Resolución de ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es una ecuación formada por una función trigonométrica. Estas funciones incluyen el seno, el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante. Según el tipo de ecuación trigonométrica, pueden resolverse utilizando un diagrama CAST, la fórmula cuadrática, una de las diversas identidades trigonométricas disponibles o el círculo unitario.

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    ¿Cómo se utiliza un diagrama CAST para resolver ecuaciones trigonométricas?

    El diagrama CAST se utiliza para resolver ecuaciones trigonométricas. Nos ayuda a recordar los signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante y lo que ocurre con el ángulo que hay que calcular, según la función trigonométrica utilizada.

    Resolución de funciones trigonométricas Diagrama CAST StudySmarterIlustración de un diagrama de reparto trigonométrico, Nicole Moyo - StudySmarter Originals

    • Todas las funciones trigonométricas son positivas en el primer cuadrante.
    • Sólo el seno es positivo en el segundo cuadrante.
    • Sólo la tangente es positiva en el tercer cuadrante.
    • Sólo el coseno es positivo en el cuarto cuadrante.

    Cuando utilices el diagrama CAST, primero aislarás la función trigonométrica, calcularás su ángulo agudo y luego utilizarás el diagrama para resolver las soluciones. Puedes utilizar este método para resolver ecuaciones trigonométricas lineales, ecuaciones trigonométricas en las que intervenga una única función, y utilizar tu calculadora.

    4sinx°+3=0 0x360°

    Paso 1: Reordena la ecuación para que la función trigonométrica esté sola.

    4sinx°+3=0 sinx°=-34

    Paso2: Calcula el valor de tu ángulo agudo utilizando la inversa de tu función trigonométrica. Ten en cuenta que el negativo siempre se ignorará al calcular el ángulo agudo.

    sinx°=-34 x°=sin-1(-34) x°=-48.59°

    Paso3 : Basándote en el signo de la función, determina los cuadrantes de las soluciones y utiliza la información obtenida para resolver la ecuación.

    En nuestro ejemplo, el seno es negativo. Por tanto, nuestras soluciones están en los cuadrantes 3º (180 ° + x °) y 4º (360 ° -x °).

    3rd quadratnt: x°=180°+48.59°=228.59°4th quadrant: x°=360°-48.59°=311.41°

    ¿Qué es el círculo unitario en trigonometría?

    Un círculo unitario es un círculo que tiene un radio de 1 y se utiliza para ilustrar determinados ángulos comunes.

    Resolución de ecuaciones trigonométricas Unidad Círculo Estudio SmarterCírculo unitario. Imagen: Jim Belk, Dominio público

    ¿Cómo se resuelven las ecuaciones trigonométricas cuadráticas?

    Las ecuaciones trigonométricas cuadráticas son ecuaciones trigonométricas de segundo grado. Se pueden resolver utilizando la fórmula cuadrática:x=-b±b2-4ac2a

    2sin2a+3sina-1=0

    Paso 1: Sustituye la función trigonométrica por una variable de tu elección.

    En nuestro ejemplo, diremos que sen (a) = x

    2x2+3x-1=0

    Paso2: Utiliza la fórmula cuadrática para resolver tu variable.

    a= 2 b=3 c=-1x=-(3)±32-4(2)(-1)2(2) =-3±174

    Paso 3 : Vuelve a sustituir tu variable por la función y toma la inversa de la función para resolver la ecuación +. ( ±, means there are 2 solutions)

    sin-1(-3+174) = 18.11°x=sin(18.11)=0.28

    Paso 4 : Utiliza el círculo unitario para determinar la solución de la ecuación - ya que el dominio de la función inversa es -1,1.

    Debido a que el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, la segunda solución sería:

    x=π-0.28 =2.86

    ¿Cómo utilizamos las identidades para resolver ecuaciones trigonométricas?

    Las identidades se utilizan para resolver funciones trigonométricas simplificando la ecuación y resolviéndola a continuación, principalmente utilizando el círculo unitario.

    Aquí tienes algunas fórmulas trigonométricas importantes que debes conocer:

    sin2x+cos2x=1cosxcosy+sinxsiny=cos(x-y)tan2x+1=sec2xcos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2xsin2x=2sinxcosxtanx=sinxcosx

    cosxcos(2x)+sinxsin(2x)=32

    Paso 1: Simplifica tu ecuación con una identidad conocida.

    En este ejemplo, es la fórmula de la diferencia del coseno: cosacosb+sinasinb=cos(a-b)

    cosxcos(2x)+sinxsin(2x)=32 cos(x-2x)=32 cos(-x)=32 cos (x) =32, in this part we used the negative angle trig identity: cos(-x)=cos(x)

    Paso2: Utiliza el círculo unitario para determinar los valores de tu ángulo (x).

    En nuestro ejemplo, nos centraremos en los cuadrantes 4º y 1º, ya que el coseno es positivo en esos cuadrantes.

    Por tanto, x=π6 and x=11π6

    ¿Cómo se resuelven las ecuaciones trigonométricas con ángulos múltiples?

    Las ecuaciones trigonométricas con múltiples ángulos se resuelven reescribiendo primero la ecuación como inversa, determinando qué ángulos satisfacen la ecuación y dividiendo después estos ángulos por el número de ángulos. Al resolverlas, lo más probable es que tengas más de dos soluciones, ya que cuando tengas una función de esta forma: cos (nx) = c, tendrás que dar la vuelta al círculo n veces.

    Las ecuaciones trigonométricas con múltiples ángulos tienen este aspecto: sin2x, tanx2,cos3x,etc Todas las variables tienen coeficientes.

    cos2x=12 on [0,2π)

    Paso 1: Determina los cuadrantes de tus soluciones iniciales y los ángulos posibles utilizando el círculo unitario.

    cos_1(12)=60°possible angles are 2x=π3 and 2x= 5π3

    Paso 2: Calcula el valor de tus soluciones iniciales dividiendo el ángulo posible por el número de ángulos.

    2x=π3 x=π62x=5π3 x=5π6

    Paso3: Determina tus otras soluciones girando alrededor del círculo por el número de ángulos y seleccionando sólo las respuestas dentro de tu rango.

    First quadrant 2x=π3First rotation: 2x=π3+2π =7π3 x=7π6This value is between 0 and 2π and is therefore a solution Second Rotation: 2x=π3+4π =13π3 x=13π6This value is greater than 2π and is therefore not a solution. Fourth quadrant: 2x=5π3First Rotation:2x=5π3+2π =11π3 x=11π6This value is between the range and is therefore a solution. Second Rotation: 2x=5π3+4π 2x=17π3 x=17π6This value is not within your range and thefore cant be a solution.

    Resolución de ecuaciones trigonométricas - Puntos clave

    • Cuando utilices el diagrama CAST, primero aislarás la función trigonométrica, calcularás tu ángulo agudo y luego utilizarás el diagrama para resolver las soluciones.
    • Un círculo unitario es un círculo que tiene un radio de 1 y se utiliza para ilustrar determinados ángulos comunes.
    • Las ecuaciones trigonométricas cuadráticas pueden resolverse con la fórmula cuadrática:x=-b±±b2-4ac2a
    • Las identidades se utilizan para resolver funciones trigonométricas simplificando la ecuación y resolviendo después utilizando el círculo unitario.
    • Al resolver funciones trigonométricas con múltiples ángulos, lo más probable es que tengas más de dos soluciones, ya que cuando tengas una función de esta forma: cos (nx) = c, tendrás que dar la vuelta al círculo n veces.


    Preguntas frecuentes sobre Resolución de ecuaciones trigonométricas
    ¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?
    Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones que involucran funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente.
    ¿Cómo se resuelven las ecuaciones trigonométricas?
    Se resuelven aislando la función trigonométrica y utilizando identidades trigonométricas y ángulos de referencia.
    ¿Cuáles son las principales identidades trigonométricas usadas?
    Son la identidad de Pitágoras, las identidades de ángulos doble y mitad, y las sumas y diferencias de ángulos.
    ¿Para qué se usan las ecuaciones trigonométricas?
    Se usan para resolver problemas en física, ingeniería, y cualquier campo que involucre relaciones angulares y de longitud.

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