Propiedades de los exponentes

El exponente $2^3$ muestra que $2$ es multiplicarse $3$ veces:

$$2^3=2\times 2\times 2$$

En $5^7$, $7$ es la potencia o el exponente, mientras que $5$ es la base.

Expande $2^3\times 2^2$.

Solución:

$$2^3\times 2^2=2^{3+2}=2^5$$

Verificación

\2^3 veces 2^2=(2 veces 2 veces 2)=2^5].

Expande \(a^4 veces a^6).

Solución:

$$a^4+a^6=a^{4+6}=a^{10}$$

Verificación

$$a^4\times a^6=(a\times a\times a\times a)\times (a\times a\times a\times a\times a)=a^{10}$$.

Expande \(2^3 veces 3^3 veces 2^4).

Solución:

\[2^3 veces 3^3 veces 2^4=(2^3 veces 2^4)\3 veces 3^3=2^{3+4} veces 3^3=2^7 veces 3^3].

Simplifica \)\dfrac{2^3}{2}).

Solución:

$${\displaystyle \frac{2^3}{2}}=2^{3-1}=2^2$$

Verificación

\[\dfrac{2^3}{2}=\dfrac{2 veces 2{2}=2 veces 2=2^2\2]

Simplifica ${\displaystyle \frac{b^7}{b^3}}$.

Solución:

$${\displaystyle \frac{b^7}{b^3}}=b^{7-3}=b^4$$

Verificación

\[\dfrac{b^7}{b^3}=\dfrac{b\times b\times b\times b\times b\times b\times b\times b\times b\times b\times b}=b\times b\times b\times b=b^4].

Simplifica ${\displaystyle \frac{2^5\times 3^7}{3^4}}$.

Solución:

$${\displaystyle \frac{2^5\times 3^7}{3^7}}=2^5\times {\displaystyle \frac{3^7}{3^4}}=2^5\times 3^{7-4}=2^5\times 3^3$$.

a. $2^0$

b. $-2^0$

c. $(-2{)}^0$

Solución:

a. Todo lo que sea igual a la potencia de $0$ es igual a $1$. Por tanto, tenemos

$$2^0=1$$

b. Aquí, la base es $2$, con un $-1$ multiplicado por delante. Se convierte en

$$\begin{array}{rl}-2^0& =-1\times 2^0=\\ & =-1\times 1=\\ & =-1\end{array}$$

c. Aquí, la base es $-2$, y todo lo que sea igual a la potencia de $0$ es igual a $1$. Se convierte en

$$(-2{)}^0=1$$

$$2^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

$$9^{-3}={\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^3$$

$$6^{-5}={\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^5$$

Halla el valor de las siguientes expresiones.

a. ${125}^{\frac{1}{3}}$

b. \(2^{frac{4}{3}})

c. ${16}^{-\frac{3}{2}}$

Solución:

a. El primer paso consiste en expresar $125$ como producto de sus factores primos,

\125 = 5 veces 5 veces 5 = 5^3].

Así tenemos

$${125}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5^3}=5$$

b.

$$2^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{2^4}=\sqrt[3]{16}$$

c. Hay dos formas de resolver esta pregunta y ambas implican utilizar la regla del exponente fraccionario y la regla del exponente negativo.

Primero, utiliza la regla de los exponentes fraccionarios.

$$\begin{array}{rl}{16}^{-\frac{3}{2}}& ={\left(\sqrt[2]{16}\right)}^{-3}=\\ & =(4{)}^{-3}\end{array}$$

A partir de aquí, utilizamos la regla del exponente negativo

$$\begin{array}{rl}(4{)}^{-3}& ={\displaystyle \frac{1}{4^3}}=\\ & ={\displaystyle \frac{1}{64}}\end{array}$$

Resolviéndolo de forma alternativa, utilizarás primero la regla del exponente negativo.

$${16}^{-\frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{1}{{16}^{\frac{3}{2}}}}$$

Ahora utilizaremos la regla del exponente fraccionario en el denominador.

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{{16}^{\frac{3}{2}}}}& ={\displaystyle \frac{1}{{\left(\sqrt[2]{16}\right)}^3}}=\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4^3}}=\\ & ={\displaystyle \frac{1}{64}}\end{array}$$

Obtienes la misma respuesta.

Comprueba que \(6^3=2^3 veces 3^3).

Solución:

Método 1

Por un lado, tenemos; $6^3=6\text{6}veces6\text{6}=216$.

Por otro lado, $2^{3}veces{3}^3=8veces27=216$.

Por tanto, $6^3=2^3\text{veces}{3}^3$.

Método 2

\6^3=(2 veces 3)^2=2^3 veces 3^3].

Comprueba que $2^3={\displaystyle \frac{6^3}{3^3}}$.

Solución:

Método 1

Para empezar

$$2^3=2\times 2\times 2=8$$

Además

\[\begin{align}\dfrac{6^3}{3^3}&=\dfrac{6\times 6\times 6}{3\times 3\times 3}=\\&=dfrac{^2{cancel{6}}{^2}{cancel{6}{^2}{cancel{6}}{^1}{cancel{3}}{^1}{cancel{3}}{=\\&= 2}{2}{\\&=8}[fin].

Esto implica que

$$2^3={\displaystyle \frac{6^3}{3^3}}$$

Método 2

Aplica la propiedad del cociente;

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{6^3}{3^3}}& ={\left({\displaystyle \frac{6}{3}}\right)}^3=\\ & =2^3=\\ & =8\end{array}$$

Por tanto

$$2^3={\displaystyle \frac{6^3}{3^3}}$$

Comprueba que $\text{izquierda}(2^3\text{derecha}{)}^2=2^6$.

Solución:

Método 1

Por un lado, tenemos

$$2^3=2\times 2\times 2=8$$

Por tanto,

$${\left(2^3\right)}^2=8^2=64$$

Por otra parte

$$2^6=2^{3+3}=2^{3}veces{2}^3=8veces8=64$$

Por tanto

$${\left(2^3\right)}^2=2^6=64$$

Método 2

$${\left(2^3\right)}^2=2^{3\times 2}=2^6=64$$

Calcula lo siguiente sin utilizar calculadoras.

a. $(-3x^3{y}^2)(2x^6{y}^5)$

b. $(2b{)}^{-4}$

d. \(81^{frac{3}{4}})

e. ${\displaystyle \frac{-12m^4{n}^3(m^3{n}^2)}{36m^7{n}^5}}$

Solución:

a. Para la expresión

$$(-3x^3{y}^2)(2x^6{y}^5)$$

Los expresamos como productos separados,

\[(-3x^3y^2)(2x^6y^5)=(-3 veces x^3 veces y^2)=(2 veces x^6 veces y^5)

Expandimos los paréntesis,

\[(-3x^3y^2)(2x^6y^5)=-3 veces x^3 veces y^2 veces 2 veces x^6 veces y^5].

A continuación, juntamos los términos semejantes,

\(-3x^3y^2)(2x^6y^5)&=-3veces 2veces x^3veces x^6veces y^2veces y^5=\&=-6\times \left(x^{3+6}\right)\times\left(y^{2+5}\right)=\&=-6\times x^9\times y^7=\&=-6x^9y^7\end{align}\]

b. Para la expresión

$$(2b{)}^{-4}$$

Primero eliminamos el exponente negativo, aplicamos la regla recíproca,

$$(2b{)}^{-4}={\displaystyle \frac{1}{(2b{)}^4}}={\displaystyle \frac{1}{2^4{b}^4}}={\displaystyle \frac{1}{16b^4}}$$ xml-ph-0000@deepl.internal c. Para la expresión

$${\left({\displaystyle \frac{-6x^6}{3x^3}}\right)}^{-2}$$

Para eliminar el exponente negativo, aplicamos la regla recíproca,

$${\left({\displaystyle \frac{-6x^6}{3x^3}}\right)}^{-2}={\left({\displaystyle \frac{3x^3}{-6x^6}}\right)}^2$$

A continuación dividimos los términos semejantes de la expresión entre paréntesis,

$${\left({\displaystyle \frac{-6x^6}{3x^3}}\right)}^{-2}={\left({\displaystyle \frac{3x^3}{-6x^6}}\right)}^2={(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(x^{3-6}\right))}^2={(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{-3})}^2$$

Después, distribuimos el exponente $2$ al producto dentro del paréntesis para obtener

$$\begin{array}{r}{\left({\displaystyle \frac{-6x^6}{3x^3}}\right)}^{-2}={(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{x^3}})}^2=\\ & ={(-{\displaystyle \frac{1}{2x^3}})}^2=\\ & ={\displaystyle \frac{(-1{)}^2}{(2x^3{)}^2}}=\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2^2(x^3{)}^2}}=\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4x^6}}\end{array}$$

d. Para la expresión

\[81^{frac{3}{4}}]

recordamos primero la regla del exponente de fracción,

$${81}^{\frac{3}{4}}={\left(\sqrt[4]{81}\right)}^3=\sqrt[4]{{81}^3}$$

Pero

$$81=9^2={\left(3^2\right)}^2=3^4$$

Por lo tanto

$${81}^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{{81}^3}=\sqrt[4]{{\left(3^4\right)}^3}=\sqrt[4]{{\left(3^3\right)}^4}=3^3$$

Podemos verlo de otra forma, recordemos que

$$\left(a^m\right)=a^{mn}$$

Por tanto

$${81}^{\frac{3}{4}}={\left(3^4\right)}^{\frac{3}{4}}=3^{4\times \frac{3}{4}}=3^3$$

e. Para la expresión

$${\displaystyle \frac{-12m^4{n}^3(m^3{n}^2)}{36m^7{n}^5}}$$

Primero expandimos el numerador,

\[\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}=dfrac{-12veces m^4veces n^3veces m^3veces n^2}{36m^7n^5}].

A continuación juntamos los términos similares para obtener

=dfrac{-12veces m^4veces m^3veces n^3veces n^2}{36m^7n^5}==dfrac{-12veces m^4veces m^3veces n^3veces n^2}{36m^7n^5}==dfrac{-12veces m^3veces n^2}{36m^7n^5}.= = = = = = = = = = = 12 veces m^4+3 veces n^3+2} {36m^7n^5} {36m^7n^5} = = = = 12 veces m^7 veces n^5} {36m^7n^5} {36m^7n^5} = = = 12 veces m^7 veces n^5} {36 veces m^7 veces n^5} end{align}].

A continuación, dividimos los términos semejantes para obtener

\[$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{-12m^4{n}^3(m^3{n}^2)}{36m^7{n}^5}}& =\left({\displaystyle \frac{-12}{36}}\right)\times \left({\displaystyle \frac{m^7}{m^7}}\right)\times \left({\displaystyle \frac{n^5}{n^5}}\right)=\\ & =(-{\displaystyle \frac{1}{3}})\times m^{7-7}\times n^{5-5}=\\ (-{\displaystyle \frac{1}{3}})\times m^{0}times{n}^0\end{array}$$].

$${\displaystyle \frac{-12m^4{n}^3(m^3{n}^2)}{36m^7{n}^5}}=(-{\displaystyle \frac{1}{3}})\times 1\times 1=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$

Simplifica la expresión \(\dfrac{m^\frac{3}{4}veces n^{\frac{1}{2}}}m^{\frac{1}{2}veces n^{-\frac{3}{2}}).

Resuélvelo cuando $m=16$ y $n=3$.

Solución:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{m^{\frac{3}{4}}\times n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}\times n^{-\frac{3}{2}}}}& ={\displaystyle \frac{m^{\frac{3}{4}}}{m^{\frac{1}{2}}}}\times {\displaystyle \frac{n^{\frac{1}{2}}}{n^{-\frac{3}{2}}}}=\\ & =(m^{\frac{3}{4}}÷m^{\frac{1}{2}})\times (n^{\frac{1}{2}}÷n^{-\frac{3}{2}})=\\ & =m^{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}\times n^{\frac{1}{2}-(-\frac{3}{2})}=\\ & =m^{\frac{1}{4}}\times n^2\end{array}$$

Sustituye el valor de $m$ por $16$ y el de $n$ por $3$ en la expresión;

\[\begin{align}m^{\frac{1}{4}}\times n^2&=16^{\frac{1}{4}}\times 3^2=\&= izquierda(2^4\derecha)^ {{frac{1}{4}veces 3^2={\i}=2^{4}veces 3^2={\i}=2veces 9={\i}=18\i}[end{align}\i].

Convierte $38000000000$ metros por segundo a Notación Científica.

Solución:

El primer paso es contar de izquierda a derecha. Tenemos el número $38000000000$.

Tenemos $38$ y $9$ ceros a su derecha.

Recordamos la notación científica,

\[q veces 10^p]

$$1\le q<10$$

donde $p$ es un número entero. Así,

$$38000000000=38veces{10}^9$$

Ahora $38$ debe escribirse también $q\text{veces}{10}^p$. Así pues

$$38=3,8\times 10$$

Ahora sustituimos en la expresión inicial para obtener

\38 000 000 000=3,8 veces 10 veces 10^9=3,8 veces 10^{10}\].

La longitud y el pan de una marca rectangular son $2\text{mm}$ y $6\text{mm}$ respectivamente, calcula el perímetro en kilómetros dejando tu respuesta en forma estándar.

Solución:

El perímetro de un rectángulo viene dado por

Recuerda que

\1000 = 1 km.

\[100{texto} cm}=1{texto} m}]

\[10{texto}{ mm}=1{texto}{ cm}]

\100 veces 10{texto}{ mm}=1{texto}{ m}]

\1000 veces 100 veces 10 {texto{ mm}=1 {texto{ km}}

\1 vez 10^6{texto}{ mm}=1{texto}{ km}]

\[1 vez 10^6{texto}{ mm}=1{texto}{ km}{10^6}]

\[1 vez {cancelación{10^6}{texto}{ mm}{cancelación{10^6}=1dfrac{texto}{ km}{10^6}]

\[1\text{ mm}=\dfrac{1}{10^6}\text{ km}]

Recuerda que

$$a^{-1}={\displaystyle \frac{1}{a}}$$

Por tanto

$${\displaystyle \frac{1}{{10}^6}}={10}^{-6}$$

Esto significa que

$$1\text{ mm}={10}^{-6}\text{ km}$$

Así que convierte $16\text{mm}$ en $\text{km}$;

\1[1\text{ mm}=10^{-6}\text{ km}]

\1{texto}{ mm}=10^{-6}{texto}{ km}=16 veces 16].

\16 veces 10^{-6}{texto}{ km}]

Ahora $16$ debe escribirse también $q\text{veces}{10}^p$. Por tanto

$$16=1,6\times 10$$

Ahora lo sustituimos en la expresión inicial para obtener

\[\begin{align}16\times 10^{-6}\text{ km}&=1,6\times 10\times 10^{-6}\text{ km}=\tu6 veces 10^1 veces 10^{-6} {texto} { km} = 1,6 veces 10^{-6+1} {texto} { km} = 1,6 veces 10^{-5} {texto} { km} fin]].

\[\text{Perímetro de la marca}=1,6 veces 10^{-5}\text{ km}]