función trigonométrica inversa pero sí derivarla, dejamos que u = función trigonométrica inversa y v = 1. A continuación, se utiliza la fórmula de integración por partes para resolver la integral.

Integral de arcsin(x)

La integral de \(\arcsin{x}\) puede escribirse como \(\int{\arcsin{x}\cdot 1 \space dx}\).

Por tanto, deja que \(u = \arcsin {x}, du = \frac {1}{sqrt{1-x^2}}, dv = 1, v =x\). .

Usamos la fórmula de integración por partes y hallamos el \int {\arcsin{x} \space dx} = x \cdot \arcsin {x} - \int {\frac {x}{\sqrt{1-x^2}}. \space dx}).

Sea \(w = 1 - x^2\). Por tanto, \(dw = -2x \space dx\).

\(\int{arcsin{x} \dx} = x \cdot \arcsin{x} + \frac{1}{2} \int {-2x(1 - x^2)^-\frac{1}{2}} \space dx}\).

Entonces, \(\int{{arcsin{x}} \space dx} = x \cdot \arcsin{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac {(1-x^2)^{-\frac{1}{2} + 1}{-\frac{1}{2} + 1} = x \cdot \arcsin{x} + (1 - x^2)^{\frac{1}{2}}) .

Por tanto, \(\int {\arcsin{x} \space dx} = x \cdot \arcsin{x} + \sqrt {1 - x^2} + c\).

Integral de arccos(x)

La integral de \(\arccos{x}\) puede escribirse como \(\int{\arccos{x}\cdot 1 \cdot dx}\). Utilizando la integración por partes, sea \(u = \arccos{x}, du = \frac {-1}{sqrt{1-x^2}}, dv = 1, v = x\) . Utilizando la fórmula de integración por partes, al encontrar que \(\int{\arccos{x} \space dx} = x \cdot \arccos {x} - \int{\frac{-x}{\sqrt{1}-x^2} \dx), o \(x \cdot \arccos{x} + \int{\frac{x}{cuadrado1-x^2} dx). A continuación, utilizamos la integración por sustitución, dejando que \(w = 1 - x^2\).

Siguiendo el mismo método que para la integral de \(\arccosin{x}), encontramos que \(\int{arccos{x} \cdot dx} = x \cdot \arccos{x} - \sqrt{1-x^2} + c\).

Integral de arctan(x)

La integral de arctan(x) puede escribirse como \int {\arctan{x} \cdot 1 \space dx}\). Utilizando la integración por partes, que \(u = \arctan{x}, \space du = \frac{1}{1 + x^2}, \space dv = 1, \space v = x\). Utilizando la fórmula de integración por partes, hallamos que \(\int\arctan{x} \space dx = x \cdot \arctan{x} - \int {\frac{x}{1 + x^2} dx}\). Reconocemos esta integral como un logaritmo natural de \((1 + x^2)\), ya que, dejando que \(w = 1 + x^2\), \(dw = 2x\). Esto significa que el numerador \(x = \frac{1}{2} dw\).

Por tanto, encontramos que \(\int{\arctan{x} \space dx} = x \space \arctan{x} - \frac{1}{2} ln|1 + x^2| + c\).

Tabla resumen de integración de funciones trigonométricas

Tabla 1. Integración de funciones trigonométricas.