Métodos Numéricos

Para disgusto de muchos matemáticos puros, no todos los problemas pueden resolverse analíticamente, es decir, mediante un método que utilice reglas y lógica conocidas para llegar a una solución exacta. Aquí es donde se utiliza un método numérico. Un método numérico se aproximará a una solución o, en el peor de los casos, acotará dónde estaría la solución.

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    Podemos utilizar métodos numéricos en todas las áreas de las matemáticas en las que, de otro modo, nos costaría encontrar una solución. Por lo general, esto incluye las ecuaciones diferenciales, la resolución de sistemas lineales (ecuaciones simultáneas en muchas variables) y la búsqueda de la derivada de una función en un punto. Sin embargo, en el A-Level, nos centraremos en la búsqueda de raíces y en el cálculo del área bajo curvas.

    Integración numérica

    Algunas Funciones no son integrables, lo que significa que no existe una antiderivada para esa función. Sin embargo, esto no significa que no podamos aproximar el área bajo estas Funciones (es decir, encontrar una solución aproximada para una integral definida). Para ello, dividimos el área bajo la integral en áreas más pequeñas (o formas que se parezcan mucho al área de la integral), hallamos el área de cada una de estas áreas y las sumamos para obtener una aproximación.

    En el nivel A, nos centramos en el método trapezoidal. En él dividimos el área en una serie de trapecios y luego los sumamos. A continuación se muestra un esquema de cómo se hace.

    Método trapezoidal de integración numérica

    Cuantos más trapecios añadamos, más precisa será la aproximación.

    Formalicemos esto para obtener una fórmula. Supongamos que tenemos una función , y queremos aproximar la integral de , con n intervalos igualmente espaciados. Esto significa que necesitamos n + 1 puntos de datos. Sea , y entonces

    para . A continuación, hallamos los valores de estos puntos de datos evaluados en la función, con lo que tenemos .

    Para cualquier trapecio, el área viene dada como (anchura) * (altura media de los lados de longitud desigual). En este caso, nuestra anchura es . La altura media del trapecio i es . Esto significa que el área del trapecio i es . Sumando todo ello, obtenemos la fórmula de . Como cada se cuenta dos veces aparte de los dos puntos extremos, podemos simplificarlo a .

    Encuentra una aproximación a utilizando la regla del trapecio, con cuatro tiras de igual anchura.

    Para cuatro tiras, necesitamos 5 puntos. Los puntos son 0, 0,5, 1, 1,5, 2.

    La siguiente tabla muestra tanto como :

    00.511.52

    00.524.58

    Según la fórmula dada, . Esto significa que nuestra aproximación a la integral viene dada por .

    Si evaluáramos "correctamente" esta integral, obtendríamos , que se aproxima a 5,5, lo que demuestra que se trata de una buena aproximación.

    Búsqueda de raíces

    No todas las ecuaciones pueden resolverse con métodos algebraicos. Aquí es donde entra en juego el uso de métodos numéricos para encontrar raíces. No todos los métodos funcionan en todos los casos, por lo que a veces tenemos que ser selectivos con el método que utilizamos.

    Cómo localizar una raíz

    Supongamos que hay una función, y pensamos que puede haber una raíz entre los puntos a y b. Si hay una sola raíz, entonces el signo de será distinto al de . Si el intervalo es demasiado grande entre a y b, puede haber varias raíces, lo que podría significar que los signos se mantuvieran iguales, incluso con varias raíces (esto ocurre si hay un número par de raíces).

    Métodos numéricos de localización de raíces StudySmarterLocalización de una raíz mediante métodos numéricos

    La imagen anterior debería permitirte comprender cómo el cambio de signo indica una raíz.

    Demuestra que hay una raíz de entre -1,5 y -1,4.

    y . Como hay un cambio de signo, hay una raíz de f entre -1,5 y -1,4.

    Iteración

    La iteración es el proceso de repetir una función matemática, utilizando la respuesta anterior como siguiente entrada. Por ejemplo, una función iterativa podría ser tan sencilla como . En esta ecuación, empezaríamos con un dado y lo utilizaríamos para hallar . Luego podemos continuar este proceso para encontrar tantos como necesitemos. Este proceso puede permitirnos encontrar raíces de Ecuaciones siempre que esté lo suficientemente cerca de la raíz real.

    1. Demuestra que puede reordenarse en
    2. Utiliza la iteración con para hallar y con dos decimales
    3. Continúa esta iteración para hallar el valor exacto de esta raíz
    1. Si hacemos continuamente esta iteración (utilizar el botón "ans" de tu calculadora te ayudará), llegarás a una raíz de -1

    El método Newton-Raphson

    Este método se puede derivar utilizando matemáticas que no verás en el Bachillerato (una expansión de Taylor), pero se trata de un tipo de fórmula iterativa para encontrar una raíz. Supongamos que tenemos una función , que es diferenciable. La iteración Newton-Raphson viene dada por , con , y un valor inicial adecuado .

    Utilizando el método Newton-Raphson, halla (con 3 decimales) una segunda aproximación a una raíz de , tomando la primera aproximación como . Encontremos primero que viene dado como .

    POR TANTO, .

    Métodos numéricos - Puntos clave

      • Los métodos numéricos se utilizan cuando no se puede encontrar una respuesta analíticamente.

      • La regla del trapecio con n anchuras iguales viene dada por , con

      • Si y , entonces hay una raíz entre a y b

      • La fórmula de Newton-Raphson es la siguiente

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    Preguntas frecuentes sobre Métodos Numéricos
    ¿Qué son los métodos numéricos?
    Los métodos numéricos son técnicas matemáticas utilizadas para obtener soluciones aproximadas a problemas difíciles o imposibles de resolver analíticamente.
    ¿Para qué se utilizan los métodos numéricos?
    Se utilizan para resolver ecuaciones, integrar funciones, derivar, y otros cálculos complejos donde los métodos analíticos fallan o son muy difíciles de aplicar.
    ¿Cuáles son algunos ejemplos de métodos numéricos?
    Algunos ejemplos son el método de Newton-Raphson, el método de bisección, y los métodos de integración como el trapecio y Simpson.
    ¿Qué ventajas tienen los métodos numéricos?
    Ofrecen soluciones donde los métodos analíticos fallan, y permiten el uso de computadoras para resolver problemas complejos de manera eficiente y rápida.

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