Sucesiones y Series

Las secuencias y las series pueden parecer similares, pero no son lo mismo. Veamos las diferencias.

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    Secuencias

    Una secuencia puede describirse como un conjunto de números, conocidos como términos, que siguen todos una regla. Se enumeran en un orden concreto, y la regla que siguen suele ser un patrón matemático. Aquí tienes algunos ejemplos de secuencias y la regla explicada;

    • \((3, 9, 15, 21, 27, 33) \) Aumentando en 6

    • \((72, 64, 56, 48, 40, 32)\) Disminuyendo en 8

    • \((5, 10, 20, 40, 80, 160)\) - Multiplicando por 2

    Las secuencias pueden ser finitas, como los ejemplos anteriores, o infinitas, es decir, que no tienen fin; se pueden mostrar así

    • \((1, 2, 3, 4, 5, 6, \ puntos) \)

    • \(4, 7, 10, 13, 16, puntos)

    Como estas secuencias son infinitas, podemos utilizar una fórmula para encontrar un término concreto en lugar de recorrer toda la secuencia. Veremos algunas de estas fórmulas más adelante en este artículo.

    Los distintos tipos de secuencias

    Hay dos tipos diferentes de secuencias comunes;

    1. Secuencias aritméticas - en esta secuencia, los términos aumentan o disminuyen por adición o sustracción. Esta diferencia es constante y se conoce como diferencia común o \(d\) .

    2. Secuencias geométricas - en este tipo de secuencia, los términos aumentan o disminuyen por multiplicación o división. Esta diferencia se conoce como razón común o \(r\) .

    Series

    Una serie es una suma de los términos de una secuencia, por ejemplo;

    • \((3, 9, 15, 21, 27, 33)\) es una secuencia y su serie es \(3 + 9 + 15 + 21 + 27 + 33\)

    • \((72, 64, 56, 48, 40, 32)\) es una sucesión y su serie es \(72 + 64 + 56 + 48 + 40 + 32\)

    ¿Qué fórmulas se utilizan para las secuencias y las series?

    Cuando trabajes con secuencias y series, puede que te pidan que encuentres un término concreto dentro de una secuencia o la suma de una serie. Aquí tienes las fórmulas que puedes utilizar para encontrar las respuestas:

    Fórmulas para secuencias

    Existe una fórmula para los dos tipos de sucesiones, aritméticas y geométricas. La fórmula que se utiliza para hallar el (n)º término de una sucesión aritmética es;

    \[ u_n = a + (n-1)d\]

    • \(u_n\) es el \(n\)º término
    • \(a\) es el primer término
    • \(d\) es la diferencia común.

    Veamos un ejemplo y cómo lo sustituiríamos en la fórmula;

    Encuentra el decimoquinto término de esta secuencia \((5, 12, 19, 26, 33, 40, \ puntos )\)

    • \(u_n\) es el \(n\ término, por tanto \(n=15\)
    • \(a\) es el primer término, por tanto \(a=5\)
    • \(d\) es la diferencia común, por tanto \(d = 7\)
    • entonces \(u_{15} = 5 + (15-1)7 = 103\)

    La fórmula utilizada para hallar el \(n\ término de una sucesión geométrica es;

    \[ u_n = ar^{n-1}\]

    • \(u_n\) es el \(n\ término
    • \(a\) es el primer término
    • \(r\) es el cociente común.

    El cociente común es el número utilizado para multiplicar o dividir cada término.

    Veamos un ejemplo y cómo lo sustituiríamos en la fórmula;

    Halla el término (24) de esta secuencia (6, 12, 24, 48, 96, puntos).

    • \(u_n\) es el \(n\)º término, por tanto \(n=24\)
    • \(a\) es el primer término, por tanto \(a=6\)
    • \(r\) es el cociente común, por tanto \(r = 2\)
    • entonces \(u_{24} = 6\cdot 2^{24-1}\)

    Fórmulas para series

    La fórmula utilizada para hallar la suma de los primeros términos de una serie aritmética es

    \[ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) \]

    • \(s_n\) es la suma de los primeros \(n\) términos
    • \(a\) es el primer término
    • \(d\) es la diferencia común.

    Veamos un ejemplo y cómo lo sustituiríamos en la fórmula;

    Halla la suma de los primeros \(35\) términos de esta serie \( (2, 8, 14, 20, 26, 32, \dots ) \)

    • \(s_n\) es la suma de los primeros \(n\) términos por tanto \(n=35\ )
    • \(a\) es el primer término, por tanto \(a=2\)
    • \(d\) es la diferencia común, por tanto \(d = 6\)
    • entonces \[s_{35} = \frac{35}{2}(2\cdot 2 + (35-1)6) \].


    Se pueden utilizar dos fórmulas distintas para hallar la suma de una serie geométrica . La primera es más fácil de usar cuando \(r <1\) y la segunda cuando \(r> 1\);

    \[ s_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\]

    o

    \[ s_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}].

    • \(s_n\) es la suma de los primeros \(n\) términos
    • \(a\) es el primer término
    • \(r\) es el cociente común

    Veamos un ejemplo y cómo lo sustituiríamos en la fórmula;

    Halla la suma de los primeros \(50\) términos de esta serie \( (4, 12, 36, 108, \dots ) \)

    • \(s_n\) es la suma de los primeros \(n\) términos por tanto \(n=50\ )
    • \(a\) es el primer término, por tanto \(a=4\)
    • \(r\) es el cociente común, por tanto \(r = 3\)
    • entonces \[s_{50} = \frac{4(3^n-1)}{3-1} \]

    Notación sigma

    La letra griega sigma puede utilizarse para identificar la suma. Para utilizarla, escribe los límites por encima y por debajo de sigma para mostrar los términos que estás utilizando. Esto se muestra a continuación;

    \[ \suma_limites_{r=1}^6 (2r+4) \]

    Esto te indica que hallarás la secuencia sustituyendo r en la ecuación desde \(1\) hasta \(6\). Esto te dará la cifra para crear tu suma.

    ¿Cuáles son las aplicaciones de las secuencias y series?

    Las secuencias y series pueden aplicarse en muchas situaciones de la vida real, lo que también se conoce como modelización. Muchos ejemplos proceden del dinero: por ejemplo, si alguien ahorra 10€ el primer mes y el segundo mes ahorra el doble de lo que había ahorrado el mes anterior, y así sucesivamente. Así podemos utilizar series geométricas para hallar sus ahorros en un año.

    Dave deposita 10 £ en su cuenta bancaria el primer mes, el segundo mes deposita 20 £, que es el doble de lo que había depositado el mes anterior, y sigue haciéndolo durante un año. ¿Cuánto dinero ingresará en un año?

    Aquí, según los datos, Dave deposita 10 £ el primer mes, 20 £ el segundo mes, 40 £ el tercer mes y así sucesivamente.

    Por tanto, la serie se convierte en \(10, 20, 40, 80, \ puntos \), hasta 12 plazos (1 año = 12 meses)

    Aquí

    \[ \begin{align} & a = 10 \ y r =2 \ y n = 12 \end{align}\]

    Como \(r > 1\) podemos utilizar la fórmula

    \¾[ \begin{align} s_n &= \frac{a (r^n-1)}{r-1} ¾frac{10(2^{12}-1)}{2-1} ¾frac{10(4096-1)}{1} \\ fin]]

    Esto significa que Dave habrá ingresado 40950 £ en su cuenta en un año .

    Secuencias y series - Puntos clave

      • Una secuencia es un conjunto de números que siguen una regla determinada

      • Hay dos tipos diferentes de secuencias, las aritméticas y las geométricas

      • Una serie es la suma de una secuencia

      • Las secuencias y series pueden modelizarse en escenarios de la vida real.

    Preguntas frecuentes sobre Sucesiones y Series
    ¿Qué es una sucesión en matemáticas?
    Una sucesión es una lista ordenada de números que siguen un patrón específico.
    ¿Qué diferencia hay entre sucesión y serie?
    Una sucesión es una lista de números, mientras que una serie es la suma de los términos de una sucesión.
    ¿Cómo se determina el término general de una sucesión?
    El término general de una sucesión se encuentra mediante una fórmula que expresa el n-ésimo término en función de n.
    ¿Qué es una progresión aritmética?
    Una progresión aritmética es una sucesión en la que la diferencia entre términos consecutivos es constante.

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