Leyes de los logaritmos

Ley de la prueba de troncos

No es necesario poder demostrar cada ley de logaritmos para el examen, pero es importante comprender cada paso y por qué se produce.

Ley del producto (suma)

1. Si \(\log_x(a) = c\) y \(\log_x(b) = d\), entonces puedes reescribir los logaritmos como una función exponencial.

x, el exponente es c, la respuesta a la exponencial es a.

Por tanto, puede escribirse como \(x^c = a\)

Para \(\log_x(b) = d\), la base es x, el exponente es d, y la respuesta de la exponencial es b.

Por tanto, puede escribirse como \(x^d = b\)

2. Así, utilizando nuestra regla exponencial (índices) de \(M^n \cdot M^n = M^{m+n}\),

\(ab = (x^c)(x^d) = x^{c+d}\)

\(ab = x^{c+d}\)

3. Toma el logaritmo de ambos lados:

\(\log_x(ab) = \log_x(x^{c+d})\)

4. Como \(\log_x(x^{c+d})\) incluye tanto una exponencial con base x como un logaritmo con base x (\(\log_x(x^{c+d})\)), se anularán entre sí para convertirse sólo en c + d.

\(log_x(x^{c+d}) = c +d \)

\(log_x(ab) = c+d\)

5. Hemos definido c y d en la parte 1. \(\log_x(a) = c\) y \(\log_x(b) = d\)

Por tanto, \(c +d = \log_x(a) + \log_x(b)\)

\(\log_x(ab) = \log_x(a) + \log_x(b)\)

Regla del cociente

1. Si \(\log_x(a) = c\) y \(\log_x(b) = d\), entonces puedes reescribir los logaritmos como una función exponencial.

For\(\log_x(a) = c\), la base es x, el exponente es c y la respuesta a la exponencial es a.

Por tanto, puede escribirse como \(x^c = a\)

Para \(\log_x(b) = d\), la base es x, el exponente es d, y la respuesta a la exponencial es b.

Por tanto, puede escribirse como \(x^d = b\)

2. Así, utilizando nuestras reglas exponenciales (índices) de \(\frac{M^m}{M^n} = M^{m-n}\),

\(\frac{a}{b} = \frac{x^c}{x^d} = x^{c-d}\)

\(\frac{a}{b} = x^{c-d}\})

3. Toma el logaritmo de ambos lados.

\(\log_x(\frac{a}{b}) = \log_x(x^{c-d})\)

4. Como \(\log_x(x^{c-d})\) incluye tanto una exponencial con base x como un logaritmo con base x, se anularán entre sí para convertirse sólo en c - d.

\(\log_x(x^{c-d}) = c-d\)

\(\log_x(\frac{a}{b}) = c-d\)

5. Hemos definido c y d en la parte 1, donde \(\log_x(a) = c\) y \(\log_x(b) = d\):

\(c-d = \log_x(a) - \log_x(b)\)

\(\log_x(\frac{a}{b}) = \log_x(a) - \log_x(b)\)

Cambio de base

1. Sea \(\log_a(x) = k\) donde la base es a,el exponente es k, y la respuesta a la exponencial = x .

Por tanto, puede reescribirse como una exponencial: \(a^k = x\)

2. Toma el logaritmo de ambos lados

\(\log_b(a^k) = \log_b(x)\)

3. Utiliza la regla de la potencia para simplificar

\(\log_b(a^k) = k\log_b(a)\) que luego puedes volver a sustituir en la ecuación

\(k\log_b(a) = \log_b(x)\)

4. Reorganiza para obtener k por sí solo dividiendo por k \ (\log_b(a)\)

\(k = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)

5. Como k ya está definido, puede sustituirse en la ecuaciónk\(\log_a(x)\)

\(\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)

Derecho recíproco

1. \(\log_a(\frac{1}{x})\) puede escribirse como \(\log_a(x^{-1})\) utilizando nuestras reglas exponenciales con negativos.
2. Puedes utilizar la regla del logaritmo de potencia para bajar el -1, de modo que \(\log_a(x^{-1})\) se convierte en \(-\log_a(x)\).

Log de la base

1. Establece \(\log_a(a)=x\) donde la base es a, el exponente es x, y la respuesta de la exponencial es a. Por tanto, se puede escribir como\(a^x = a\).
2. Según las reglas exponenciales, si la respuesta de una exponencial es igual a la base, entonces el exponente debe ser 1.

Log de 1

1. Establece \(\log_a1=x\) donde la base es a, el exponente es x, y la respuesta de la exponencial es 1. Por tanto, se puede escribir como\(a^x = 1\).
2. Según las reglas exponenciales, si la respuesta de una exponencial es 1, entonces el exponente debe ser 0.

Simplificar y resolver utilizando las leyes de los logaritmos

Aquí veremos algunos ejemplos de simplificación de una serie de leyes logarítmicas.

Simplificación y resolución mediante la ley 1 logarítmica

Simplificar y resolver utilizando leyes logarítmicas múltiples

Puede ser útil utilizar reglas que simplifiquen logaritmos individuales antes de hacer la simplificación de leyes logarítmicas múltiples.