Integración de Funciones Trigonométricas

¿Cómo se integran las funciones trigonométricas?

Cada función trigonométrica tiene su integral definida:

Integral de sen(x)

La integral de $\sin x$ es $-\cos x+c$. Usando la notación integral, $\int sinxespaciodx$.

Integral de cos(x)

La integral de $\cos x$ es $\sin x+c$ o $\int \cos xdx=\sin x+c$.

Integral de tan(x)

La integral de tan(x) es $ln|cosx|+c$ o $\int \tan xdx=ln|\cos x|+c$.

Veamos la derivación de esto.

Sabemos que \(\tan{x} = \frac {\sin{x}}{cos{x}}), así que podemos sustituirlo por la integral \(\int{\tan{x}} dx} = \int {\frac {\sin{x}}{cos{x}}dx}}.

Para resolverlo, podemos utilizar la sustitución u = cos(x), de modo que $\frac{du}{dx}=-\sin x$ y $dx=-\frac{1}{\sin x}du$.

Nuestra integral tendrá ahora este aspecto $\int \frac{\sin x}{u}\frac{1}{-\sin x}du$

Podemos anular la \(\sin{x}\}) y obtener \(\int{-\frac{1}{u} du}\}).

Sabemos que la integral de $\frac{1}{x}=ln(x)$ por tanto, $\int -\frac{1}{u}du=-ln(u)+c$ .

Si volvemos a sustituir $\cos x$, obtenemos $\text{-}ln\cdot \cos x$, que equivale a $ln|\cos x{|}^{-1}$

¿Cómo se integran las funciones trigonométricas al cuadrado?

Para integrar funciones trigonométricas al cuadrado, como ${\sin }^{2}x$, puedes utilizar las integrales de las funciones trigonométricas que acabas de determinar, y las identidades angulares dobles.

Por ejemplo, para hallar \(\int{{sin^2{x} \space dx}\), puedes utilizar la identidad $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$.

Si reordenamos esta expresión para hallar ${\sin }^{2}x$, se obtiene ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}-\frac{\cos 2x}{2}$.

Ahora podemos sustituir esto en nuestra integral:

\(\int{sin^2{x} \dx} = \int {\frac{1}{2} -frac {cos{2x}} {2} \espacio dx})

Sabemos que la integral de $\cos x$ es $\sin x$ por lo que la integral de $\cos 2x$ es $\frac{1}{2}\sin 2x$

Teniendo en cuenta el factor de $\frac{1}{2}$, obtenemos

$\int si{n}^{2}xdx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x+c$

Integrar funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas, como arcsin, arccos y arctan, no pueden integrarse directamente. Por tanto, utilizamos la integración por partes. Sabemos que $\int udv=uv-\int vdu$, y como no podemos integrar la función trigonométrica inversa pero sí derivarla, dejamos que u = función trigonométrica inversa y v = 1. A continuación, se utiliza la fórmula de integración por partes para resolver la integral.

Integral de arcsin(x)

La integral de $\arcsin x$ puede escribirse como $\int \arcsin x\cdot 1dx$.

Por tanto, deja que $u=\arcsin x,du=\frac{1}{sqrt1-x^2},dv=1,v=x$. .

Usamos la fórmula de integración por partes y hallamos el \int {\arcsin{x} \space dx} = x \cdot \arcsin {x} - \int {\frac {x}{\sqrt{1-x^2}}. \space dx}).

Sea $w=1-x^2$. Por tanto, $dw=-2xdx$.

$\text{Extra close brace or missing open brace}$.

Entonces, \(\int{{arcsin{x}} \space dx} = x \cdot \arcsin{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac {(1-x^2)^{-\frac{1}{2} + 1}{-\frac{1}{2} + 1} = x \cdot \arcsin{x} + (1 - x^2)^{\frac{1}{2}}) .

Por tanto, $\int \arcsin xdx=x\cdot \arcsin x+\sqrt{1-x^2}+c$.

Integral de arccos(x)

La integral de $\arccos x$ puede escribirse como $\int \arccos x\cdot 1\cdot dx$. Utilizando la integración por partes, sea $u=\arccos x,du=\frac{-1}{sqrt1-x^2},dv=1,v=x$ . Utilizando la fórmula de integración por partes, al encontrar que \(\int{\arccos{x} \space dx} = x \cdot \arccos {x} - \int{\frac{-x}{\sqrt{1}-x^2} \dx), o \(x \cdot \arccos{x} + \int{\frac{x}{cuadrado1-x^2} dx). A continuación, utilizamos la integración por sustitución, dejando que $w=1-x^2$.

Siguiendo el mismo método que para la integral de $\text{arccosin}x),encontramosque\text{(}\int arccosx\cdot dx=x\cdot \arccos x-\sqrt{1-x^2}+c$.

Integral de arctan(x)

La integral de arctan(x) puede escribirse como \int {\arctan{x} \cdot 1 \space dx}\). Utilizando la integración por partes, que $u=\arctan x,du=\frac{1}{1+x^2},dv=1,v=x$. Utilizando la fórmula de integración por partes, hallamos que $\int \arctan xdx=x\cdot \arctan x-\int \frac{x}{1+x^2}dx$. Reconocemos esta integral como un logaritmo natural de $(1+x^2)$, ya que, dejando que $w=1+x^2$, $dw=2x$. Esto significa que el numerador $x=\frac{1}{2}dw$.

Por tanto, encontramos que $\int \arctan xdx=x\arctan x-\frac{1}{2}ln|1+x^2|+c$.

Tabla resumen de integración de funciones trigonométricas

Tabla 1. Integración de funciones trigonométricas.